考点通关练 8函数与方程的综合应用-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与方程综合应用，通过根的分布、分段/复合函数零点等题型，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的分布与参数范围|选择1,3,多选9|二次方程根的区间分布，结合二次函数图像|函数零点与方程根的转化，数形结合思想| |分段/复合函数零点|选择2,4,5,6,7,填空12,14|分段函数零点个数，复合函数嵌套零点|分段函数性质与方程求解的综合，分类讨论思想| |函数性质与零点综合|选择8,多选11|奇函数性质、周期性与零点结合|函数性质（奇偶性、单调性）与零点存在性定理的应用| |解答题综合应用|解答15,16|含参数函数最值、零点个数讨论，导数应用|函数与导数的综合，数学语言表达参数关系|

考点通关练 8函数与方程的综合应用模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1<x2<1,则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0,1) C.(－∞,－1)∪ D. 2.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0] D.(－∞,0) 3.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则 a的取值范围是(　　) A.(0,3) B.[0,3] C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞) 4.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实数t的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3) 5.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0,e] 6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 7.若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 8.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是(　　) A.[3.5,4) B.(3.5,4] C.(5,5.5] D.[5,5.5) 二、多选题（共3小题） 9.已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时,0<m<1 B.当x1<1且x2>1时,m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时,m<－ D.当x1<2且x2>4时,m<－ 10.(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 11.已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中,正确的是(　　) A.当k>1时,有1个零点 B.当k>1时,有3个零点 C.当k<0时,有9个零点 D.当k＝－4时,有7个零点 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 13.(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________. 14.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题（共2小题） 15.(2026·上海浦东三模)已知 . (1) 若函数 在区间 上的最大值比最小值大 3，求实数 a 的值； (2) 若 ，函数 与函数 恰有两个不同交点，求实数 m 的取值范围. 16.已知函数 ， 为 的导数. (1) 当 时，求曲线 在点处的切线方程； (2) 讨论零点的个数； (3) 设为的零点，证明：当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 8函数与方程的综合应用模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1<x2<1,则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0,1) C.(－∞,－1)∪ D. 【答案】C 【解析】设f(x)＝x2－2ax－a,则其图象的对称轴方程为x＝a, 由x1<x2<1可得 解得a<－1或0<a<. 2.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0] D.(－∞,0) 【答案】B 【解析】不妨设x1<x2<x3, 由图可知,当0<m≤6时,直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点, 且有－<x1≤0,0<x2<1<x3, 由f(x2)＝f(x3),即|ln x2|＝|ln x3|, 得ln x3＝－ln x2, 所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0, 即x2x3＝1,故x1x2x3＝x1∈. 3.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则 a的取值范围是(　　) A.(0,3) B.[0,3] C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞) 【答案】A 【解析】令f(x)＝－x2＋ax＋4, 则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于－1, 由二次函数的图象可知, 即 解得0<a<3. 4.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实数t的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3) 【答案】A 【解析】由题意,作出y＝f(x)的大致图象,如图所示, 要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t, 即函数y＝f(x)与y＝t的图象有4个不同的交点,则0<t<1, 所以实数t的取值范围是(0,1). 5.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0,e] 【答案】C 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示, 不妨设x1<x2<x3,则方程f(x)＝m有三个不同的根,则0≤m< 当x≤0时,－x2－x－m＝0,得x2＋x＋m＝0, 则x1·x2＝m； 当x>0时,ln x3＝m,x3＝em, 则x1·x2·x3＝mem, 设h(m)＝mem 则h'(m)＝(m＋1)em>0, 所以h(m)在上单调递增, 所以h(m)∈ 即x1·x2·x3的取值范围是. 6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】令t＝f(x),则t≥0, 若F(x)＝0,则f(t)－2t－＝0, 作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋由图象可得有两个交点,设横坐标分别为t1,t2,t1<t2, ∴t1＝0,t2∈(1,2). 当f(x)＝t1时,有x＝2,即有一解；当f(x)＝t2时,有三个解, 综上,F(x)＝0共有4个解, 即函数F(x)有4个零点. 7.若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】当x>0时,由1＋ln x＝0,得x＝ 当x≤0时,由x2＋4x＋3＝0,得x＝－1或x＝－3, 所以f(x)的零点为－3,－1 令t＝f(x),则t∈R,f(t)＝0的根分别为t1＝－3,t2＝－1,t3＝ 结合f(x)的图象可知,方程f(x)＝t1,f(x)＝t2,f(x)＝t3的根的个数分别为1,2,3,故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6. 8.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是(　　) A.[3.5,4) B.(3.5,4] C.(5,5.5] D.[5,5.5) 【答案】A 【解析】由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2的奇函数, 当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x, 因此f＝－log2＝1,f(1)＝0, 所以f(0)＝0,f＝－1,f(－1)＝0, 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2, 且g(－1)＝0,g＝－1,g(0)＝0,g＝1,g(1)＝0, 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数, 即求f(x)与g(x)图象的交点个数, 如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象, 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数, 因此交点也呈周期出现, 若在区间[－1,m]上有10个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10个交点, 则第10个交点坐标为(3.5,－1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m<4. 二、多选题（共3小题） 9.已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时,0<m<1 B.当x1<1且x2>1时,m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时,m<－ D.当x1<2且x2>4时,m<－ 【答案】ABD 【解析】对于A,由题意得解得0<m<1,A正确； 对于B,f(1)＝2m－2<0,解得m<1,B正确； 对于C解得－<m<0,C错误； 对于D解得m<－D正确. 10.(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 【答案】CD 【解析】令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0, 即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0, 解得f(x)＝1或f(x)＝ 如图,画出函数f(x)的图象, 当f(x)＝1时,直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点, 所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点, 则<－2,得m<－6, 结合选项可知,m的值可能是－7或－8. 11.已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中,正确的是(　　) A.当k>1时,有1个零点 B.当k>1时,有3个零点 C.当k<0时,有9个零点 D.当k＝－4时,有7个零点 【答案】AD 【解析】由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1, 则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数, 设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝ 当k>1时,y＝x2－kx＋1在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图, 由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝ 由f(x)＝t,得log2x＝解得x＝ 因此当k>1时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1,A正确,B错误； 当k＝－4时,f(x)＝ 作出函数f(x)的图象,如图, 由图象知函数f(x)的值域为R, 令t＝f(x),则f(t)＝－1有3个根, 当t>0时,log2t＝－1,解得t＝； 当t≤0时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2± 当t＝即f(x)＝时, 若x>0,则log2x＝解得x＝ 若x≤0,则x2＋4x＋1＝解得x＝－2±此时共有3个解； 当t＝－2＋即f(x)＝－2＋时,若x>0,则log2x＝－2＋有1个解, 若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋即(x＋2)2＝1＋有2个解,此时共有3个解； 当t＝－2－即f(x)＝－2－时,若x>0,则log2x＝－2－有1个解, 若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2－即(x＋2)2＝1－<0无解,此时共有1个解. 因此当k＝－4时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7,D正确,C错误. 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 【答案】6 【解析】令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， ∴f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6，6]， ∴x为－，－，，. 故f(x)共有6个零点. 13.(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________. 【答案】2 【解析】当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增， 当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增. 由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根， 即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点， 所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方， 即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意. 因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 14.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[－1,＋∞) 【解析】设t＝f(x),则t∈R, 令g(x)＝f(f(x))－a＝0,则a＝f(t). 在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a,y＝f(t)的图象,如图所示. ①当a≥－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点, 设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1), 则t1<－1,t2≥－1. 当t1<－1时,t1＝f(x)有一个解； 当t2≥－1时,t2＝f(x)有两个解, 此时g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,满足题意； ②当a<－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点. 设交点的横坐标为t3,则t3<－1, 此时t3＝f(x)有一个解,不满足题意, 综上所述,当a≥－1时,函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点. 四、解答题（共2小题） 15.(2026·上海浦东三模)已知 . (1) 若函数 在区间 上的最大值比最小值大 3，求实数 a 的值； (2) 若 ，函数 与函数 恰有两个不同交点，求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) 因为 ，所以 在区间 上单调递增， 故最大值为 ，最小值为 . 由题意得 ，化简得 ，即 ，解得 . (2) 由题意得方程 在 上有两个不同实根， 整理得 .化简二次函数得 ， 结合 ，得 . 由方程有两个不同实根，得 ， 解得 ，即实数 m 的取值范围为 . 16.已知函数 ， 为 的导数. (1) 当 时，求曲线 在点处的切线方程； (2) 讨论零点的个数； (3) 设为的零点，证明：当时，. 【答案】(1) 解：当 时，，求导得 ， 代入 得 ，故曲线 在点处的切线方程为 . (2) 解: ，由 得 ， 故 零点的个数等价于函数 在区间零点的个数. 当 时，，在单调递增，故 ，没有零点.当 时，令 得 ，当 时 ，单调递减，当 时 ，单调递增，故 .当 时，，没有零点，即 没有零点；当 时，，有一个零点，即 有一个零点；当 时，，结合 与单调性得 在区间和各恰有一个零点，即 有两个零点. 综上，当 时 没有零点；当 时 有一个零点；当 时 有两个零点. (3) 证明：当 时，由 (2) 可知 在区间没有零点，故 ，在区间单调递增，因此 ，且 . 由 得 ，代入得 . 设 ，求导得 ， 当 时 ，单调递减，当 时 ，单调递增，故 ，因此 .当 时， 由 (2) 可知 在区间存在一个零点 ，即 在存在唯一极大值点 ， 故当 时，.另一零点 ， 故 ， 结合单调性得 存在唯一零点 满足 . 设 ， 故 . 由 在区间单调递减，且 ， 得 ，即 ，故 . 综上，当 时，. 学科网（北京）股份有限公司 $