1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标表示，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到几何模型应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|空间点坐标、向量线性运算|单选题1-3直接考查坐标表示与投影基础，夯实概念理解| |技能应用|向量坐标运算、基底转换|多选题6-7及填空题8-10综合考查共面性与投影向量，提升运算技能| |综合拓展|几何模型中的向量应用|解答题13-14结合平行六面体、四棱锥证明与计算，培养模型观念与推理能力|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习 一、单选题 1.在空间直角坐标系中，已知点A0,1,1,B1,2,1,C2,1,3,则AB-AC=() A.1,-1,2 B.-1,1,-2 C.3,1,2 D.-3,-1,-2 2.已知向量ā=1，-2,2)，6=(6，-3.2则下列结论错误的是（） A.a+6=(7,-5,4) B.6=3 c.a-b=16 D.a-b,b,a+b不能构成空间向量一个基 底 3.已知点B是点A-1,2,-5在坐标平面Oz内的投影，则点B的坐标为() A.0,2,0 B.-1,2,0 C.-1,0,-5 D.0,2,-5 4.已知à，6，是空间的一个基底，后+6，ā-6，是空间的另一个基底，向量在基底 a,6,下的坐标为42,3则向量方在基底ā+6，ā-石，下的坐标是（) A.4,0,3 B.3,1,3 C.(1,2,3 D.2,1,3 5.设x,y∈R向量a=x,116=1,y,1=2,-42且a1B万112则 la+b=(） A.22 B.3 c.V10 D.4 二、多选题 6.已知空间向量a=1,21,b=3,-2,1,c=-44,-1则（） A.a)=6 B.向量一是共面向量 a,b,c C.aLb D.a+b).c=10 7.已知空间中三个向量ā=1,2，-16=1，-2,3}=-21,1小则下列说法正确的是 () A.la)=6 B.(a+c)Lb C.6在上的投影向量为1,1,1 D 3'6’6 c0sa,6=-21 7 三、填空题 8.已知向量ā=2,34,6=1,0，-1则a在6上的投影向量为 9.已知空间向量ā=3，-1,26=-6,2，x若6在a上的投影响量是-2a则x的值为 10.己知空间三点A-1,0,3,B1,1,0,C-2,3,1,则在△ABC中边BC上的中线长为 以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为一· 四、解答题 11.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F,G分别是A1D1,DD1, CD的中点.以A为坐标原点，AB的方向为X轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系.写出B,C1,E,F,G五点的坐标： B B 12.已知a=1,-3,26=1,1-1计算： (四a:-3al2à-胡 cos a,b 13.己知平行六面体0ABC-0ABC,且OA='OC=6'O0= 1)用a:方表示向量AC,并指出它在这组基下的坐标： (2)设G,H分别是侧面BBCC和底面OABC的中心，用a,b,c表示Gi,并指出它 在这组基下的坐标 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC,∠BAD=90°， PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点. P M Ax- B (1)求证：PB⊥DM: (2)求DM的长： (3)求cos(AC,PD 3 参考答案 1.B 解析：根据题意，点A0,1,1,B1,2,1,C2,1,3,则 AB-AC=AB+CA=CB=-1,1,-2 2.B 解析：向量à=(1，-2,2)，6=(6，-3,2 对于A:ā+6=(7，-5.4故A正确： 对于B:61=6+(-3+2=7,故B不正确： 对于C:a-6=1×6+(-2)×(-3+2×2=16:故C正确： 对于D:6=[(ā+i)-(a-小，故后-b,b,ā+b是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确. 3.C 解析：因为点A-1,2,-5在坐标平面Oz内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以B(-1,0,-5. 4.B 解析：设向量)在基底ā+6，ā-6，下坐标为x,y,z 则p=xa+i+ya-+zc 已知方在基底a,6,c下坐标为4,23 即p=4a+2b+3c 所以xa+6+ya-6+zc=4a+2i+3c x+y)a+(x-ylB+zc=4a+2B+36 1 x+y=4 X=3 则： x-y=2 y=1 Z=3 z=3 所以向量方在基底ā+i,ā-6，下的坐标是31,3 5.B 解折：向量a=(x,1,1,6=1,y,1),c=(2,-42且a1b,b11c a·b=x+y+1=0 1=y 解得=1 y=-2 2-4 ∴a+b=(x+1,1+y,2)=(2,-1,2) ∴a+b=V4+1+4=3, 6.ABC 解析：日=+2+下=6：A正确： 设a=mb+nc,即心，解得 m=3 n=2 =3b+2C:所以： 即 共面，B正确： a,b,c a1b'C正确； ab=3-4+1=0'所以， a+bc=4,0,2-4,4,-1=-18°D错误 7.AD 解析：a=P+2+-1P=6:故A正确： a+c=1,2,-1+-2,1,1=-1,3,01, 所以a+-6=-1×1+3×-2+0×3=-7≠0所以a+与6不垂直，故B错误： 8:消21号吉补放 2 cosa,6=a6、 -6 21,故D正确. 1a6 6×9V147 8.-1,0,1 解折：因为a=2,34,6=1,0,-1所以a-b=2×1+3×0+4×-1=-2 又6=12+02+-1平=2 所以66上的段影同蛋为a-6-号-10，-1-101心 9.-4 解析：a=3,-1,2i=-6,2,x a6=3×(-6)+(-1)×2+2x=2x-20' à=32+(-12+22=V14 6在a上的投影狗量为6)cosa,6日-a:ba=2x-20a=-2a 14 所以2x-20=-2,X=-4 14 V42 10. 73 2 解析：由题设， BC边上的中点坐标是 2引 由题意得AB=2,1,-3A花=-1,3，-2' 所以AB:AC=2×-1+1×3+-3×-2=7|AB=V4+1+9=14 3 AC=/1+9+4=V14 所以cos∠BAC= AB·AC 7 AB·AC14×V142 因为0<∠BAC<元，所以∠BAC= 所以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 |B-|AC)-sin∠BAC=74×4×5-=75 11.B140,4C4,44E0,24'F0,42G2,4,0 解析：由题可知，B4,0,4C144,4E0,2,4F04,2G24,0 12.(1)a=146=3-3à=3V14l2à-=5V3 2c0sa,6=-242 21 解折：(1)a=1+9+4=/14:6=y1+1+1=3'-3a=3=3/14 2à-6=2，-6,4-1,1，-1=1,7,5所以2a-i=1+49+25=53 (2)cosa,6=ā-6-1-3-2=-282 a:614×31 21 13.(0AC=-a+i+8'(-1,11 a=五+0， 11 解折：(1)因为AC=A花+CC=O元-A+00=-a+6+' 所以该向量在基a,6,下的坐标为-1,11 (2)因为i=Cò+oi=-0元+oi=-2oi+0C+oB+00 =-号a+i+c+6+号a+6+c+=-号6+号， 所以该向量在6,6，下的坐标为0，号引 14.解析：(1)法1，结合题图，PB=AB-AP, D顾-+-引丽-布+丽而-+号丽子办： 由题AB·AD=A驴AB=A心.AD=0'|A=AP 则丽-D=店-}市+号丽-D-f-0, 所以PB⊥DM,即PB⊥DM: 法2，以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空 间直角坐标系， 则P0,0,2,B2,0,0,D(0,2,0),A0,0,0,C2,1,0. 因为n为pc的年点.所以M1,21小所以丽=20，-2D应-1,21 又piDi=2x1+0×引+-2x1=0所以i1应可pPB1Dn (2)法1，DM=AM-A=}AP+}AC-AD,AC=A峦+BC=AB+号A市，则 DM币+号B-子，从而 5 传+号恋3市=市+恋+9而+号市恋萨市 2 4 4 4 16 A 导恋而-×44岩4000-2号号则= 4 16 之，即DM的 17 长为2 法2声·商-h,是小则D--变mnw的k为 V17 2 3)法1.由干历-而-0，花=亦+号市， 因此|P市=|-AP=|AD-2·A+AP=4-0+4=8故PD=22 -丽+号ò-病+2丽市+òf=4+0+1=5故-5 ACD=庙+号0而-=2=2 放c0sAC,PD=525101 /10 法2，AC=2,1,0PD=0,2,-2 所以AC·PD=2×0+1×2+0x-2=2'AC=5'|PD=2V2 则eos(AC,Pi=AC:Pò V10. ACPD 5×29V210 6 --- M 公必 C 7