第2章 第11讲 函数与方程 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦函数零点问题，以单调性、零点存在定理、数形结合为核心方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑体系，培养逻辑推理与直观想象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1,7题|零点存在定理+单调性|从零点概念出发，结合函数性质判断存在性| |参数范围|2,9题|端点值分析+单调性|由零点存在拓展到参数限定，强化数学运算| |零点个数|3,8题|转化思想+分类讨论|将零点问题转化为方程根或图象交点，提升逻辑推理| |综合应用|5,14题|数形结合+复合函数|多函数零点比较及复合函数零点分析，培养直观想象|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数f(x)＝－log2x的零点所在区间为(　　) A． B． C．(1，2) D．(2，3) 解析：选C.函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)＝－log2x的零点所在区间为(1，2). 2．(2026·海口月考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A．(－，－) B． C．(－∞，－)∪(－，＋∞) D．∪(－，＋∞) 解析：选B.因为函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，得即解得－≤m<－.因此，实数m的取值范围是. 3．函数f(x)＝－x＋1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.易知0不是函数f(x)的零点，故f(x)＝－x＋1＝0 ⇔ －1＋＝0(x≠0)，令g(x)＝－1＋(x≠0)，则g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，又g(－1)>0，g<0，g(1)>0，g(2)<0，故g(x)在，(1，2)上各有一个零点，即函数f(x)的零点个数为2. 4．(2026·南宁模拟)设函数f(x)＝ex＋ax2，g(x)＝a－e－x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则实数a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选D.令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex＋ax2－a＋e－x，定义域为R，且h(－x)＝e－x＋ax2－a＋ex＝h(x)，则h(x)为偶函数，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则h(x)只有一个零点，即h(0)＝1－a＋1＝0，解得a＝2. 5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x1>x2>x3 B．x3>x2>x1 C．x1>x3>x2 D．x2>x1>x3 解析：选B.令f(x)＝0，即2x＝－x；令g(x)＝0，即log2x＝－x；令h(x)＝0，即log2x＝， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出y＝2x，y＝log2x，y＝和y＝－x的图象，如图所示． 由图象可知，x3>x2>x1. 6．(多选)(2026·绍兴期末)设函数f(x)＝若x1<x2，且f(x1)＝f(x2)，则(　　) A．0<x1< B．2x1x2＝x1＋x2 C．x1x2>1 D．x1＋x2>2 解析：选BCD. 作出函数f(x)的大致图象，如图所示， 由图可知，0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)知，－1＝1－，即＋＝2，则2x1x2＝x1＋x2，则x1＝>，故A错误，B正确；由2x1x2＝x1＋x2，得x1x2＝>，所以x1x2>1，故C正确；所以x1＋x2＝2x1x2>2，故D正确． 7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是1，则函数g(x)＝ax3＋bx的零点是________． 解析：由题意可得f(1)＝a＋b＝0，可得b＝－a.可得g(x)＝ax3＋bx＝ax3－ax，令g(x)＝0，得ax3－ax＝ax(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因此函数g(x)＝ax3＋bx的零点是－1，0，1. 答案：－1，0，1 8．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋f(－x)，则函数g(x)的零点个数为________． 解析：当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点； 当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1， 因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)g(1)<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点； 当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减， 又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0， 则g(－1)g(0)<0， 所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点． 综上，函数g(x)的零点个数为3. 答案：3 9．(13分)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. (1)求b，c的值；(5分) (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)由题意得2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，所以所以 (2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6，所以g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，依题意得解得－<m<0，故实数m的取值范围是(－，0). 10．记函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln (－x)＋的零点分别为a，b，则(　　) A．ab< B．ab＝1 C．ab＝2 D．ab>e 解析：选B.因为函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln (－x)＋的零点分别为a，b，所以ea＋a＝0，ln (－b)＋＝0，由ln (－b)＋＝0，得＝－ln (－b)＝ln ，所以e＝－，即e＋＝0，显然函数f(x)＝ex＋x在R上单调递增，因为f(a)＝f＝0，所以a＝，即ab＝1. 11．(多选)设f(x)＝若实数x1<x2<x3且满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，则(　　) A．－<x1≤0 B．x3≤ C．0<k≤2 D．的取值范围是[0，2] 解析：选CD.因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，且x1<x2<x3， 所以直线y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))， 作出y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知x1<－<x2≤0<≤x3，0<k≤2，且解得 则＝k(－)(－)＝k＝＝， 因为0<k≤2，则0<k2≤4， 所以＝∈[0，2]， 所以的取值范围是[0，2]. 12．已知函数f(x)＝x＋[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则方程f(x)＝x2的所有实数根之和为______． 解析：令f(x)＝x＋[x]＝x2，即[x]＝x2－x，因为x－1<[x]≤x，所以x－1<x2－x≤x，解得0≤x≤2，且x≠1，当x＝2时，满足题意，当1<x<2时，即1＝x2－x，解得x＝或x＝(舍去)，当0≤x<1时，0＝x2－x，解得x＝0或x＝1(舍去)，故方程f(x)＝x2的所有实数根之和为2＋＋0＝. 答案： 13．(15分)已知函数h(x)＝ex，函数y＝φ(x)的图象与函数y＝h(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)若g(x)＝h(x)φ(x)，x∈[1，e]，判断g(x)的单调性，并求其最大值；(4分) (2)若δ(x)＝φ(x)＋φ(x＋2)＋x. ①证明：δ(x)仅有一个零点x0；(5分) ②在①条件下，证明：φ(ex0)<h(x0＋ln x0).(6分) 解：(1)由已知得，φ(x)＝ln x， g(x)＝ex ln x，x∈[1，e]， 设∀x1，x2∈[1，e]，x1<x2， 0<h(x1)<h(x2)，0≤φ(x1)<φ(x2)，所以h(x1)φ(x1)<h(x2)φ(x2)， 即g(x)＝h(x)φ(x)在[1，e]上单调递增． 所以g(x)＝h(x)φ(x)，x∈[1，e]的最大值为g(e)＝ee. (2)证明：①由(1)得，δ(x)＝ln x＋ln (x＋2)＋x，所以δ(x)的定义域为(0，＋∞)且在定义域上单调递增． 因为δ＝ln ＋ln ＋＝ln ＋>0，ln (e-2＋2)<ln <ln e＝1， 所以δ(e-2)＝ln e-2＋ln(e-2＋2)＋e-2＝－2＋ln (e-2＋2)＋e-2<－1＋e-2<0，所以由函数零点存在定理得，存在唯一零点x0∈，使得δ(x0)＝0. ②由①得ln x0＋ln (x0＋2)＋x0＝0， 要证φ(ex0)<h(x0＋ln x0)，即证ln (ex0)<e， 即证1＋ln x0<e＝， 令λ(x)＝1＋ln x－，x∈，显然函数λ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为x0∈，所以λ(x0)<λ＝1＋ln －＝－ln 2. 因为e3<33＝27<32＝25，所以ln e3<ln 25，则<ln 2，所以λ(x0)<－ln 2<0成立， 所以1＋ln x0<成立，原不等式得证． 14．已知函数f(x)＝g(x)＝x2－ax＋2，若y＝g(f(x))有6个零点，则a的取值范围为________． 解析： 由题可得函数f(x)的图象如图，当k＝0或2<k<3时，f(x)＝k有2个解； 当0<k<1时，f(x)＝k有4个解；当1≤k≤2时，f(x)＝k有3个解； 当k≥3时，f(x)＝k有1个解； 当k<0时，f(x)＝k无解． 因为g(x)＝x2－ax＋2＝0最多有两个解， 因此，要使y＝g(f(x))有6个零点，则g(x)＝x2－ax＋2＝0有两个解，设为k1，k2.则存在下列几种情况： f(x)＝k1有2个解，f(x)＝k2有4个解，即k1＝0或2<k1<3，0<k2<1，显然g(0)≠0，(f(x)＝k1有4个解，f(x)＝k2有2个解同理) 则即解得a∈； f(x)＝k1有3个解，f(x)＝k2有3个解，设k1<k2即1≤k1<k2≤2， 则解得a∈(2，3].综上所述，a的取值范围为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $