1.2空间向量基本定理 课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦空间向量基本定理，通过基础认知、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到几何应用的递进，适配新授课知识巩固需求，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一概念（基底条件、共面判定）|选择题考基底充要条件判断（第1题），夯实概念理解| |综合应用|向量运算与几何结合（棱长计算、位置关系）|填空题结合正四面体求夹角余弦（第13题），提升运算能力| |拓展提升|综合证明与探究（平行六面体中平行关系证明）|解答题证明面面平行（第16题），发展逻辑推理与模型观念|

1.2空间向量基本定理 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.即p是q的必要不充分条件. 2.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是(　　) A.a B.b C.c D.2a 【答案】C 【解析】由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D．故选C． 3.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由M为AC中点得, 由得, 由得. 答案为A. 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 【答案】B 【解析】＝＋，＝＋＋ ＝－(＋)＋＋＝－＋， 设||＝a， 则·＝· ＝－2＋·－·＋2 ＝－a2＋a2＝0， 故⊥，即ON⊥AM. 5.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　) A.   B.   C.   D. 【答案】C 【解析】如图所示，＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故||2＝＝， 则AM＝||＝. 6.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　) A.0 B.2 C.－1 D.－2 【答案】B 【解析】由题可得＝－2＋5－m. 又动点Q在△ABC所在平面内运动， 所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.故选B. 7.对空间一点O，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.与O点位置有关 【答案】B 【解析】因为＝＋＋， 所以6(－)＝(－)＋(－)， 所以6＝＋， 即＝＋，且有公共点P， 故P，A，B，C四点共面． 8.（2024-2025·黑龙江高二月考）已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】向量， 又，故，解得． 故选：C． 二、多选题（共3小题） 9.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　) A.(＋＋)2＝2()2 B.·(－)＝0 C.向量与的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设这三条棱长为1， 则·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝， 对于A，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6， 而2()2＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)＝2(1＋1＋2×)＝2×3＝6，所以A正确； 对于B，·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确； 对于C，向量＝，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角是120°，向量与的夹角是120°，所以C不正确； 又＝＋－，＝＋， 则||＝＝，||＝＝， ·＝(＋－)·(＋)＝1， 所以cos〈，〉＝＝＝，所以D正确． 10.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(　　) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 【答案】ACD 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，又A1M与D1P无公共点，∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故选ACD. 11.关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C.设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底 D.若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 【答案】ABC 【解析】选项A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 选项B，因为对空间中任意一点O，有＝＋＋，则(－)＋(－)＋(－)＝0，整理可得：＝－2－3，由平面向量基本定理可知，点P，A，B，C四点一定共面，故B正确； 选项C，由{a，b，c}是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，可得向量a＋b，b＋c，a＋c也不共面，所以{a＋b，b＋c，a＋c}也是空间中的一组基底，故C正确； 选项D，若a·b<0，则〈a，b〉为钝角或π，故D错误． 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m、n、p不共面，若a∥b，则x＋y等于                  ． 【答案】－5 【解析】∵a∥b且a≠0， ∴存在实数λ，使b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m、n、p不共面， ∴＝＝， 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 13.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都正三角形)A－BCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为                  ． 【答案】 【解析】因为A－BCD为棱长为1的正四面体， 所以＝(·＋)，＝－，AM＝CN＝， ·＝·＝·＝， 所以·＝(＋)· ＝(·－2·＋·－22)＝－2＝－， 所以直线AM和CN夹角的余弦值为＝＝. 14.已知空间向量，，的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝                  ，||＝                  . 【答案】1： 【解析】根据题意得，点G为△ABC的重心， 设BC中点为D，则＝＝(＋)， ∴－＝(－＋－)， ∴＝＋＋， 又∵＝＋＋z， ∴x＝y＝z＝， ∴x＋y＋z＝1， ||2＝2× ＝， ∴||＝. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知向量，，.求： (1)； (2). 【答案】解：(1)由于， 则. (2)由于， ， 则， 则. 16.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 【答案】证明取基底{，，}， (1)因为＝＋＝＋，＝＋＝2， 所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2， 所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC， 可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2空间向量基本定理 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是(　　) A.a B.b C.c D.2a 3.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（） A. B. C. D. 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 5.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　) A.   B.   C.   D. 6.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　) A.0 B.2 C.－1 D.－2 7.对空间一点O，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.与O点位置有关 8.（2024-2025·黑龙江高二月考）已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（共3小题） 9.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　) A.(＋＋)2＝2()2 B.·(－)＝0 C.向量与的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 10.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(　　) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 11.关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C.设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底 D.若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m、n、p不共面，若a∥b，则x＋y等于                  ． 13.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都正三角形)A－BCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为                  ． 14.已知空间向量，，的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝                  ，||＝                  . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知向量，，.求： (1)； (2). 16.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 学科网（北京）股份有限公司 $