1.1空间向量及其运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础认知、综合理解、应用深化三层设计，以空间向量概念→运算→几何应用为路径，强化空间观念与数学思维，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|向量相等、命题判断、线性运算|以四棱柱、正方体为情境，通过单选1-4题巩固空间向量基本概念，培养抽象能力| |综合理解层|数量积、共线向量、夹角计算|结合平行六面体、正四面体（单选5-7题）及多选题，提升符号运算与推理意识| |应用深化层|投影向量、几何体中向量表示|通过四棱锥解答题（题14）实现从代数运算到几何应用的转化，发展空间观念与应用意识|

高二数学空间向量及其运算同步训练 一、单选题： 1.如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2.下列命题正确的是(    ) A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 若，则与的长度相等，方向相同或相反 D. 若与是相反向量，则 3.在正方体中，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 4.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为  (    ) A. B. C. D. 5.在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.已知正四面体的棱长为，且，则(    ) A. B. C. D. 7.已知单位向量，，中，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 8.已知四面体，，分别是，的中点，则(    ) A. B. C. D. 9.在正方体中，下列命题是真命题的是(    ) A. B. C. 与的夹角为 D. 正方体的体积为 三、填空题： 10.空间中任意四个点，，，，则          ． 11.设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则实数           ． 12.已知，，与的夹角是，当与的夹角为钝角时，的取值范围为          ． 13.已知空间向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的投影向量为          ． 四、解答题： 14.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，设，，． 试用，，表示出向量 求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的基本概念，棱柱的结构特征，属于基础题． 由向量相等可得四边形为平行四边形，即可判断出相等向量． 【解答】 解：，，，即四边形为平行四边形， 由平行四边形的性质知，． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的概念，涉及单位向量，相反向量，向量的模，属于基础题． 由平面向量的基本概念依次判断即可． 【解答】 解：单位向量的模相等，方向不一定相同，故选项A错误； 零向量与零向量是相反向量，同时相等，故选项B错误； 若，则与的长度相等，方向任意，不一定相反或相同，故选项C错误； 若与是相反向量，则，故选项D正确； 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】 解：在正方体中， 为的中点， 所以 ． 故选：． 4.【答案】  【解析】四棱锥如图所示， 底面是矩形，，底面，底面，，过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形，，故选 B． 5.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于中等题． 先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可． 【解答】 解：以为基底进行线性转化，棱长均为， 故， ， 故，， 故 ． 故答案选：． 7.【答案】  【解析】【解答过程】因为，，且，，为单位向量，则． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 根据空间向量的线性运算逐项判断即可． 【解答】 解：因为，分别是，的中点，所以． 对于，，故A正确； 对于，，故B错误； 对于，，故C正确； 对于，，故D错误． 故选：． 9.【答案】  【解析】设正方体的棱长为， 选项，，选项正确； 选项， ，选项正确； 选项，由于是等边三角形，所以与的夹角为，选项正确； 选项，，所以选项错误． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 根据空间向量线性运算法则计算可得． 【解答】 解： ． 故答案为． 11.【答案】  【解析】设，则，解得． 12.【答案】且  【解析】由题意得，解得． 又当时，与反向共线，此时它们的夹角为，并不是钝角，且． 13.【答案】  【解析】因为，且向量，的夹角为， 所以， 所以在方向上的投影向量为 ． 14.【答案】解：是的中点，． 由于，，，， 由于，， ，， 由于，． ，的长为．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $