1.1 空间向量及其运算-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 A基础过关练 三个向量一定共面 测试时间：20分钟 B.若a·b>0,则a与b的夹角是锐角 1.[题型1](2026·四川南充高中月考)如图，设 C.已知向量a,b,c是不共面的向量，则2a,b, OA=a,OB=b,OC=c,AN=NB,BM= c一a也是不共面的向量 2MC,则MN=(). D若对空间中任意一点0，有配-O- O+号0元，则P,A,B,C四点共面 5.[题型1、2](2026·辽宁凤城一高单元检测)（多 1 b 6 ?c 2 B-2a-6b+ 选)下列四个结论错误的是(). A.任意向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0 C.za-ge-ge 1 n3a+名b+ 1 或a,b)=受 2.[题型1门](2026·北京四中单元检测)如图，已知 线段AB,BD在平面a内，∠ABD-否ACL B若空间中点O,A,B,C满足0心-号O1+ a,且AB=2,CD=2√2，AC=1,则B,D两点 号0成则AB,C三点共线 间的距离为( C.空间中任意向量a,b,c都满足(a·b)·c= a·(b·c) D.若ab,bc,则ae 6.[题型2]已知正四面体P-ABC的棱长为1，动 A.1 B.√3 C.3 D.√2 点M在平面ABC上运动，且满足PM=一PA 3.[题型3]如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D -PB+mPC,则PM·AB的值为 中，底面ABCD是正方形，AA'=2AB,M是 7.[题型2、3](2026·浙江嘉兴中学月考)如图，在 CD的中点，∠A'AB=∠A'AD=120°，则直线 平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2,AD AC'与BM所成角的正弦值为( =AA'=4,∠A'AB=∠A'AD=∠BAD=60°. D (1)求AC的长度； (2)求证：AB⊥A'D; (3)求异面直线AA'与BD'所成角的余弦值. A僵 C.1 D3V27 14 4.[题型2]（多选）关于空间向量，以下说法正确的 是(). A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这 铺重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA B综合提能练 5.[题型1、3]两条异面直线a,b所成的角为60°， 。测试时间：30分钟 在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使A'A⊥ 1.[题型1]如图，在菱形ABCD中，∠ABC= a,A'A⊥b.已知A'E=2,AF=2,EF=5,则 120°，线段AD,BD的中点分别为E,F,现将 AA- △ABD沿对角线BD翻折到A1BD的位置，在 6.[题型2](2026·湖北武汉二中周练)如图，已知 翻折过程中，“BE·CF=0”是“cos〈BC,A1D, 三棱锥P-ABC,G为△ABC的重心，M,F为 PG,PC的中点，点D,E分别在PA,PB上， =1”的() 4 PD=2mPA,PE=3nPB(m>0,n>0).M, D,E,F四点共面，则3+2 m B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[题型1](2026·湖南浏阳一中单元检测)在正 7.[题型1]空间内不共面的三条直线l,m,n满足 方体ABCD-A'B'C'D'中，E是CC的中点，AB l⊥m,l⊥n,且l∩m=A,l∩n=B,记C∈n, =2.设AE在A'D上的投影向量为a,DC=b, D∈m,已知AB·CD=-4,AD·BC=2, 则|a+b|=(). ∠BAC=∠DAC,则BD= A号 B.2 C33 C培优突破练 D.√3 。测试时间：10分钟 2 1.（多选)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D 3.[题型1、2]（多选）关于空间向量，以下说法正确 中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB= 的是(). AA1=2,P为CC1的中点，点Q满足DQ= A.空间向量不能比较大小，空间向量的模可以 λDC十DD1(a∈[0,1]，k∈[0,1])，则下列结 比较大小 论正确的是( ) B若对空间中任意一点0，有0户-号0 名B0+26元，则P,AB,C四点共面 C.若空间向量a,b满足a·b<0,则a与b的 夹角为钝角 D.若已知空间向量a和b,则a在b上的投影向 A若λ十μ= 3,则四面体A,BPQ的体积为定值 抚为6总6 B.若A1Q=√5，则点Q的轨迹为一段圆弧 C.若△A1BQ的外心为O,则A1B·A1O为定 4.[题型1](2026·湖北洪山高中月考)在三棱锥 值2 P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形， AB=2,PC=3,D为棱AB上一点，则PD·CD D若A-1且A=2,则在线段A1B上存在点 的最小值是 E,使得AE十EQ的最小值为W9+2√I0 2参考答案 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 变武训练 [变式1门(1)AC,=AB+BC+CC,=AB+AD+AA1=a+ b+c, BD:-BA+AD+DD:=-AB+AD+AA:=-a+6+c, AC-AB+BC-AB+AD=a+b. (2)a=1,lb=2,c=2√2，a·b=1,b·c=4,c·a=2, 因为AC112=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+ c·a)=1+4+8+2×(1+4+2)=27, 所以AC11=33,即AC1的长为35 (3)因为BD1=b+c-a,AC=a+b, 同理可求得BD1=√I5,AC=√7 又因为BD1·AC=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+c·a+ b·c=9, 所以cos(BD,AC1=BD·Ad9 3√105 1BD,IIAC1√5X7 35 所以异面直线AC与BD,所成角的余弦值为35 基础过关练 1.A[由题意得M=N店+时=号成+=号O成 +20i-0)=oi+o成号=a+名b 号c] 2.A[设BD=x,因为AC⊥平面a,且AB,BDC平面a,所以 ACLAB,ACLBD,且∠ABD-行，可得C,A店=0，C. BD=0,AB.BD=x.因为CD=CA+AB+BD,所以8 问量的线性运算 ICD=ICA+AB+BD=CA*+AB:+BD+2CA.AB+ 2CA·BD+2AB·BD=12+22+x2+0+0+2x=x2+2x 十5，即x2+2x-3=0,解得x=-3(舍去)或x=1,故BD =1.] 3.C[设AA'=2AB=2a,∠A'AB=∠A'AD=120°，因为 AC产=AB+AD+AA,所以AC1=√AB+AD+AA)2 =√AB2+AD+AA+2AB.AD+AB·AA+AD.AA) =√2a2+4a2-4a=2a.因为BM=BA+AD+DM= A茄-是A成，所以成1=√+A 与提示 √a+市-·西-号a,AC.威=店+ 市+)·（市-）=亦+.ò-名恋 }a店.A-0,所以s(AC,=AC.-0. ACBMI 即直线AC'与BM所成角的正弦值为1.] 4.ACD[根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有 两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；若a· b>0,则a与b的夹角是锐角或a与b方向相同，故B错误； 假设2a,b,c一a是共面向量，则存在x,y,使得2a=xb十 y(c一a),即(2十y)a=xb十yc,由向量a,b,c是不共面的 向量，得2十y=0,x=y=0,无解，故2a,b,c一a也是不共 面的向量，故C正确；因为成=0-0成+号0花，所 以0-0i+成-0成+-成+号0成=+ 0+号0，有品+子+号-1，所以P,A,B,C四点共 面，故D正确.] 上共面向量定理的应用 5.CD[因为a·b=a·|blcos(a,b,若a·b=0,则|a=0 或1b1=0或cos(a,b》=0,即a=0或b=0或a,b》=受， 放A正确：因为元-号+号O成，所以号十号-1，所以 A,B,C三点共线，故B正确；因为两个向量的数量积是实 、共钱向量定理的应用 数，所以(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共 线的向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)未必成立，故C错 误；当b=0时，对任意向量a,c,a∥仍，b∥e都成立，但a∥c 未必成立，故D错误.门 6.O.[因为动点M在平面ABC上运动，且AB,AC不共线， 所以存在实数x,y,使得AM=xAB+yAC.即PM-PA= x(PB-PA)十y(PC-PA),所以PM=(1-x-y)PA+ xPB+PC.又PM=-PA-PB+mPC,PA,PB,PC不 1x-y=-1, 共面，由空间向量基本定理可知x=一1， 故m一2= ly=m, 1,解得m=3,即PM=-PA-PB+3PC.因为四面体 PABC为正四面体，且棱长为1，所以PA·PB=PB.PC =P元.PA=号，pA=Pi2=P心=1，所以PM· AB=-(PA+PB-3PC)·(PB-PA)=-(PA·PB+ PB·PB-3PC·PB-PA·PA-PB·PA+3PC·PA)= -(1-3-1+3)PA·PB-PB2+PA2=0.] 7.(1)AB=a,AD=b,AA'=c, 1 则A乙=A元-AA=a+b-c. 1 1 因为a:b=2X4X2=4,a·c=2X4X2=4,b·c=4× X-8, 所以1A'C=√(a+b-c) =√a2+b2+c2+2a·b-2b·c-2a·c =√22+42+42+2X4-2X8-2X4=25】 (2)因为AD=AD-AA'=b-c, 所以AB·A'D=a·(b-c)=a·b-a·c=0,则AB⊥A'D. (3)因为BD=BD+DD=AD-AB+AA=b+c-a, 所以AA.BD=c·(b十c-a)=b·c十c2-a·c=8+ 42-4=20, 而1BD1=√(b+c-a)7 =√a2+b2+c2+2b·c-2a·b-2a·c =√22+42+42+2×8-2X4-2×4=6, 则os(AA产，BD)=A.BD 205 |AA11BD!4X661 则异面直线AA'与BD'所成角的余弦值为号。 思路点拨) (1)先写出AC=a十b一c,再根据向量数量积的运算 律即可得到答案！ (2)先写出A'D=b一c,再计算数量积为0即可. (3)先写出BD=b十c-a,再求出相关数量积和模长， 最后根据数量积的夹角公式即可得到答案 综合提能练 1.C[不妨设菱形ABCD的边长为1，则|BD|=1.在翻折后 的图形中，B配-BD+2DA,=BD-A,D,C市-C+ B--BC+?D,则B酝.C-(BD-2AD)· (-C+D)=-成·BC+2D+2B成.AD AD.B=-1X1×cas60+号X1+号×1× 1Xas(B,AD)-}×1X1Xos60=-号+2十 马s成Ad-日-号s成Ad-日当证. C=0时，得7s成.AD-日=0，即s(C,AD》 子，充分性成立；当os成，AD)=}时，则证.C京- ms(BCAd》-日=0，必要性成立故成.C京=0"是 “B,AD=子”的充要条件.] 2 2A[因为应=店+D+应-店+A市+号， A方=AD-AA,所以a= A龙.A方.A 、 JA'DI A'DI (店+D+2A）)·Aò-AA) ·(A-AA)= IAD-AA 店.茄-店·A+茄：-茄.A+2本.而是 IAD-2AA.AD+IAA 而-A前-0-0+2-0+0是×2 ·(AD-AA)= 22-0+22 子ò-a,则a+b1P=a+b+2a·b=言- A+1D+2ò-A.成-61òp-2a. Aò+A)+1A+2.A店-A.A)=× (2-0+2)+2+2×0-0)=合+4=号，放1a+b1= √月-9 3.ABD[空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实 数，可以比较大小，放A正确：由O萨=号O-言B可+ 2成=号0+0成+号6元，可得3+日+2-=1，故 P,A,B,C四点共面，故B正确；当a与b为两个非零向量， 共线且反向时，a·b=一a·|b<0,此时两向量a,b的 夹角为π，不为钝角，故C错误；与b方向相同的单位向量为 合，由投影向量的定义，则a在b上的投影向量为合： b 合故D正确] 4.2 [如图，设AD=AAB,0≤入≤1，在△PAC中， ∠PaC-PALAC_2》-：,所以 2PA·AC 2×2×2 P币.C而=(PA+AD)·CA+AD)=(PA+λAB)· (CA+λAB)=PA.CA+XPA·AB+ACA·AB+x2AB2= 2x2×8+ax×2×2×(-2）+Ax2x2×(-号）+4以= -+=40-)+≥] 八、当且仅当入=2时，等号成立 P 5.√13或√21.[因为EF=EA+A'A+AF,所以E市12= |EA+A'A+AF12,所以1EF12=(EA)2+(AA)2+ (AF)2+2EA·A'A+2A'A·AF+2EA.AF.因为A'A1 a,A'A⊥b,所以EA.AA=0,AA·AF=0.又A'E=2, AF=2,EF=5,所以25=4+AA2+4+2EA.AF=8十 AA2+2X2X2Xcos(EA,AF).因为异面直线a,b所成的 角为60°，所以(EA,AF)=60°或120°.当EA,AF)=60 时，0s(E,A)=号，所以25=8+A+4,解得A =B.当E,A)=120时，0s(E,A)=-,所以 25=8+(AA)2-4,解得AA|=√21.综上所述，A'A为 √13或√21.] 6.24.[如图，设BC的中点为H,连接AH,点G在线段 AH上. 点G为△ABC的重心 H 因为P心-PA+AG-Pi+号Ai-Pi+号×号（店+ AC)-P+}+P+A+P心)-Pi+}P店+ 号元所以元=2PM=号Pi+P弦+P心)=号(Pi+ 成+)，所以成-市+成+号成.者 MD,E,F因点共面，则n+总十号=1，解得是十 号-41 7.√5.[如图，连接BD. m 由lLm,lLn得AB.AD=0,AB.BC=0,由AB.CB= 0得AB·AC=AB2,由AB·CD=-4得AB·AC AB·AD+4=4,由AD·BC=2得AC.AD=AB·AD +2=2,由AB·AC=4=AB2得AB=2.由∠BAC= ∠DAC得cos∠BAC=cs∠DAC,即AB·AC_AC.A IABIIACI IACIIADI 即登-品解得AD=1,故BD=VAB+AD=5.] 培优突破练 1.ABD[如图1，设DD1靠近点D的三等分点为N,DC靠 近点D的三等分点为M,连接CD1,MN. D 图1 因为x+r=日，所以3飘十3弘=1.令D成=号DD,D成 号D,而D成-DC+DDi,则D成-3D+3D成，得到 Q∈MN,因为DD1靠近点D的三等分点为N,DC靠近点 D的三等分点为M,所以MN/∥CD1.因为AA⊥AB,AB= 四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四核柱 AA1=2,所以BA1=√22+2=22.在直四棱柱ABCD- ABCD1中，A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形 A1D1CB是平行四边形，故BA1∥CD1,则BA1MN.由题 意得P为CC1的中点，则△A1BP的面积是定值.因为MN 在平面A1BP,BAC平面A1BP,所以MN平面A1BP.因 为Q∈MN,所以点Q到平面ABP的距离为定值，即四面 上由线面平行的性质可得 体A1BPQ的体积为定值，故A正确.如图2，在平面 A1B,CD1中，过点A1作A1K⊥CD1,连接KQ,由直四 棱柱的性质得DD1⊥平面A1B,CD1,则DD1⊥A1K. D A。 C 图2 因为DD1∩C1D1=D1,DD1,C1D1C平面DDC1C,所以 A1K⊥平面DD1C1C,则A,K⊥KQ.因为平面ABCD为菱 形，所以平面A1BC1D1为菱形.因为AB=AA1=2,所以 A1D1=2.因为∠BAD=60°，所以∠D1A1B1=60°，则 ∠KDA=60,由锐角三角函数的定义得A,K- 2 2,解得 A1K=3,由勾股定理得D1K=1.因为A1Q=5,所以 KQ=√（√5）2-（√3）2=√2，则点Q在以K为圆心，√2为半 径的圆上运动.设该圆与C,D1交于点A3,与C1D1交于点A2, 由三角函数的定义得0∠D,KA,一方兰，则∠D,KA: 45°，即点Q的轨迹为一段圆弧，故B正确.如图3，作OH⊥ A1B,则H是AB的中点、 生O为△A1BQ的外心 3 图3 由已知得A1B=2W2,因为OH⊥A,B,所以Oi·A1B 0.而A1B.A10=A1B·(A1i+H0)=A1B·A1i+ ò.AB-AB.A方=名Ai.A店=}A= 之·AP=2×8=4,放C错误若入=1且μ=分，此 时D0=DC+2DD,因为P为cC,的中点，所以C2= =DD.由向量加法法则得应-D心+C立，故应 D花+专DD,则点Q与点P重合.此时把△AAB沿着 A1B翻折，如图4，使得A1,A,B,P四点共面，此时AE+ EQ有最小值AP,此时的点均为翻折过的点 P(Q) 图4 因为P为CC1的中点，所以CP=C,P=1,由勾股定理得 BP=√22+1平=√5，如图5，连接A1C1. D 图5 由已知得∠D1A1B1=60°，则∠C1B1A1=120°，由余弦定理 得一号=2十2AC,解得A1C=23.由直四棱柱的 2×2×2 性质得CC1⊥平面A1B1C1D1,则CC1⊥A1C1.由勾股定理 得A1P=√(2√3)2+12=√13，则BP2+A1B2=A1P2,故 ∠PBA1=90°.而AB=AA1=2,则∠ABA1=45°，得 PBA=135由余弦定理得一号-6)+2一AP ,解 2×w5X2 得AP=√9十2√10，故D正确.] 1.2空间向量基本定理 1.3空间向量及其运算的坐标表示 变式训练 [变式1们ACD[AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA= 4 a+b+c,放A正确B=BB+B,i=A+号B,D- 利用平行关系将心，C心精他为基向量bc AM+2A,d-AB)=M,+合茄-A)=e+ 合6-a)=-名a十安6十e,放B错误1AC1 1 √(a+b+c)7=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c, :IAB|=|AD|=|AA1I=1,∠A1AD=∠AAB=∠BAD= ,∴.AC1=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c π √1+1+1+1+1+I=V6,故C正确.cos(AB,AC1)= AB·AC1 =a2+a…b+ac_ ABIAC, 1×6 √6 D正确.] 基础过关练 1.C 2.A[由题意得AB1=AD1=AA11=1,AB,AD》=90°， AA1,AB》=(AD,AAi)=60AC=A店+BC+CC= A店+AD+AA,AC=(A店+Ai+AA)2=A店+ 选A言，A市，A1为基底 AD2+AA2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+ 1+1+2×1×1×c0s90°+2×1×1×c0s60°+2×1×1× cos60°=5，.AC1|=5.] 3.C[因为a=(2,1,m),b=(-2,1,2),且ah,所以a=b, 2=-2t, 即1=t,方程组无解，故不存在m使得a仍，故A错误. m=2t, 若aLb,则a·b=2X(-2)+1X1+2m=0,解得m=号， 故B错误.因为a与b不可能共线，若(a,b)为锐角，则a·b= 2X(-2》+1X1十2m>0,解得m>号故C正确因为a· b=2×(-2)+1×1+2m=2m-3,|b|=√(-2)2+1+2= 3者a在6上的投影狗量为日6，即治·b=20.3.6, 0 则2”。3-行，解得m=号放D错误] 9 4.(-3,6)U(6,+∞).[由a=(2,-1,1),b=(m,-3,3),则 a·b=2m+3+3>0, a与b的夹角为锐角时，有 解得m> m≠6， -3且m≠6，所以实数m的取值范围是(-3,6)U(6, +∞).] 5.(1)易知AC=(1,-2,2),因为a/∥AC, 所以a=λAC=(a,-2入，2λ). 因为a=3,所以√2+42+4以2=3，得A=士1，