考点通关练 7函数的零点与方程的解-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 函数与方程综合应用专项训练，通过选择、填空及解答题系统覆盖零点判定、参数范围等高频考点，注重逻辑推理与数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8|零点区间判断、个数确定及参数范围|从基础零点存在性定理到函数性质综合应用| |多选题|3|概念辨析与性质综合|函数图象与方程解的关联及逻辑推理| |填空题|3|零点计算与二分法应用|从代数求解到数值逼近的方法迁移| |解答题|2|函数性质证明与参数讨论|二次函数、对数函数性质的综合应用与数学表达|

考点通关练 7函数的零点与方程的解模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1,2) C.(2,e) D.(2,3) 【答案】B 【解析】f(x)＝ln x－的定义域为(0,＋∞), 又y＝ln x与y＝－在(0,＋∞)上单调递增, 所以f(x)＝ln x－在(0,＋∞)上单调递增, 又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln 2－>0, 所以f(1)f(2)<0, 2.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C 【解析】由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3). 3.函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝－2－x－1的定义域为[0,＋∞), 函数y＝在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减, 所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增. 由f(1)＝1－－1＝－<0,f(2)＝－1＝－1.25>0, 所以函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(1,2). 4.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1； 当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0, f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0, 即f(1)f(2)<0, 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点, 综上,函数f(x)的零点个数为2. 5.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点, 即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝的解, 即y＝|log2x|与y＝图象的交点,如图所示, 从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2. 6.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 【答案】D 【解析】由函数f(x)＝ 因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a, 由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点, 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示, 结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2, 所以实数a的取值范围为[2,＋∞). 7.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝在R上没有零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,＋∞) B.(1,＋∞) C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0} 【答案】D 【解析】当x≤0时,0<ex≤1, 若关于x的方程ex＝a无解,则a≤0或a>1； 当x>0时,ln(x＋1)>0, 若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解,则a≥0. 综上,a的取值范围为(1,＋∞)∪{0}. 8.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x＋log2x－4的零点为x1,g(x)＝x＋loga(x－1)－5(a>1)的零点为x2,若x2－x1>1,则实数a的取值范围是(　　) A.(1) B.(2) C.(1,2) D.(2,＋∞) 【答案】D 【解析】因为f(2)＝2＋1－4＝－1<0,f(3)＝3＋log23－4＝log23－1>0, 由函数零点存在定理,所以x1∈(2,3), 由题意可知, x1＋log2x1－4＝x2＋loga(x2－1)－5＝0, 即x1＋log2x1－4＝x2－1＋loga(x2－1)－4, 即x1＋log2x1＝x2－1＋loga(x2－1), 因为x2－x1>1,所以x1<x2－1, 则log2x1>loga(x2－1),又a>1, 2<x1<x2－1,所以a>2. 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0),(2,0) B.方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)上有解 C.函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称 D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1,1.25)上 【答案】BC 【解析】对于A,令f(x)＝x2＋2x－8＝0,解得x1＝－4,x2＝2,即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2,故A错误； 对于B,令f(x)＝ex－x－3,则f(－3)＝e－3>0,f(0)＝－2<0,f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0,所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3,0),(0,10)内有零点,即方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)内有解,故B正确； 对于C,函数y＝3x,y＝log3x互为反函数,所以函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称,故C正确； 对于D,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1.25,1.5)上,故D错误. 10.(2025·大连模拟)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点,则(　　) A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2>2 D.·log2x2＝1 【答案】ABD 【解析】由题设知,f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标,由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称,y＝的图象关于直线y＝x对称, 所以x1,x2关于直线y＝x对称, y＝2x,y＝log2x,y＝的图象如图所示, 所以点(x1)与点(x2,log2x2)关于直线y＝x对称, 即 故－x2＝0·log2x2＝1, log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0,A,B,D对； 若x2>2,即x2＝>2⇒x1>1,此时x1x2>2,与x1x2＝1矛盾,C错. 11.(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 【答案】BD 【解析】函数f(x)＝ 结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A选项错误； h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3],B选项正确； 解方程可知,当k＝－2时,h(x)有两个零点,－1－和1,所有零点之和为－C选项错误； 当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k有1个交点,即h(x)有1个零点,D选项正确. 三、填空题（共3小题） 12.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　　　　　.  【答案】2 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示, 根据图象可知y＝f(x)－2 024共有2个零点,且2个零点关于直线x＝1对称, 所以零点之和为2. 13.在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  【答案】7 【解析】设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. 14.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　.  【答案】6 【解析】令36－x2≥0,解得－6≤x≤6, 所以f(x)的定义域为[－6,6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0, 由36－x2＝0得x＝±6, 由cos x＝0得x＝＋kπ,k∈Z, 又x∈[－6,6],所以x的取值为－－. 故f(x)共有6个零点. 四、解答题（共2小题） 15.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c. (1)证明：f(x＋2)是偶函数； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围. 【答案】(1)证明由二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞), 可得＝2,解得b＝4. 又因为f(x)有一个零点为c,则f(c)＝c2－4c＋c＝0, 解得c＝3或c＝0(舍去), 所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1, 因为f(－x＋2)＝x2－1＝f(x＋2),所以f(x＋2)是偶函数. (2)解由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4, 因为g(x)在(1,3)上有两个零点, 则满足 解得0<m< 所以实数m的取值范围为. 16.已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根,求实数a的取值范围. 【答案】(1)f(x)为奇函数,理由如下： 由题意得解得－2<x<2,即函数f(x)的定义域为(－2,2),故定义域关于原点对称. 又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x), 故f(x)为奇函数. (2)由f(x)＝log2(a＋x), 得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x), 所以＝a＋x, 所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3, 故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根,即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点. 设t＝2－x,x∈(－2,2),则y＝＋t－3,t∈(0,4). 作出函数y＝＋t－3,t∈(0,4)的图象,如图所示. 当1<a<2时,函数y＝a与y＝＋t－3,t∈(0,4)的图象有两个交点,即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根, 故实数a的取值范围是(1,2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 7函数与方程的综合应用模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1,2) C.(2,e) D.(2,3) 2.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 7.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝在R上没有零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,＋∞) B.(1,＋∞) C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0} 8.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x＋log2x－4的零点为x1,g(x)＝x＋loga(x－1)－5(a>1)的零点为x2,若x2－x1>1,则实数a的取值范围是(　　) A.(1) B.(2) C.(1,2) D.(2,＋∞) 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0),(2,0) B.方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)上有解 C.函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称 D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1,1.25)上 10.(2025·大连模拟)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点,则(　　) A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2>2 D.·log2x2＝1 11.(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 三、填空题（共3小题） 12.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　　　　　.  13.在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  14.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　.  四、解答题（共2小题） 15.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c. (1)证明：f(x＋2)是偶函数； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围. 16.已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $