《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法》提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过A卷基础过关与B卷强化提优的分层设计，构建从一元二次方程解法掌握到综合应用的巩固路径，适配新授课教学，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|四种解法的适用特征与基本运算，判别式基础应用|以选择、填空、基础解答题为主，如直接开平方法适用性判断、配方步骤训练，强化规范运算能力| |B卷·强化提优|含参数方程根的讨论、解法综合选择、配方法求最值及几何应用|设置综合解答题，如“凤凰”方程定义辨析、等腰三角形边长与方程根的关联，培养代数推理与模型意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.抽象四种解法的适用方程结构特征，区分不同形式一元二次方程对应的最优解法；理解配方法本质是构造完全平方式实现降次，把握 “ 二次方程转化为一元一次方程 ” 的核心逻辑。 2.借助配方法严谨推导一元二次方程求根公式，推导判别式与实数根的对应关系；面对含参数方程，结合判别式分类讨论根的存在情况，锻炼严谨代数推理能力。 3.熟练规范运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，精准辨别a、b、c的符号；准确计算判别式，规避配方漏项、开平方遗漏正负号、符号混淆等运算错误。 4.结合代数式最值、几何面积等简单模型，利用配方法求最值；根据方程形式灵活择优选择解法，提升解题效率，形成规范的解方程解题模型。 ) 二．知识梳理 ( （一）核心思想：降次转化 解一元二次方程的统一思路是降次，通过配方、开方、因式分解等手段，把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解。 （二） 四种解法详细讲解 1 . 直接开平方法 （1） 适用方程结构 方程可整理成 x 2 =p 或 (mx+n) 2 =p 的形式，只有当 p ≥ 0 时才有实数解；若p<0，不存在实数平方根，方程无实数根。 （2） 求解规则 若(mx+n) 2 =p(p ≥ 0)，则 mx+n= ± ，分别解两个一元一次方程得到两根。 2. 配方法（本节课重点） （1） 定义：通过在方程两侧添加常数，将方程左侧配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 （2） 标准解题步骤（针对ax 2 +bx+c=0,a ≠ 0） ① 移项：将常数项移至方程右侧，保留二次项、一次项在左侧； ② 化1：方程左右同时除以二次项系数a，使二次项系数变为1； ③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方(x+m)^2，右侧合并常数； ⑤ 开方：判断右侧常数正负，非负则开平方求解，负数则无实数根。 （3） 拓展用途 除解方程外，配方法可用于求二次多项式的最大/最小值，也是推导求根公式的理论基础。 3. 公式法（通用解法） （1） 求根公式推导来源：由配方法对一元二次方程一般式推导得出。 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． ) ( （2） 前提条件：先将方程整理为标准一般形式 ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，准确确定a、b、c（必须包含各项前面的正负符号）。 （3） 根的判别式 △ = b 2 -4ac，决定方程实数根的个数： ① △ >0：方程有两个不相等的实数根； ② △ =0：方程有两个相等的实数根； ③ △ <0：方程没有实数根。 （4） 代入规则：只有 ③ △ ≥ e0时，才能将a、b、c代入公式 计算方程的根。 4. 因式分解法（考试优先选用，计算最简） （1） 原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即AB=0 \iff A=0或B=0。 （2） 解题四步 ① 移项：把所有项移到方程左边，保证方程右侧等于0； ② 分解：将左侧二次多项式因式分解为两个一次因式相乘的形式； ③ 拆分：令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解两个一次方程，所得解即为原一元二次方程的根。 （3） 常用因式分解手段：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 （4） 易错提醒：方程两侧存在相同含未知数因式时，不能直接约去，否则会丢失其中一个根。 （三） 解法选择策略（应试技巧） 1.形如完全平方等于常数的式子：优先直接开平方法； 2.方程容易因式分解（可提公因式、符合乘法公式）：优先因式分解法，计算最快； 3.不易分解、题目无特殊要求：选用公式法； 4.题目明确要求使用配方法、需要求代数式最值：必须使用配方法。 优先级：因式分解法 > 直接开平方法 > 公式法 > 配方法。 （四） 易混易错辨析 1.用配方法时，只在方程左侧添加配方常数、右侧不加，等式不再成立，属于典型错误； 2.使用公式法时，未先化为一般式就直接带入数值，极易造成a、b、c取值错误； 3.开平方时只保留正号、丢掉负号，会漏掉方程的一个根； 4.判别式 △ <0时强行代入公式计算，此时方程不存在实数根； 5.配方法化二次项系数为1的步骤不可省略，否则无法正确配方。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 【答案】：C 【解析】：方程为完全平方式等于非负数标准形式(x+m)2=n(n≥0)，直接两边开平方即可求解，是直接开平方法的典型题型，其余方法步骤繁琐。 2.（2026·贵阳市观山湖区一模） 用配方法将x2-8x-1=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值为（ ） A.a=-4，b=17 B.a=4，b=15 C.a=-8，b=65 D.a=8，b=63 【答案】：A 【解析】：移项得x2-8x=1，两边加一次项系数一半平方42=16，x2-8x+16=1+16，即(x-4)2=17，对比(x+a)2=b得a=-4，b=17。 3.（2024秋·贵阳市花溪区期中） 一元二次方程2x2-5x+3=0的判别式△的值为（ ） A.-1 B.1 C.49 D.-49 【答案】：B 【解析】：一元二次方程一般式ax2+bx+c=0，a=2,b=-5,c=3；△=b2-4ac=25-24=1。 4.（2026·贵阳市清镇市二模） 适合用因式分解法求解的方程是（ ） A.x2-3x-5=0 B.3x2-2x+1=0 C.x2+5x=0 D.2x2+4x-1=0 【答案】：C 【解析】：C选项移项后x(x+5)=0，可直接提取公因式分解；A、D无法因式分解分解，适合公式法；B中△<0无实数根。 5.（2024秋·南明区期中） 配方法解方程x2+10x+m=0可化为(x+5)2=11，则m的值为（ ） A.14 B.-14 C.36 D.-36 【答案】：B 【解析】：展开(x+5)2=11得x2+10x+25=11，整理x2+10x+14=0，对比原式m=-14。 6.（2024秋·乌当区期末） 方程x2-4x=0因式分解正确的是（ ） A.x(x-4)=0 B.(x-2)2=0 C.x(x+4)=0 D.(x+2)(x-2)=0 【答案】：A 【解析】：提取公因式x，原式x(x-4)=0，是提公因式法解方程基础题型。 7.（2026·修文县一模） 方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 【答案】：C 【解析】：△=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0，判别式小于0，方程没有实数根。 8.（2026·花溪区二模） 求根公式中，必须满足的前提条件是（ ） A.a>0 B.b>0 C.△≥0 D.△>0 【答案】：C 【解析】：根号内代数式必须非负，只有△=b2-4ac≥0时，方程才有实数根，才能代入求根公式计算。 9．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 【答案】：B 【解析】：∵方程中b的值不确定，∴当b＜0时，方程无实数根；当b≥0时，x－a＝±，即方程的解为x＝±＋a.故选B. 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴.故选A 二．填空题（共30分） 11.方程x2＝2的根是　　． 【答案】± 【解析】x2＝2 解得：x＝±．故答案为：±． 12.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可．∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，解得x1＝2，x2＝6．故答案为：x1＝2，x2＝6． 13.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 【答案】（x+4）2＝21． 【解析】根据配方法将方程变形，即可求解．x2+8x﹣5＝0，∴x2+8x+16＝21，∴（x+4）2＝21．故答案为：（x+4）2＝21． 14.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030，则A的最小值是 　　． 【答案】2026． 【解析】P＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4+2026＝（x+y）2+（y﹣2）2+2026， ∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0，A的最小值是2026．故答案为：2026． 15.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 【答案】4． 【解析】设a2+b2＝x，则原方程化为（x+3）（x﹣3）＝7，求出x＝±4，再求出答案即可． （a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，设a2+b2＝x，则原方程化为：（x+3）（x﹣3）＝7，x2﹣9＝7， x2＝16，x＝±4，∴a2+b2＝±4，∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，∴a2+b2＝﹣4舍去，即a2+b2＝4． 16.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 【答案】﹣5（答案不唯一）． 【解析】先根据根和＝的判别式得出Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0，求出m＜﹣，再找出一个符合的数即可．∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0，∴m＜﹣，取m＝﹣5．故答案为：﹣5（答案不唯一）． 17.（2025·淮安淮阴期末）直接开平方解方程4x2=16，x1=__，x2=__。 【答案】：2；-2 【解析】：化简x2=4，x=±2。 18.（2024·南通通州期末）x2+8x+__=(x+__)2 【答案】：16；4 【解析】：一次项系数8一半为4，平方16。 19.小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9……第一步 两边开平方,得x+6=3………第二步 所以x=-3……第三步 小华的解答从第________步开始出错,请写出正确的解答过程.  【答案】二 【解析】小华的解答从第二步开始出错.正确的解答过程为:解:移项,得(x+6)2=9,两边开平方,得x+6=±3,所以x1=-3,x2=-9. 20.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2，配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1，开方得：x﹣1＝±i，解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i．故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 三．解答题（共60分） 21.用直接开平方法解方程 (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 解：(1)由(2x－1)2＝(x－2)2，得2x－1＝x－2或2x－1＝－(x－2)，∴x1＝－1，x2＝1. (2)开方，得2(2y－5)＝±3(3y－1)，即2(2y－5)＝3(3y－1)或2(2y－5)＝－3(y－1) ∴y1＝－，y2＝1. 22.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 解：(1)移项，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，解这个方程，得x1＝x2＝3. (2)去括号，得x2－4x＋3＝8，移项，得x2－4x＝5，配方，得x2－4x＋4＝9，即(x－2)2＝9， 所以x－2＝±3，所以x1＝5，x2＝－1. 23.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 解：（1）(2x)2－(x－2)2＝0，(2x＋x－2)(2x－x＋2)＝0，即(3x－2)(x＋2)＝0， ∴3x－2＝0或x＋2＝0，∴x1＝，x2＝－2. （2）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. 24．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 解：(1)a＝3，b＝－4，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28.x＝， x1＝，x2＝. (2)x2＋4x－2＝0，a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24.x＝， x1＝－2＋，x2＝－2－. 25.求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 解：分两种情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4. ②当x<0时，原方程可化为x2＋5x＋4＝0，解得x3＝－1，x4＝－4.综上所述，方程x2－5|x|＋4＝0的根为x1＝1，x2＝4，x3＝－1，x4＝－4，∴所有实数根的和为0. 26.先阅读下面的例题，再解决问题： 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2035是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，∴x＝y＝﹣2． （2）原式＝（4x2+4y2﹣4xy）+（x2﹣6x+9）+2026＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2026，∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0，∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2026≥2026，∴当2x﹣y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝6时，代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2035有最小值2026． 27．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 解：(1)若x＝1是方程的一个解，则a＋b＋＝0，解得a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a，∵b＝a＋1，∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－2a＝0，即b2＝2a.取a＝2，b＝2，则方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·贵阳市云岩区一模） 下列方程适合配方法求解的是（ ） A.(x+1)2=7 B.x2-6x-4=0 C.x2-7x+12=0 D.2x2=3x 【答案】：B 【解析】：A直接开平；C、D因式分解；B无法因式分解，系数规整适合配方法，也可用公式法。 2.（2024秋·南明区期末） 若ax2+bx+c=0两根为x1、x2，因式分解可写成（ ） A.(x-x1)(x-x2)=0 B.a(x-x1)(x-x2)=0 C.(x+x1)(x+x2)=0 D.a(x+x1)(x+x2)=0 【答案】：B 【解析】：二次项系数为a，两根式分解标准形式为a(x-x1)(x-x2)=0。 3.（2026·花溪区三模） 下列方程无实数根的是（ ） A.x2-2x-1=0 B.2x2+3x-2=0 C.x2+4x+5=0 D.3x2=6x 【答案】：C 【解析】：C中△=16-20=-4<0，无实数根；其余△均大于0。 4．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 【答案】：B 【解析】：将代入方程得：，解得：或，时，方程为，不合题意，舍去，则．故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：∵关于x的一元二次方程有一个根为m∴∴∴ 故选：C 6．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(　) A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定 【答案】：B 【解析】：x2-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，x-1=0，x-2=0，解得x1=1，x2=2．分为两种情况： ①三角形的三边长分别为1、1、2时，∵1+1=2，∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；②三角形的三边长分别为1、2、2时，此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．故选：B． 7．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 【答案】：A 【解析】：①若n2－n－1＝1，解得n1＝2，n2＝－1；②若n2－n－1＝－1，n＋2为偶数，解得n＝0；③若n2－n－1≠0，n＋2＝0，解得n＝－2. 8．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 【答案】：B 【解析】：y＝x3. ∴ y′＝3x2 ∴3x2＝12 ∴x1＝2，x2＝－2 故选：B 9.若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】解关于x的方程，再求m﹣n即可．解一元二次方程2（x﹣a）2＝8得，x1＝2+a，x2＝﹣2+a，∵m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m＝2+a，n＝﹣2+a，∴m﹣n＝2+a﹣a+2＝4，故选：B． 10.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D 【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3解得：x1＝4，x2＝﹣2，由上可得，丁同学是错的， 二．填空题（共30分） 11.关于x的方程：（ax）2＝1（a≠0）的根为 　    　． 【答案】． 【解析】利用直接开平方法解得即可．（ax）2＝1（a≠0），∴ax＝±1．∴．故答案为：． 12.（2026·南明区三模） 5(x-2)2-20=0的根为________ 【答案】：x1=4，x2=0 【解析】：整理(x-2)2=4，开方x-2=±2，解得两根。 13.（2024秋·花溪区期末） 2x2-7x+3=0因式分解形式为________ 【答案】：(2x-1)(x-3)=0 【解析】：十字相乘：2x拆2x、x；常数拆-1、-3，交叉相乘和为-7x。 14.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可．由题意，得x(x+6)=40,∴x2+6x＝40，∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49，∴m＝3．故答案为：3． 15.已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为 　  　． 【答案】1． 【解析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程可化为（t+2）（t+4）＝15，再利用因式分解法解方程即可得到答案．设t＝x2+y2（t≥0），则原方程可化为（t+2）（t+4）＝15，整理得（t+7）（t﹣1）＝0，解得t＝﹣7（舍去）或t＝1，∴x2+y2＝1，故答案为：1． 16.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2028，则p的最小值是 　　． 【答案】2026． 【解析】∵p＝a2+4b2+2a+4b+2028＝（a+1）2+（2b+1）2+2026≥2026，故答案为：2026． 17．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 【答案】x﹣2＝0，x+1＝0 【解析】：x（x﹣2）+x﹣2＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0．故答案为：x﹣2＝0，x+1＝0． 18．对方程进行配方，得，其中______． 【答案】 【解析】：由题意得：m=，故答案为：． 19．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________． 【答案】0 【解析】：∵，∴x为一元二次方程的一个根，∴，故答案为：0． 20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． 【答案】1＋，或1－. 【解析】 ∵a※b＝a2－2ab，∴x※1＝x2－2x＝1.∴x2－2x－1＝0.∴x＝＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－. 三．解答题（共60分） 21．（24分）解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 解：(1)∵，∴，，，∴，∴，∴，； (2)∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，； (3)∵∴，∴，∴，∴，； (4)∵，∴，∴，∴，． (5)x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． (6)3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝，即x1＝，x2＝； (7)3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣． (8)3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝． 22．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)试判断方程的根的情况． (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 解：（2）∵a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2，∴Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0.∴此方程总有两个实数根． （2）x＝，∵此方程有一个根大于0且小于1，∴0＜k－1＜1.∴1＜k＜2. 23.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40． （x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32． 直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12， 故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42． ∴x＝﹣2±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 24. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. 解:(1) 由方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,得b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0,∴ 无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.利用求根公式解方程,得x1=k+1,x2=k+2.设AB=k+1,AC=k+2.∵ 第三边BC的长为5,∴ 当△ABC是直角三角形时,分两种情况讨论:① 当BC是斜边时,有AB2+AC2=BC2,即(k+1)2+(k+2)2=52,解得 k1=2,k2=-5(不合题意,舍去);② 当AC是斜边时,有AB2+BC2=AC2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得 k=11.∴ 当k=2或11时,△ABC是直角三角形　 (2) 由(1),不妨设AB=k+1,AC=k+2.∵ BC=5,∴ 当△ABC是等腰三角形时,分两种情况讨论:① 当AC=BC=5时,k+2=5,∴ k=3,则AB=4,此时△ABC的周长为14;② 当AB=BC=5时,k+1=5.∴ k=4,则AC=6,此时△ABC的周长为16.综上所述,当k=3或4时,△ABC是等腰三角形,△ABC的周长分别是14或16 25．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 解：（1）证明：由题意，得Δ＝(c)2－4ab＝2c2－4ab.∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0.∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． （2）当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋b＝c.∵2a＋2b＋c＝6，即2(a＋b)＋c＝6，∴3c＝6.∴c＝2.∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2.∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＝2.∴S△ABC＝ab＝1. 26．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 解：(1)若x＝1是方程的一个解，则a＋b＋＝0，解得a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a，∵b＝a＋1，∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－2a＝0，即b2＝2a.取a＝2，b＝2，则方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. 27.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 解：（1）∵a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0．∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，解得：a＝4，b＝3，∴长方形ABCD的面积为4×3＝12．故答案为：12； （2）a2﹣10a+30＝a2﹣10a+25+5＝（a﹣5）2+5．∵（a﹣5）2≥0，∴（a﹣5）2+5≥5，∴代数式a2﹣10a+30的最小值为5，此时a﹣5＝0，即a＝5； （3）（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＝2x2+x﹣3﹣x2﹣3x+7＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3．∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+3＞0，∴（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＞0，∴2x2+x﹣3＞x2+3x﹣7． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.抽象四种解法的适用方程结构特征，区分不同形式一元二次方程对应的最优解法；理解配方法本质是构造完全平方式实现降次，把握 “ 二次方程转化为一元一次方程 ” 的核心逻辑。 2.借助配方法严谨推导一元二次方程求根公式，推导判别式与实数根的对应关系；面对含参数方程，结合判别式分类讨论根的存在情况，锻炼严谨代数推理能力。 3.熟练规范运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，精准辨别a、b、c的符号；准确计算判别式，规避配方漏项、开平方遗漏正负号、符号混淆等运算错误。 4.结合代数式最值、几何面积等简单模型，利用配方法求最值；根据方程形式灵活择优选择解法，提升解题效率，形成规范的解方程解题模型。 ) 二．知识梳理 ( （一）核心思想：降次转化 解一元二次方程的统一思路是降次，通过配方、开方、因式分解等手段，把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解。 （二） 四种解法详细讲解 1 . 直接开平方法 （1） 适用方程结构 方程可整理成 x 2 =p 或 (mx+n) 2 =p 的形式，只有当 p ≥ 0 时才有实数解；若p<0，不存在实数平方根，方程无实数根。 （2） 求解规则 若(mx+n) 2 =p(p ≥ 0)，则 mx+n= ± ，分别解两个一元一次方程得到两根。 2. 配方法（本节课重点） （1） 定义：通过在方程两侧添加常数，将方程左侧配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 （2） 标准解题步骤（针对ax 2 +bx+c=0,a ≠ 0） ① 移项：将常数项移至方程右侧，保留二次项、一次项在左侧； ② 化1：方程左右同时除以二次项系数a，使二次项系数变为1； ③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方(x+m)^2，右侧合并常数； ⑤ 开方：判断右侧常数正负，非负则开平方求解，负数则无实数根。 （3） 拓展用途 除解方程外，配方法可用于求二次多项式的最大/最小值，也是推导求根公式的理论基础。 3. 公式法（通用解法） （1） 求根公式推导来源：由配方法对一元二次方程一般式推导得出。 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． ) ( （2） 前提条件：先将方程整理为标准一般形式 ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，准确确定a、b、c（必须包含各项前面的正负符号）。 （3） 根的判别式 △ = b 2 -4ac，决定方程实数根的个数： ① △ >0：方程有两个不相等的实数根； ② △ =0：方程有两个相等的实数根； ③ △ <0：方程没有实数根。 （4） 代入规则：只有 ③ △ ≥ e0时，才能将a、b、c代入公式 计算方程的根。 4. 因式分解法（考试优先选用，计算最简） （1） 原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即AB=0 \iff A=0或B=0。 （2） 解题四步 ① 移项：把所有项移到方程左边，保证方程右侧等于0； ② 分解：将左侧二次多项式因式分解为两个一次因式相乘的形式； ③ 拆分：令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解两个一次方程，所得解即为原一元二次方程的根。 （3） 常用因式分解手段：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 （4） 易错提醒：方程两侧存在相同含未知数因式时，不能直接约去，否则会丢失其中一个根。 （三） 解法选择策略（应试技巧） 1.形如完全平方等于常数的式子：优先直接开平方法； 2.方程容易因式分解（可提公因式、符合乘法公式）：优先因式分解法，计算最快； 3.不易分解、题目无特殊要求：选用公式法； 4.题目明确要求使用配方法、需要求代数式最值：必须使用配方法。 优先级：因式分解法 > 直接开平方法 > 公式法 > 配方法。 （四） 易混易错辨析 1.用配方法时，只在方程左侧添加配方常数、右侧不加，等式不再成立，属于典型错误； 2.使用公式法时，未先化为一般式就直接带入数值，极易造成a、b、c取值错误； 3.开平方时只保留正号、丢掉负号，会漏掉方程的一个根； 4.判别式 △ <0时强行代入公式计算，此时方程不存在实数根； 5.配方法化二次项系数为1的步骤不可省略，否则无法正确配方。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 2.（2026·贵阳市观山湖区一模） 用配方法将x2-8x-1=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值为（ ） A.a=-4，b=17 B.a=4，b=15 C.a=-8，b=65 D.a=8，b=63 3.（2024秋·贵阳市花溪区期中） 一元二次方程2x2-5x+3=0的判别式△的值为（ ） A.-1 B.1 C.49 D.-49 4.（2026·贵阳市清镇市二模） 适合用因式分解法求解的方程是（ ） A.x2-3x-5=0 B.3x2-2x+1=0 C.x2+5x=0 D.2x2+4x-1=0 5.（2024秋·南明区期中） 配方法解方程x2+10x+m=0可化为(x+5)2=11，则m的值为（ ） A.14 B.-14 C.36 D.-36 6.（2024秋·乌当区期末） 方程x2-4x=0因式分解正确的是（ ） A.x(x-4)=0 B.(x-2)2=0 C.x(x+4)=0 D.(x+2)(x-2)=0 7.（2026·修文县一模） 方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 8.（2026·花溪区二模） 求根公式中，必须满足的前提条件是（ ） A.a>0 B.b>0 C.△≥0 D.△>0 9．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.方程x2＝2的根是　　． 12.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 13.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 14.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030，则A的最小值是 　　． 15.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 16.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 17.（2025·淮安淮阴期末）直接开平方解方程4x2=16，x1=__，x2=__。 18.（2024·南通通州期末）x2+8x+__=(x+__)2 19.小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9……第一步 两边开平方,得x+6=3………第二步 所以x=-3……第三步 小华的解答从第________步开始出错,请写出正确的解答过程.  20.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 三．解答题（共60分） 21.用直接开平方法解方程 (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 22.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 23.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 24．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 25.求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 26.先阅读下面的例题，再解决问题： 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2035是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 27．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·贵阳市云岩区一模） 下列方程适合配方法求解的是（ ） A.(x+1)2=7 B.x2-6x-4=0 C.x2-7x+12=0 D.2x2=3x 2.（2024秋·南明区期末） 若ax2+bx+c=0两根为x1、x2，因式分解可写成（ ） A.(x-x1)(x-x2)=0 B.a(x-x1)(x-x2)=0 C.(x+x1)(x+x2)=0 D.a(x+x1)(x+x2)=0 3.（2026·花溪区三模） 下列方程无实数根的是（ ） A.x2-2x-1=0 B.2x2+3x-2=0 C.x2+4x+5=0 D.3x2=6x 4．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 5．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(　) A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定 7．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 8．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 9.若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 10.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 二．填空题（共30分） 11.关于x的方程：（ax）2＝1（a≠0）的根为 　    　． 12.（2026·南明区三模） 5(x-2)2-20=0的根为________ 13.（2024秋·花溪区期末） 2x2-7x+3=0因式分解形式为________ 14.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 15.已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为 　  　． 16.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2028，则p的最小值是 　　． 17．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 18．对方程进行配方，得，其中______． 19．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________． 20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． 三．解答题（共60分） 21．（24分）解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 22．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)试判断方程的根的情况． (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 23.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 24. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. 25．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 26．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 27.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $