3.4 一元一次不等式的应用 同步练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式应用，通过基础情境应用、多变量综合及方案设计分层，培养数学眼光与建模思维，实现从概念到复杂问题解决的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一变量不等式应用|以购物、行程等情境（如选择1-4），巩固列不等式解决简单实际问题，体现数学语言表达现实世界| |进阶层|多变量/参数不等式|含参数取值（如选择8）、多方案组合（如选择5），培养推理意识，提升数学思维严密性| |综合层|跨知识综合应用|结合方程组（如解答15）、方案优化（如解答13），融入促销、租车等复杂情境，发展模型观念与应用意识|

（培优版）浙教版数学八上 3.4 一元一次不等式的应用 同步练习 一、选择题 1．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（　　） A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设可以购进x只，则可以购进只，根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为4， ∴最多可以购进4只． 故答案为：D． 【分析】设可以购进x只，则可以购进只，根据 该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元 ，可得出不等式，解不等式求解集，进一步得出最大整数解即可。 2．如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（　　） A．45 B．44 C．43 D．42 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴数学书最多还可以摆43本． 故选：C． 【分析】设数学书还可以摆m本，根据题意"书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书"列出不等式，解不等式即可. 3．小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟， 根据题意，得：， 故答案为：A． 【分析】利用已知条件可知：此题的等量关系为：“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可. 4．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式 【解析】【解答】解：∵公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起 ∴ ∵公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起 ∴ 解得： 故选：C 【分析】 由不等关系“公斤的大胖使电梯因超重报警、公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯警示音未响起 ”列不等式组即可． 5． 公司计划用不超过500万元的资金购买单价为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有(　　) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解： 设甲设备购买 x 台，乙设备购买 y 台， 根据题意得 60 x + 70 y ≤ 500，且x ≥ 3， y ≥ 2，x、y都为正整数， 当x=3时，70 y ≤ 500 − 60 × 3 = 500 − 180 = 320， ∴y ≤ ≈ 4.57， ∴y可能取值为2，3，4，共3种购买方式； 当x=4时，70 y ≤ 500 − 60 × 4 =260， ∴y ≤≈3.71， ∴y可能取值为2，3，共2种购买方式； 当x=5时，70 y ≤ 500 − 60 × 5 =200， ∴y ≤≈2.86， ∴y可能取值为2，共1种购买方式； 当x=6，70 y ≤ 500 − 60 × 6 =140， ∴y ≤2， ∴y可能取值为2，共1种购买方式； 综上所述， 不同的购买方式共有 1+1+2+3=7种， 故答案为：C. 【分析】 通过设定甲的数量为 x ，乙的数量为 y ，建立不等式组并求解可能的整数解组合 . 求解时， 分情况讨论 x的取值，结合总费用限制和最低购买数量，逐一验证可能的整数解，最终统计总数 . 6．物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（　　） A．n≤m B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%， 所以标价为元， ∵该商品需降价n%出售，为了不亏本 ， ∴ 解得：. 故答案为：B. 【分析】设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%，所以标价为元，由于该商品需降价n%出售，故售价为元，由不亏本可得售价不小于成本价，据此列出不等式，解出不等式即可求解. 7．如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式 【解析】【解答】由第一幅图可得：A＞B ① 由第二幅图可得：B+D＞A+C ② 由第三幅图可得：A+B=C+D ③ 由③得：B=C+D-A ④ 把④代入②得：C+D-A+D＞A+C ， 可得：2D＞2A ∴D＞A ∴D-A＞0 由③得：B-C=D-A ， ∴B-C＞0 ∴B＞C 综合所述：D＞A＞B＞C 故答案为C. 【分析】本题考查不等式的性质和等量代换的数学思想。由每一幅图得到不等式和等式后，进行替换，根据等式的性质，变形后，带入不等式，即可。 8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　） A．-3<b<-2 B．-3<b≤-2 C．-3≤b≤-2 D．-3≤b<-2 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：解不等式可得：x>b， ∵不等式恰有两个负整数解 ， ∴-3 b<-2， 故应选：D. 【分析】首先把b当常数解出不等式的解集，然后根据不等式恰有两个负整数解得出-3 b<-2。 二、填空题 9．如图，有P、Q、R、S四个小朋友玩跷跷板，则最重的是　 　. 【答案】R 【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】解：由图可知：①，②，③ 由③得：，代入②得， ∴ 故， 由③得：，则有， 因此， 故答案为：R. 【分析】本题结合实际情景考查不等式的应用.先根据三个图片得到对应的不等式或等式，再利用等式进行等量代换，推出四个小朋友的体重关系. 10．如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为　 　m． 【答案】120 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 小明到站之间的距离最大为． 故答案为：． 【分析】设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，再根据“ 公交车的速度是小明速度的5倍 ”列出不等式，再求解即可. 11．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为　 　. 【答案】7 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0． 又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5． ∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c． ∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12． ∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a， ∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19， ∴m-n=19-12=7 故答案为：7． 【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值. 12．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，则最多只能安排　 　人种甲种蔬菜. 【答案】4 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为10−x. 由每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩可得： 甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2(10−x)亩， 由甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元得： 故最多只能安排4人种甲种蔬菜。 故答案为：4. 【分析】根据菜农人数与种田的亩数，可列出关于总收入的关系式，得出种甲种蔬菜的人数。 三、解答题 13．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”.某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵. （1）若按售价直接购买，采购总费用不超过4 900元，至多可以购买多少棵松树? （2）现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算? 【答案】（1）解：设购买x棵松树，则购买(40-x)棵玉兰树. 150x+100(40-x)≤4900， 解得x≤18. 答：至多可以购买18棵松树. （2）解：设购买松树y(15≤y≤20)棵，则购买玉兰树(40-y)棵 由题意可得： 方案一的费用为：150×0.8y+100(40-y)=20y+4000(元) 方案二的费用为：0.9×[150×y+100(40-y)]=45y+3600(元)， 当20y+4000>45y+3600时，解得：y<16； 当20y+4000=45y+3600时，解得：y=16； 当20y+4000<45y+3600时，解得：y>16； ∵y为正整数 ∴综上所述，当购买15棵松树时选择方案二更合算；当购买16棵松树时两种方案费用相同，一样合算；当购买17，18，19，20棵松树时选择方案一更合算. 【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题 【解析】【分析】(1)设购买松树x棵，则购买玉兰树(40-x)棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果； (2)设购买松树y(15≤y≤20)棵，则购买玉兰树(40-y)棵，分别表示出方案一的费用为(20y+4000)元，方案二的费用为(45y+3600)元，再分情况计算即可得出结果. 14．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． （1）制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ （2）李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根， 由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据题意"用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型"可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据题意"花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80"可列关于a的分式方程，解分式方程并检验可求得塑料管的单价和小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据题意"向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管"可列关于m的一元一次不等式，解不等式并结合小球和塑料管都为正整数即可求解． （1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 15．根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： （1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ （2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． （3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 根据题意可列方程组，得：， 解这个方程组，得：， 答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人. （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意可列不等式为：a≥7（20-a）， 解这个不等式，得：a≥17.5， ∵a为整数， ∴a的值为18，19，20， 设租车的总租金为w元， 则w=500a+400（20-a）=100a+8000， 当a=18时，w=100×18+8000=9800（元）， 当a=19时，w=100×19+8000=9900（元）， 当a=20时，w=100×20+8000=10000（元）， 9800＜9900＜10000， 答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元. （3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生， 根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍， 即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人， ∴m=24， 经检验，m=24是原分式方程的解， ∴n=18×24+5=437（名）， 答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动. 【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用 【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案； （2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案； （3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案. （1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 由素材2得：， 解得：， ∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 由素材3得：， ， ， ， ∵a为整数， ∴， 总租金， ∵，R随a增大而增大， ∴当时，R最小， 此时B型车数量为辆， （元）， ∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元； （3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生， 由题意：， ， ∵n为整数，且（B型车最多搭载20人）， ∴为整数，是23的因数， ∵23为质数， ∴或， 即或， 当时，，不合理， 当时，，合理， 学生数， ∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动． 16．2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求每个B款吉祥物的售价； （2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 【答案】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元， 根据题意得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴每个B款吉祥物的售价为30元． （2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物， 根据题意得．解得． 又∵m为正整数，∴m的最大值为4． ∴李老师最多可购买4个A款吉祥物． 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用 【解析】【分析】（1）设每个B款吉祥物的售价是x元，则每个A款吉祥物的售价是（x+20）元，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出B款吉祥物的售价； （2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买（10-m）个B款吉祥物，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论。 学科网（北京）股份有限公司 $ （培优版）浙教版数学八上 3.4 一元一次不等式的应用 同步练习 一、选择题 1．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（　　） A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只 2．如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（　　） A．45 B．44 C．43 D．42 3．小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 4．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示 （ ） A． B． C． D． 5． 公司计划用不超过500万元的资金购买单价为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有(　　) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 6．物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（　　） A．n≤m B． C． D． 7．如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（　　） A． B． C． D． 8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　） A．-3<b<-2 B．-3<b≤-2 C．-3≤b≤-2 D．-3≤b<-2 二、填空题 9．如图，有P、Q、R、S四个小朋友玩跷跷板，则最重的是　 　. 10．如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为　 　m． 11．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为　 　. 12．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，则最多只能安排　 　人种甲种蔬菜. 三、解答题 13．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”.某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵. （1）若按售价直接购买，采购总费用不超过4 900元，至多可以购买多少棵松树? （2）现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算? 14．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． （1）制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ （2）李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 15．根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： （1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ （2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． （3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 16．2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求每个B款吉祥物的售价； （2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设可以购进x只，则可以购进只，根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为4， ∴最多可以购进4只． 故答案为：D． 【分析】设可以购进x只，则可以购进只，根据 该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元 ，可得出不等式，解不等式求解集，进一步得出最大整数解即可。 2．【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴数学书最多还可以摆43本． 故选：C． 【分析】设数学书还可以摆m本，根据题意"书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书"列出不等式，解不等式即可. 3．【答案】A 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟， 根据题意，得：， 故答案为：A． 【分析】利用已知条件可知：此题的等量关系为：“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可. 4．【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式 【解析】【解答】解：∵公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起 ∴ ∵公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起 ∴ 解得： 故选：C 【分析】 由不等关系“公斤的大胖使电梯因超重报警、公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯警示音未响起 ”列不等式组即可． 5．【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解： 设甲设备购买 x 台，乙设备购买 y 台， 根据题意得 60 x + 70 y ≤ 500，且x ≥ 3， y ≥ 2，x、y都为正整数， 当x=3时，70 y ≤ 500 − 60 × 3 = 500 − 180 = 320， ∴y ≤ ≈ 4.57， ∴y可能取值为2，3，4，共3种购买方式； 当x=4时，70 y ≤ 500 − 60 × 4 =260， ∴y ≤≈3.71， ∴y可能取值为2，3，共2种购买方式； 当x=5时，70 y ≤ 500 − 60 × 5 =200， ∴y ≤≈2.86， ∴y可能取值为2，共1种购买方式； 当x=6，70 y ≤ 500 − 60 × 6 =140， ∴y ≤2， ∴y可能取值为2，共1种购买方式； 综上所述， 不同的购买方式共有 1+1+2+3=7种， 故答案为：C. 【分析】 通过设定甲的数量为 x ，乙的数量为 y ，建立不等式组并求解可能的整数解组合 . 求解时， 分情况讨论 x的取值，结合总费用限制和最低购买数量，逐一验证可能的整数解，最终统计总数 . 6．【答案】B 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%， 所以标价为元， ∵该商品需降价n%出售，为了不亏本 ， ∴ 解得：. 故答案为：B. 【分析】设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%，所以标价为元，由于该商品需降价n%出售，故售价为元，由不亏本可得售价不小于成本价，据此列出不等式，解出不等式即可求解. 7．【答案】C 【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式 【解析】【解答】由第一幅图可得：A＞B ① 由第二幅图可得：B+D＞A+C ② 由第三幅图可得：A+B=C+D ③ 由③得：B=C+D-A ④ 把④代入②得：C+D-A+D＞A+C ， 可得：2D＞2A ∴D＞A ∴D-A＞0 由③得：B-C=D-A ， ∴B-C＞0 ∴B＞C 综合所述：D＞A＞B＞C 故答案为C. 【分析】本题考查不等式的性质和等量代换的数学思想。由每一幅图得到不等式和等式后，进行替换，根据等式的性质，变形后，带入不等式，即可。 8．【答案】D 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：解不等式可得：x>b， ∵不等式恰有两个负整数解 ， ∴-3 b<-2， 故应选：D. 【分析】首先把b当常数解出不等式的解集，然后根据不等式恰有两个负整数解得出-3 b<-2。 9．【答案】R 【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】解：由图可知：①，②，③ 由③得：，代入②得， ∴ 故， 由③得：，则有， 因此， 故答案为：R. 【分析】本题结合实际情景考查不等式的应用.先根据三个图片得到对应的不等式或等式，再利用等式进行等量代换，推出四个小朋友的体重关系. 10．【答案】120 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 小明到站之间的距离最大为． 故答案为：． 【分析】设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，再根据“ 公交车的速度是小明速度的5倍 ”列出不等式，再求解即可. 11．【答案】7 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0． 又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5． ∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c． ∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12． ∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a， ∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19， ∴m-n=19-12=7 故答案为：7． 【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值. 12．【答案】4 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为10−x. 由每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩可得： 甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2(10−x)亩， 由甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元得： 故最多只能安排4人种甲种蔬菜。 故答案为：4. 【分析】根据菜农人数与种田的亩数，可列出关于总收入的关系式，得出种甲种蔬菜的人数。 13．【答案】（1）解：设购买x棵松树，则购买(40-x)棵玉兰树. 150x+100(40-x)≤4900， 解得x≤18. 答：至多可以购买18棵松树. （2）解：设购买松树y(15≤y≤20)棵，则购买玉兰树(40-y)棵 由题意可得： 方案一的费用为：150×0.8y+100(40-y)=20y+4000(元) 方案二的费用为：0.9×[150×y+100(40-y)]=45y+3600(元)， 当20y+4000>45y+3600时，解得：y<16； 当20y+4000=45y+3600时，解得：y=16； 当20y+4000<45y+3600时，解得：y>16； ∵y为正整数 ∴综上所述，当购买15棵松树时选择方案二更合算；当购买16棵松树时两种方案费用相同，一样合算；当购买17，18，19，20棵松树时选择方案一更合算. 【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题 【解析】【分析】(1)设购买松树x棵，则购买玉兰树(40-x)棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果； (2)设购买松树y(15≤y≤20)棵，则购买玉兰树(40-y)棵，分别表示出方案一的费用为(20y+4000)元，方案二的费用为(45y+3600)元，再分情况计算即可得出结果. 14．【答案】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根， 由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据题意"用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型"可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据题意"花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80"可列关于a的分式方程，解分式方程并检验可求得塑料管的单价和小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据题意"向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管"可列关于m的一元一次不等式，解不等式并结合小球和塑料管都为正整数即可求解． （1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 15．【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 根据题意可列方程组，得：， 解这个方程组，得：， 答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人. （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意可列不等式为：a≥7（20-a）， 解这个不等式，得：a≥17.5， ∵a为整数， ∴a的值为18，19，20， 设租车的总租金为w元， 则w=500a+400（20-a）=100a+8000， 当a=18时，w=100×18+8000=9800（元）， 当a=19时，w=100×19+8000=9900（元）， 当a=20时，w=100×20+8000=10000（元）， 9800＜9900＜10000， 答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元. （3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生， 根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍， 即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人， ∴m=24， 经检验，m=24是原分式方程的解， ∴n=18×24+5=437（名）， 答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动. 【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用 【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案； （2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案； （3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案. （1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 由素材2得：， 解得：， ∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 由素材3得：， ， ， ， ∵a为整数， ∴， 总租金， ∵，R随a增大而增大， ∴当时，R最小， 此时B型车数量为辆， （元）， ∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元； （3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生， 由题意：， ， ∵n为整数，且（B型车最多搭载20人）， ∴为整数，是23的因数， ∵23为质数， ∴或， 即或， 当时，，不合理， 当时，，合理， 学生数， ∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动． 16．【答案】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元， 根据题意得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴每个B款吉祥物的售价为30元． （2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物， 根据题意得．解得． 又∵m为正整数，∴m的最大值为4． ∴李老师最多可购买4个A款吉祥物． 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用 【解析】【分析】（1）设每个B款吉祥物的售价是x元，则每个A款吉祥物的售价是（x+20）元，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出B款吉祥物的售价； （2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买（10-m）个B款吉祥物，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论。 学科网（北京）股份有限公司 $