专题2.2 立方根 专题训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦立方根概念应用，通过基础计算、逆向求解、规律探索、实际建模及综合运用五大题型，构建从概念到应用的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求一个数的立方根|5题|直接考查立方根定义及特殊数立方根|概念理解→基础计算| |已知立方根求原数|4题|逆向运用立方根定义，含估算|定义逆向→数值转化| |规律探索|5题|通过数据观察立方根变化规律，含材料阅读题|观察归纳→推理意识| |实际应用|5题|结合正方体、圆锥体积等模型求棱长|数学建模→应用意识| |与算术平方根综合|6题|融合平方根与立方根的定义及性质|知识整合→综合运用|

专题2.2 立方根（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1·求一个数的立方根 1 题型·2·已知一个数的立方根，求这个数 2 题型·3.与立方根有关的规律探索 3 题型·4·立方根的实际应用 5 题型·5·算术平方根和立方根的综合应用 7 题型·1·求一个数的立方根 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 2．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 3．的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的结果，再求所得结果的立方根，注意区分算术平方根与立方根的概念． 【详解】解：， 的立方根是，即的立方根是． 4．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 5．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根是2，先求出这个数，然后再求出这个数的平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是2， ∴这个数为， ∴这个数的平方根是，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，求出这个数为8． 题型·2·已知一个数的立方根，求这个数 6．已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326 【答案】A 【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵68.82＝6.882×10， ∴x＝326×103＝326000， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 7．若一个数的立方根是－，则该数为（    ） A．－ B．－ C．± D．± 【答案】B 【解析】略 8．已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 9．已知，则的值为________． 【答案】34.56 【详解】解：， ． 题型·3.与立方根有关的规律探索 10．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 11．，，则______． 【答案】 【分析】根据立方根运算的规律，被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点向右移动一位，进行计算即可． 【详解】解：由立方根的规律：∵， ∴． 12．观察规律：，，．则_____． 【答案】 【分析】观察已知开立方运算结果，总结被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察已知等式：，，， 可得规律：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点相应向右或向左移动1位， 对比与，的小数点向右移动3位得到， 因此的小数点向右移动1位，得． 13．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 14．阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？由，确定是一个两位数；由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 【答案】 【分析】按照题干给出的确定立方根的方法，先确定该数的位数，再确定个位数字，最后确定十位数字，即可得到结果． 【详解】解： ，， 可得，因此是两位数． 由于到十个数字中只有的立方末位是，因此的个位上的数是． 划去后面的三位得到数，而，， 可得，因此的十位上的数是． 因此这个整数为． 题型·4·立方根的实际应用 15．一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积等于棱长的立方，即求216的立方根即可． 【详解】正方体的体积为 它的棱长为． 故选：B． 16．已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，先得出一个大正方体的体积，再结合体积公式得出一个大正方体的边长为，最后由表面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍， ∴一个大正方体的体积为， ∴ ∴一个大正方体的边长为， ∴一个大正方体的表面积是， 故选：A． 17．一个正方体的体积是，则它的棱长大约是（　　） A．3cm~4cm B．4cm~5cm C．5cm~6cm D．10cm 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，由题意知，，由，，，可得，然后作答即可． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意知，， ∵，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 18．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ） A．50 B．60 C．70 D．40 【答案】A 【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积， ， ∴垃圾池的底面边长大约是米． 故选：A 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键． 19．在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），则此正方体容器的棱长是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】由题意可得长方体的体积和正方体的体积是相等，设正方体棱长是acm，然后列关于a的方程求解即可． 【详解】解：由于装满水的长方体，倒入正方体容器中，恰好倒满，所以它们的体积相等， 设正方体棱长是acm， 则a³＝8×4×2， 解得a＝4． 故B． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，根据题意得到长方体的体积和正方体的体积是相等是解答本题的关键． 题型·5·算术平方根和立方根的综合应用 20．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 21．已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 22．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识． （1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，即可求出的平方根为． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 23．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可． （1）根据，的相反数是即可求解； （2）计算出即可求解； 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：； ∵的算术平方根是2， ∴， 即， ∴． ∵c是的相反数， ∴ 故：，，． （2）解：∵，，， ∴， ∴的算术平方根为3 24．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 25．已知：的立方根是的算术平方根3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根与平方根的运用，涉及立方根和平方根的定义、算术平方根定义、立方根与平方根的运算、解方程和代数式求值等知识，熟记立方根与平方根的运算是解决问题的关键． （1）根据立方根与算术平方根运算列方程求解即可得到答案； （2）将的值代入代数式求值，再由平方根运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 的立方根是的算术平方根3， ，解得； （2）解：将代入得到， 的平方根是， 的平方根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 立方根（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1·求一个数的立方根 1 题型·2·已知一个数的立方根，求这个数 1 题型·3.与立方根有关的规律探索 2 题型·4·立方根的实际应用 2 题型·5·算术平方根和立方根的综合应用 3 题型·1·求一个数的立方根 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 3．的立方根是（   ） A． B． C． D． 4．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 5．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 题型·2·已知一个数的立方根，求这个数 6．已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326 7．若一个数的立方根是－，则该数为（    ） A．－ B．－ C．± D．± 8．已知的立方根是，则____________． 9．已知，则的值为________． 题型·3.与立方根有关的规律探索 10．已知，，则______；已知，，则______． 11．，，则______． 12．观察规律：，，．则_____． 13．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 14．阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？由，确定是一个两位数；由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 题型·4·立方根的实际应用 15．一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 17．一个正方体的体积是，则它的棱长大约是（　　） A．3cm~4cm B．4cm~5cm C．5cm~6cm D．10cm 18．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ） A．50 B．60 C．70 D．40 19．在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），则此正方体容器的棱长是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 题型·5·算术平方根和立方根的综合应用 20．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 21．已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 22．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 23．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 24．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 25．已知：的立方根是的算术平方根3． (1)求的值； (2)求的平方根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $