基本不等式4 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式的概念理解与应用，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，构建从单一公式到实际建模的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式应用|直接考查等号成立条件（如第4题）、简单最值计算（如第1题），强化概念理解| |中档|条件限制下的最值|含定义域限制（如第5题0<x<1）、公式变形应用（如第6题a>1），提升推理能力| |提升|综合应用与实际建模|多选判断（第8题）、实际问题（第13题造价最低），培养模型意识与综合思维|

基本不等式4 一、选择题 1.【2026·广东·质量检测】设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 【答案】C 【解析】因为x>0，y>0，所以≤，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81. 2．【2026·河南·专题练习】下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 【答案】D 【解析】若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确． 3． 【2025·甘肃兰州·质量检测】用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 【答案】C 【解析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，0<x<4，0<y<4，则2(x＋y)＝8，即x＋y＝4，所以这个模型的面积为xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以这个模型的最大面积为4 cm2. 4．【2026·广东·质量检测】不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 【答案】B 【解析】当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立． 5．【2026·河南·专题练习】已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵0<x<1，∴1－x>0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号． 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　 B．a　　　　 C．　　 D．3 【答案】D 【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时取“＝”． 7．【2026·广东·质量检测】为净化水质，向一个游泳池中加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则当水池中药品的浓度达到最大时，t＝(　　) A．1 h　　 B．3 h　　 C．5 h　　 D．6 h 【答案】B 【解析】由题意可知，t>0，所以>0，所以C＝＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝3时取等号．所以当t＝3时，水池中药品的浓度达到最大． 8．(多选)【2026·广东·质量检测】设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a<a2＋b2 C．a<2ab< D．<a2＋b2<1 【答案】ABCD 【解析】由0<a<b，a＋b＝1，得0<a<<b<1.对于A，将a＋b＝1两边平方，整理得a2＋b2＝1－2ab＝b＋a－2ab＝b＋a(1－2b)．又<b，所以1－2b<0，所以a2＋b2<b，所以A正确．对于B，<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2＋b2，所以B正确．对于C，由B知a<2ab.又2ab<2×2＝，所以C正确．对于D，易知a2＋b2>＝.又a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b＝1，所以D正确．故选ABCD. 2、 填空题 9．【2026·河南·专题练习】下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－ ≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【答案】② 【解析】 ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 10． 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为 ，此时x＝ ． 【答案】 【解析】因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 11．【2026·广西南宁·质量检测】已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 【答案】≤　 【解析】∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝.] 3、 解答题 12.【2026·四川内江·质量检测】已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【解析】 ∵a，b>0，∴由基本不等式得＋b≥2a，同理＋c≥2b，＋a≥2c. 所以＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)， 故＋＋≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 13．【2026·广西南宁·质量检测】某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 【解析】 （1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米 （2）设总造价为元，则： 化简得： 因为，当且仅当，即时取等号 即当米时，最低造价是元 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式4 一、选择题 1.【2026·广东·质量检测】设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 2．【2026·河南·专题练习】下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 3． 【2025·甘肃兰州·质量检测】用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 4．【2026·广东·质量检测】不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 5．【2026·河南·专题练习】已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　 B．a　　　　 C．　　 D．3 7．【2026·广东·质量检测】为净化水质，向一个游泳池中加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则当水池中药品的浓度达到最大时，t＝(　　) A．1 h　　 B．3 h　　 C．5 h　　 D．6 h 8．(多选)【2026·广东·质量检测】设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a<a2＋b2 C．a<2ab< D．<a2＋b2<1 2、 填空题 9．【2026·河南·专题练习】下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－ ≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 10． 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为 ，此时x＝ ． 11．【2026·广西南宁·质量检测】已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 3、 解答题 12.【2026·四川内江·质量检测】已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 13．【2026·广西南宁·质量检测】某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $