专题05 与平方根、立方根有关的计算专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本专项以平方根、立方根概念为基础，通过7类题型系统构建“定义-性质-应用”三层方法体系，突出运算技巧与逻辑推理，培养抽象能力和运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求算术平方根|典例2+变式3|拆分完全平方数+非负结果|从定义双重非负性到具体数开方| |求平方根|典例2+变式3|算术平方根添正负号|区分平方根与算术平方根符号| |求立方根|典例2+变式3|负号移出根号+完全立方拆分|对比平方根突出负数可开立方| |性质求值|典例2+变式3|非负性方程+符号性质|综合平方根立方根核心性质应用| |解方程|典例2+变式3|平方方程双解/立方方程单解|从开方运算到方程求解步骤| |无理数整数部分|典例2+变式3|夹逼法确定区间|从数的估算到代数式求值| |综合应用|典例2+变式3|非负性+参数方程|整合概念与性质解决复杂问题|

专题05 与平方根、立方根有关的计算专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 求一个数的平方根 题型03 求一个数的立方根 题型04 利用平方根、立方根的性质求值 题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 题型06 无理数整数部分的有关计算 题型07平方根与立方根的综合 ▌题型01 求一个数的算术平方根 核心定义 1. 若正数，则正数叫的算术平方根，记作； 2. 的算术平方根是，即； 3. 双重非负性：被开方数，结果。 解题必备步骤 & 技巧 1. 先判断被开方数是否非负，负数无算术平方根； 2. 拆分数字：把被开方数拆成一个完全平方数； 3. 结果只取非负的那个根，不带负号； 4. 常见完全平方熟记：等。 易错点 永远≥0，不要算出正负两个答案。 【典例1-1】求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2)0.09 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【典例1-2】求下列各数的算术平方根.   (1)0.062 5；          (2)(-3)2；         (3)；              (4)108. 【答案】(1)0.25；  (2)3；  (3)；  (4)104 【详解】试题分析：根据算术平方根的定义进行解答即可． 试题解析： 解：（1）∵0.252＝0.0625， ∴0.0625的算术平方根是0.25， 即＝0.25； （2）(－3)2＝9， 9的算术平方根是3， ∴(－3)2的算术平方根是3， 即＝3； （3）∵＝， ∴的算术平方根是， 即＝； （4）∵(104)2＝108， ∴108的算术平方根是104， 即＝104． 【变式1-1】求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.04； (3)． 【答案】(1) (2)0.2 (3)10 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （2）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （3）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：依题意，， （3）解：依题意，． 【变式1-2】求下列各数的算术平方根： (1)144；　　　(2)1； (3) ；           (4)0. 【答案】(1)12；(2)1；(3)；（4）0. 【详解】试题分析： 按算术平方根的定义求出相应数的算术平方根即可. 试题解析： （1）∵， ∴144的算术平方根是12； （2）∵， ∴1的算术平方根是1； （3）∵， ∴的算术平方根是； （4）∵， ∴0的算术平方根是0. 【变式1-3】求下列各数的算术平方根： （1）196；（2）；（3）0.04；（4）． 【答案】（1）14；（2）；（3）0.2；（4）10 【分析】本题根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 【点睛】本题考查算术平方根的定义，可与平方根以及立方根的定义对比记忆，按照定义直接求解即可． ▌题型02 求一个数的平方根 核心定义 1. 若，则叫做的平方根，记作； 2. 正数有两个互为相反数的平方根；0 只有一个平方根 0；负数没有平方根。 解题必备步骤 & 技巧 1. 第一步判定：被开方数必须≥0，负数直接判定无平方根； 2. 先算出算术平方根，再添正负号； 3. 文字描述 “求平方根” 必须写；若符号是只取算术平方根。 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)4； (2)； (3)0.01． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求平方根，熟练掌握平方根定义是解题关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据平方根的定义计算即可； （3）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【典例2-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （2）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （3）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是，即． （2）解：∵， ∴的平方根是，即． （3）解：∵， ∴的平方根是，即． 【变式1-1】求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是． （2）解：， 的平方根是． （3）解：， 的平方根是． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)225； (2)1600； (3)； (4)0.0144． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了求平方根，运用平方根知识分别进行计算、求解，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是； （4）解：， 的平方根是． 【变式1-3】求下列各数的平方根． （1）0.09              （2）                  （3）         （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据平方根的定义即可得； （2）根据平方根的定义即可得； （3）根据平方根的定义即可得； （4）先根据算术平方根求出的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】（1）因为， 所以的平方根是； （2）因为， 所以的平方根是； （3）因为， 所以的平方根是； （4）因为，， 所以的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根，掌握理解定义是解题关键． ▌题型03 求一个数的立方根 核心定义 1. 若，则叫的立方根，记作； 2. 任意实数都有唯一立方根：正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根是 0。 解题必备公式 & 技巧 1. 性质公式：，负号可直接移出根号； 2. 熟记完全立方：； 3. 解题步骤：拆分被开方数为完全立方，直接开方，符号跟被开方数一致。 关键区别平方根 负数可以开立方，不能开平方。 【典例3-1】求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）的立方根是，即； （2）的立方根是，即； （3）729的立方根是9，即． 【典例3-2】求下列各数的立方根： （1）-125； （2）0.027； （3）（53）2. 【答案】（1）-5；（2）0.3；（3）25 【详解】试题分析：根据立方根的意义，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根. 试题解析：（1）∵（-5）3=-125 ∴-125的立方根为-5； （2）∵0.33=0.027 ∴0.027的立方根为0.3 （3）∵（53）2=（52）3 ∴（53）2立方根为52=25. 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)0.008； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； 【变式1-2】求下列各数的立方根． (1)0.001； (2)； (3)8000； (4)﹣． 【答案】(1)0.1 (2) (3)20 (4)﹣ 【分析】根据立方根的概念求解． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了立方根的知识，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 【变式1-3】求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）利用立方根的定义开立方即可． （2）利用立方根的定义开立方即可． （3）利用立方根的定义开立方即可． （4）利用立方根的定义开立方即可． 【详解】（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． ▌题型04 利用平方根、立方根的性质求值 一、平方根核心性质 1. 2. 3. 若两个非负数相加为 0：（算术平方根非负性） 4. 一个数的两个平方根互为相反数，相加等于 0。 二、立方根核心性质 1. 2. （不用加绝对值） 解题必备思路 1. 给出一个数的两个平方根，直接列方程：两平方根相加 = 0，求未知数； 2. 根号 + 平方 + 绝对值组合相加为 0，每一项分别等于 0； 3. 区分要去绝对值，直接等于。 【典例4-1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)70 (2)1600 (3)0.03 (4)1.8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【典例4-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 【变式1-1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式1-2】求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）0.4；（4）0.3 【分析】根据平方根和立方根的定义，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握一般地，如果一个数 的平方等于 ，则称是的一个平方根，记作： ；如果一个数 的立方等于 ，则称是的一个立方根，记作：是解题的关键． 【变式1-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查立方根的运算，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． （1）根据立方根的性质计算即可； （2）根据立方根的性质计算即可； （3）根据立方根的性质计算即可； （4）根据立方根的性质计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：， ． （4）解：， ． ▌题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 ◆◆◆ 一、平方根型方程 必备前提 1. ：方程无实数解； 2. ：两边同时开平方，得，分两个一元一次方程求解。 步骤模板 1. 移项，把平方项单独放左边； 2. 判断右侧常数正负，负数无解； 3. 开平方带，分开解两个方程，得两个解。 二、立方根型方程 必备性质 任意实数可开立方，无无解情况； 步骤模板 1. 移项，立方项单独在左边； 2. 两边同时开立方，； 3. 直接解一元一次方程，只有一个实数解。 通用易错点 平方方程容易漏写负根；立方方程不要额外添加正负号。 【典例5-1】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原方程为 移项得 开立方得 方程的解为 ； （2）原方程为 方程两边同除以2得 开平方得 或 分别求解得 或 ∴方程的解为 ． 【典例5-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根解方程； （1）先得到，再根据平方根的性质求解即可； （2）先得到，再根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得： ∴． 【变式1-1】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】本题考查利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）先整理，再利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； ∴ 或 （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程： （1）两边同时开平方，得出，即可求解； （2）先变形得，两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， 两边开平方，得， 即或， 解得或 （2）解：， 变形，得， 两边开立方，得， 解得． 【变式1-3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． ▌题型06 无理数整数部分的有关计算 解题必备基础 1. 夹逼法核心：找到两个相邻整数，满足，则： · 的整数部分 · 小数部分 2. 负数无理数处理：如，先判断范围，整数部分为，小数部分； 3. 立方无理数同理，用相邻完全立方数夹逼。 常见考法必备公式 设无理数，整数部分为，小数部分为，则： 解题步骤 1. 找邻近完全平方 / 立方数，夹逼确定取值区间； 2. 读出整数部分； 3. 用原无理数减去整数部分，得到小数部分； 4. 代入代数式求值。 【典例6-1】已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出，再估算得到； （2）将a，b，c的值代入代数式计算结果，再求结果的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵是的立方根， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分； （2）解：将代入得： ， ∴的平方根为． 【典例6-2】已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)或 (2)2或0 【分析】（1）根据立方根、平方根即可求出a，b的值； （2）估算无理数的大小即可求c的值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵是4的平方根， 或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵， ∴的整数部分是3， ， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 【变式1-1】若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． (1)则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； (2)求的平方根． 【答案】(1)，3，6 (2) 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ； ， ，即， 的整数部分是6， ， 故答案为：，3，6． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． ▌题型07 平方根与立方根的综合 1. 基础隐含条件： 平方根：被开方数； 立方根：可取全体实数，无限制。 2. 固定结论：算术平方根与立方根相等的数字只有 0 和 1。 3. 题干条件翻译：一个正数的两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 综合题解题流程： ① 先用平方根非负性锁定字母取值范围； ② 结合立方根性质联立等式求解参数； ③ 将解代回原式检验，舍去不符合平方根定义的解。 【典例7-1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，的平方根是它本身． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用平方根、算术平方根和立方根的定义求得，，的值即可； （2）代入数据，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 的立方根是， ∴， ∴ 的平方根是它本身， ∴； （2）解：，，， ， 的平方根为． 【典例7-2】已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知是25的算术平方根，的平方根为，，求的立方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根与平方根定义得到方程组，解出，再回代求，进而得到，结合立方根定义计算． 【详解】解：∵M是25的算术平方根， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴， 即， 方程组的解为， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【变式1-2】若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【答案】的平方根是，立方根是． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与平方根、立方根有关的计算专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 求一个数的平方根 题型03 求一个数的立方根 题型04 利用平方根、立方根的性质求值 题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 题型06 无理数整数部分的有关计算 题型07平方根与立方根的综合 ▌题型01 求一个数的算术平方根 【典例1-1】 【答案】(1)6 (2)0.09 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【典例1-2】 【答案】(1)0.25；  (2)3；  (3)；  (4)104 【详解】试题分析：根据算术平方根的定义进行解答即可． 试题解析： 解：（1）∵0.252＝0.0625， ∴0.0625的算术平方根是0.25， 即＝0.25； （2）(－3)2＝9， 9的算术平方根是3， ∴(－3)2的算术平方根是3， 即＝3； （3）∵＝， ∴的算术平方根是， 即＝； （4）∵(104)2＝108， ∴108的算术平方根是104， 即＝104． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)0.2 (3)10 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （2）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （3）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：依题意，， （3）解：依题意，． 【变式1-2】 【答案】(1)12；(2)1；(3)；（4）0. 【详解】试题分析： 按算术平方根的定义求出相应数的算术平方根即可. 试题解析： （1）∵， ∴144的算术平方根是12； （2）∵， ∴1的算术平方根是1； （3）∵， ∴的算术平方根是； （4）∵， ∴0的算术平方根是0. 【变式1-3】 【答案】（1）14；（2）；（3）0.2；（4）10 【分析】本题根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 【点睛】本题考查算术平方根的定义，可与平方根以及立方根的定义对比记忆，按照定义直接求解即可． ▌题型02 求一个数的平方根 【典例2-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求平方根，熟练掌握平方根定义是解题关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据平方根的定义计算即可； （3）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【典例2-2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （2）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （3）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是，即． （2）解：∵， ∴的平方根是，即． （3）解：∵， ∴的平方根是，即． 【变式1-1】 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是． （2）解：， 的平方根是． （3）解：， 的平方根是． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了求平方根，运用平方根知识分别进行计算、求解，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是； （4）解：， 的平方根是． 【变式1-3】 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据平方根的定义即可得； （2）根据平方根的定义即可得； （3）根据平方根的定义即可得； （4）先根据算术平方根求出的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】（1）因为， 所以的平方根是； （2）因为， 所以的平方根是； （3）因为， 所以的平方根是； （4）因为，， 所以的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根，掌握理解定义是解题关键． ▌题型03 求一个数的立方根 【典例3-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）的立方根是，即； （2）的立方根是，即； （3）729的立方根是9，即． 【典例3-2】 【答案】（1）-5；（2）0.3；（3）25 【详解】试题分析：根据立方根的意义，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根. 试题解析：（1）∵（-5）3=-125 ∴-125的立方根为-5； （2）∵0.33=0.027 ∴0.027的立方根为0.3 （3）∵（53）2=（52）3 ∴（53）2立方根为52=25. 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； 【变式1-2】 【答案】(1)0.1 (2) (3)20 (4)﹣ 【分析】根据立方根的概念求解． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了立方根的知识，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）利用立方根的定义开立方即可． （2）利用立方根的定义开立方即可． （3）利用立方根的定义开立方即可． （4）利用立方根的定义开立方即可． 【详解】（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． ▌题型04 利用平方根、立方根的性质求值 【典例4-1】 【答案】(1)70 (2)1600 (3)0.03 (4)1.8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【典例4-2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 【变式1-1】 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式1-2】 【答案】（1）；（2）；（3）0.4；（4）0.3 【分析】根据平方根和立方根的定义，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握一般地，如果一个数 的平方等于 ，则称是的一个平方根，记作： ；如果一个数 的立方等于 ，则称是的一个立方根，记作：是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)0.3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查立方根的运算，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． （1）根据立方根的性质计算即可； （2）根据立方根的性质计算即可； （3）根据立方根的性质计算即可； （4）根据立方根的性质计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：， ． （4）解：， ． ▌题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 【典例5-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原方程为 移项得 开立方得 方程的解为 ； （2）原方程为 方程两边同除以2得 开平方得 或 分别求解得 或 ∴方程的解为 ． 【典例5-2】 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根解方程； （1）先得到，再根据平方根的性质求解即可； （2）先得到，再根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得： ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) 或 (2) 【分析】本题考查利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）先整理，再利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； ∴ 或 （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式1-2】 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程： （1）两边同时开平方，得出，即可求解； （2）先变形得，两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， 两边开平方，得， 即或， 解得或 （2）解：， 变形，得， 两边开立方，得， 解得． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． ▌题型06 无理数整数部分的有关计算 【典例6-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出，再估算得到； （2）将a，b，c的值代入代数式计算结果，再求结果的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵是的立方根， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分； （2）解：将代入得： ， ∴的平方根为． 【典例6-2】 【答案】(1)或 (2)2或0 【分析】（1）根据立方根、平方根即可求出a，b的值； （2）估算无理数的大小即可求c的值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵是4的平方根， 或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵， ∴的整数部分是3， ， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 【变式1-1】 【答案】(1)，3，6 (2) 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ； ， ，即， 的整数部分是6， ， 故答案为：，3，6． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为：． 【变式1-2】 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． ▌题型07 平方根与立方根的综合 【典例7-1】 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用平方根、算术平方根和立方根的定义求得，，的值即可； （2）代入数据，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 的立方根是， ∴， ∴ 的平方根是它本身， ∴； （2）解：，，， ， 的平方根为． 【典例7-2】 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 【变式1-1】 【答案】 【分析】先根据算术平方根与平方根定义得到方程组，解出，再回代求，进而得到，结合立方根定义计算． 【详解】解：∵M是25的算术平方根， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴， 即， 方程组的解为， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【变式1-2】 【答案】的平方根是，立方根是． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与平方根、立方根有关的计算专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 求一个数的平方根 题型03 求一个数的立方根 题型04 利用平方根、立方根的性质求值 题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 题型06 无理数整数部分的有关计算 题型07平方根与立方根的综合 ▌题型01 求一个数的算术平方根 核心定义 1. 若正数，则正数叫的算术平方根，记作； 2. 的算术平方根是，即； 3. 双重非负性：被开方数，结果。 解题必备步骤 & 技巧 1. 先判断被开方数是否非负，负数无算术平方根； 2. 拆分数字：把被开方数拆成一个完全平方数； 3. 结果只取非负的那个根，不带负号； 4. 常见完全平方熟记：等。 易错点 永远≥0，不要算出正负两个答案。 【典例1-1】求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 【典例1-2】求下列各数的算术平方根.   (1)0.062 5；          (2)(-3)2；         (3)；              (4)108. 【变式1-1】求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.04； (3)． 【变式1-2】求下列各数的算术平方根： (1)144；　　　(2)1； (3) ；           (4)0. 【变式1-3】求下列各数的算术平方根： （1）196；（2）；（3）0.04；（4）． ▌题型02 求一个数的平方根 核心定义 1. 若，则叫做的平方根，记作； 2. 正数有两个互为相反数的平方根；0 只有一个平方根 0；负数没有平方根。 解题必备步骤 & 技巧 1. 第一步判定：被开方数必须≥0，负数直接判定无平方根； 2. 先算出算术平方根，再添正负号； 3. 文字描述 “求平方根” 必须写；若符号是只取算术平方根。 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)4； (2)； (3)0.01． 【典例2-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3) ． 【变式1-1】求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)225； (2)1600； (3)； (4)0.0144． 【变式1-3】求下列各数的平方根． （1）0.09              （2）                  （3）         （4） ▌题型03 求一个数的立方根 核心定义 1. 若，则叫的立方根，记作； 2. 任意实数都有唯一立方根：正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根是 0。 解题必备公式 & 技巧 1. 性质公式：，负号可直接移出根号； 2. 熟记完全立方：； 3. 解题步骤：拆分被开方数为完全立方，直接开方，符号跟被开方数一致。 关键区别平方根 负数可以开立方，不能开平方。 【典例3-1】求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【典例3-2】求下列各数的立方根： （1）-125； （2）0.027； （3）（53）2. 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)0.008； (3)． 【变式1-2】求下列各数的立方根． (1)0.001； (2)； (3)8000； (4) ﹣． 【变式1-3】求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型04 利用平方根、立方根的性质求值 一、平方根核心性质 1. 2. 3. 若两个非负数相加为 0：（算术平方根非负性） 4. 一个数的两个平方根互为相反数，相加等于 0。 二、立方根核心性质 1. 2. （不用加绝对值） 解题必备思路 1. 给出一个数的两个平方根，直接列方程：两平方根相加 = 0，求未知数； 2. 根号 + 平方 + 绝对值组合相加为 0，每一项分别等于 0； 3. 区分要去绝对值，直接等于。 【典例4-1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例4-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【变式1-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型05 利用平方根、立方根的性质解方程 ◆◆◆ 一、平方根型方程 必备前提 1. ：方程无实数解； 2. ：两边同时开平方，得，分两个一元一次方程求解。 步骤模板 1. 移项，把平方项单独放左边； 2. 判断右侧常数正负，负数无解； 3. 开平方带，分开解两个方程，得两个解。 二、立方根型方程 必备性质 任意实数可开立方，无无解情况； 步骤模板 1. 移项，立方项单独在左边； 2. 两边同时开立方，； 3. 直接解一元一次方程，只有一个实数解。 通用易错点 平方方程容易漏写负根；立方方程不要额外添加正负号。 【典例5-1】解方程 (1) (2) 【典例5-2】解方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 【变式1-3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型06 无理数整数部分的有关计算 解题必备基础 1. 夹逼法核心：找到两个相邻整数，满足，则： · 的整数部分 · 小数部分 2. 负数无理数处理：如，先判断范围，整数部分为，小数部分； 3. 立方无理数同理，用相邻完全立方数夹逼。 常见考法必备公式 设无理数，整数部分为，小数部分为，则： 解题步骤 1. 找邻近完全平方 / 立方数，夹逼确定取值区间； 2. 读出整数部分； 3. 用原无理数减去整数部分，得到小数部分； 4. 代入代数式求值。 【典例6-1】已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【典例6-2】已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 【变式1-1】若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． (1)则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； (2)求的平方根． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． ▌题型07 平方根与立方根的综合 1. 基础隐含条件： 平方根：被开方数； 立方根：可取全体实数，无限制。 2. 固定结论：算术平方根与立方根相等的数字只有 0 和 1。 3. 题干条件翻译：一个正数的两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 综合题解题流程： ① 先用平方根非负性锁定字母取值范围； ② 结合立方根性质联立等式求解参数； ③ 将解代回原式检验，舍去不符合平方根定义的解。 【典例7-1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，的平方根是它本身． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【典例7-2】已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知是25的算术平方根，的平方根为，，求的立方根． 【变式1-2】若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $