课时规范练13 函数与方程专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以函数零点为核心，通过三级递进训练系统整合零点存在定理、二分法、函数性质等方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑链，培养数学思维与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固组|7题|零点存在定理、二分法步骤、分段函数零点分析|从零点概念到基础判定方法，形成“概念-判定-计算”逻辑| |综合提升组|5题|复合函数换元、导数应用、反函数性质|结合函数性质提升综合应用能力，深化数形结合思想| |创新应用组|2题|函数奇偶性、方程解与图象交点关系|通过创新题型强化数学语言表达与问题转化能力|

课时规范练13　函数与方程 基础巩固组 1.函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.用二分法求方程log4x-=0近似解时,所取的第一个区间可以是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在(2,3)内的零点近似值,若精确度要求为0.1,则需重复相同步骤的次数至少为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.若函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,1] 5.若函数g(x)=x2,h(x)=4x-ln|x-2|,则函数f(x)=g(x)-h(x)的所有零点之和等于(　　) A.0 B.2 C.4 D.8 6.(多选)已知函数f(x)=2x+x-2的零点为a,函数g(x)=log2x+x-2的零点为b,则(　　) A.a+b=2 B.2a+log2b=2 C.a2+b2>3 D.0<ab<1 7.若函数f(x)=有且仅有两个零点,则实数b的一个取值为　　　　　.  综合提升组 8.已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 9.(2025广西河池二模)关于函数f(x)=-x3+3x2+(a-3)x+2-a-ex-1+(a≤2),下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)没有零点 B.函数f(x)只有1个零点 C.函数f(x)至少有1个零点 D.函数f(x)有2个零点 10.设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零点(其中a>1),则x1+4x2的取值范围为(　　) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 11.已知函数f(x)=(t>0)有2个零点,且过点(e,1),则常数t的一个取值为　　　　　.  12.函数f(x)=有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1+x2+x3的取值范围是　　　　　.  创新应用组 13.(多选)已知函数f(x)=(k∈R)是定义域不为R的奇函数.定义函数φ(x)=(f(x)+1)2+a|f(x)+1|+a2-7(a∈R).下列说法正确的是(　　) A.k=-1 B.f(x)在定义域上单调递增 C.函数φ(x)不可能有四个零点 D.若函数φ(x)仅有三个零点x1,x2,x3,满足x1<x2<x3,且x1+x3=0,则a的值唯一确定,且a∈(-3,-2) 14.已知函数f(x)=|2|x|-2|-1,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+n=0有7个不同的实数解,则实数m,n满足(　　) A.m>0且n>0 B.m<0且n>0 C.0<m<1且n=0 D.-1<m<0且n=0 参考答案 1.B　解析由于函数f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数,且f(1)=-4<0,f(3)=ln 3>0,故函数f(x)在区间(1,3)内有唯一零点,也即在定义域(0,+∞)内有唯一零点. 2.B　解析令f(x)=log4x-,∵函数y=log4x,y=-在(0,+∞)上都是增函数,∴函数f(x)=log4x-在(0,+∞)上是增函数,f(1)=-<0,f(2)=log42->0,∴函数f(x)=log4x-在区间(1,2)内有唯一零点.故选B. 3.B　解析 原始区间长度为3-2=1, 第1次,区间长度减半,为0.5>0.1, 第2次,区间长度减半,为0.25>0.1, 第3次,区间长度减半,为0.125>0.1, 第4次,区间长度减半,为0.062 5<0.1, 故至少需要重复4次.故选B. 4.A　解析当x<1时,显然函数f(x)=ln(1-x)有一个零点x=0,因此当x≥1时,函数f(x)有另一个零点,所以a=≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞). 5.C　解析由f(x)=x2-(4x-ln|x-2|)=0,得ln|x-2|=-x2+4x,画出y=ln|x-2|,y=-x2+4x两个函数的图象(如图),由图可知,两个函数图象都关于直线x=2对称,故交点横坐标之和为4,即f(x)的所有零点之和等于4. 6.ABD　解析由f(x)=0,得2x=2-x;由g(x)=0,得log2x=2-x.函数y=2x与y=log2x互为反函数,在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图象,如图所示. 设交点A(a,2a),B(b,log2b).由反函数的性质及点A,B在直线y=2-x上,知A,B关于点(1,1)对称,则a+b=2,2a+log2b=2.因为a>0,b>0,且a≠b,所以0<ab<()2=1,故A,B,D正确.因为f(x)=2x+x-2在R上单调递增,且f()=<0,f(1)=1>0,所以<a<1.因为a2+b2=a2+(2-a)2=2(a-1)2+2(<a<1),所以a2+b2∈(2,),故C不正确,故选ABD. 7.(答案不唯一)　解析当x≥0时,由=0,得x=0,即x=0为函数f(x)的一个零点.因为函数f(x)有且仅有两个零点,所以,当x<0时,方程2x-b=0有一解,则b∈(0,1). 8.D　解析令t=f(x)+1= ①当t>0时,f(t)=ln t-,则函数f(t)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1<0,f(2)=ln 2->0,由函数零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0. ②当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0. 作出函数t=f(x)+1的图象及直线t=t1,t=-2,t=0如图所示. 由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点; 直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点. 综上所述,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5. 9.B　解析 因为f'(x)=-3x2+6x+(a-3)-ex-1-e-(x-1)=-3x2+6x+(a-3)- (ex-1+), 且ex-1+≥2=2,-3x2+6x+(a-3)=-3(x-1)2+a≤a, 所以当a≤2时,f'(x)≤0,故函数f(x)在定义域上单调递减,所以至多有一个零点,故C,D错误. 令g(x)=-x3+3x2+(a-3)x+2-a(a≤2),h(x)=ex-1-,则f(x)=g(x)-h(x). 由g'(x)=-3x2+6x+(a-3)知,当x→+∞时,g(x)→-∞, 且由h'(x)=ex-1-e-(x-1)>0知,当x→+∞时,h(x)→+∞, 所以当x→+∞时,f(x)→-∞,且f(1)=-1+3+(a-3)+2-a-e0+=1>0, 所以函数f(x)=-x3+3x2+(a-3)x+2-a-ex-1+(a≤2)只有1个零点.故选B. 10.C　解析令f(x)=0,得x1=,即,∴x1是y=和y=ax(a>1)的图象交点的横坐标,且显然0<x1<1.令g(x)=0,得x2logax2-1=0,即logax2=,∴x2是y=和y=logax(a>1)的图象交点的横坐标.设两交点的坐标分别为A(x1,),B(x2,),由a>1可知,0<x1<1,x2>1.∵y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,y=的图象也关于直线y=x对称,∴两交点也关于直线y=x对称,由点A(x1,)关于直线y=x的对称点为(,x1),∴x1=,∴x1+4x2=x1+,∵y=x+在(0,1)内单调递减,∴x1+4x2=x1+>1+=5.故选C. 11.2(答案不唯一)　解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)=(t>0)有2个零点,且过点(e,1),所以1≤t<e,即常数t的取值范围是[1,e). 12.[-4,-2)　解析设g(x)= 因为函数f(x)=有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,所以g(x)的图象与直线y=t有三个交点,交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1<x2<x3.作出g(x)的图象,如图所示, 由图可知1≤t<4. 因为x1,x2是方程-x2-4x-t=0的两个实根, 所以x1+x2=-4. x3满足-t=0,即x3=log2t. 因为1≤t<4,所以log21≤log2t<log24, 所以0≤x3<2,所以-4≤x1+x2+x3<-2. 即x1+x2+x3的取值范围是[-4,-2). 13.ACD　解析因为函数f(x)=(k∈R)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=0, 化简整理,得(k2-1)(4x+1)=0,所以k2-1=0,解得k=±1. 当k=1时,f(x)=,定义域为R,不符合题意; 当k=-1时,f(x)==-1-,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),A选项正确; 因为f(-1)=3,f(1)=-3,f(-1)>f(1),所以f(x)在定义域上不是单调递增的,B选项错误; f(x)+1=-,令t=|f(x)+1|,则其图象如图所示. 若函数φ(x)有四个零点,则t2+at+a2-7=0有两个大于2的实根, 符合题意的a不存在,C选项正确; 若函数φ(x)仅有的三个零点分别为x1,x2,x3,满足x1<x2<x3,且x1+x3=0, 则t2+at+a2-7=0有一个实根t1大于2,另一实根t2∈(0,2],从而t1+t2=-a>2,t1t2=a2-7>0, 其中|f(x)+1|=t1的两实根为x1,x2,|f(x)+1|=t2的实根为x3. 因为t1=|f(x1)+1|=f(x1)+1=-, t2=|f(x3)+1|=-f(x3)-1=, 所以t1-t2=2,即(-a)2-4(a2-7)=4,解得a=±2(正值舍去), 所以a=-2∈(-3,-2).D选项正确. 故选ACD. 14.C　解析 令u=f(x),作出函数u=f(x)的图象如图所示: 由于方程u2+mu+n=0至多有两个实根,设为u=u1和u=u2, 由图象可知,直线y=u1与函数u=f(x)图象的交点个数可能为0,2,3,4, 由于关于x的方程f2(x)+mf(x)+n=0有7个不同的实数解, 则关于u的一元二次方程u2+mu+n=0的一根为u1=0,则n=0, 则方程u2+mu=0的另一根为u2=-m, 直线y=u2与函数u=f(x)图象的交点个数必为4, 则-1<-m<0,解得0<m<1. 所以0<m<1且n=0.故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $