1.4.2用空间向量研究距离、平面的位置关系 同步训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量应用，以基础巩固-能力提升-综合应用分层设计，覆盖距离、空间角等核心知识点，通过阶梯式题型培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|异面直线所成角、点到直线距离|单选题（6题）、填空题（2题）直接应用向量公式，强化概念理解| |能力提升|线面角、二面角余弦值|多选题（2题）结合动态几何情境，考查推理与空间想象| |综合应用|线面垂直证明、多面体距离与角|解答题（2题）融合几何证明与向量运算，培养模型构建与综合应用能力|

1.4.2用空间向量研究距离、平面的位置关系 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥放置于长方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为 故选：B 2．如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 3．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 4．在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，先证明平面，可得直线到平面的距离等于到平面的距离，进而结合点到平面空间向量公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 则，即， 又平面，则平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 则到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 故选：D 5．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 6．锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案. 【详解】因为二面角的法向量分别为，， 设所求二面角的大小为， 则， 因为二面角是锐角，所以该二面角的余弦值， 故选：A 二、多选题 7．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ）.    A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：应用线面垂直判定定理及性质判断.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】    对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面，平面， 平面， 故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误； 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 因，则，， 若或时，取得为，同法可得， 所以，则得，故D正确. 故选：ACD 8．在长方体中，，，则（   ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】以为坐标原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算确定平面的法向量，再根据直线与平面所成角的余弦值与坐标间的关系、点到平面的距离坐标运算逐项判断即可得结论 【详解】以为坐标原点，，，的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 对于A，因为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故A不正确； 对于B，因为，则，点到平面的距离为，故B正确； 对于C，因为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故C不正确； 对于D，因为，则，点到平面的距离为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，；则两条异面直线，所成角的余弦值为__________．    【答案】. 【分析】用向量的数量积法求解. 【详解】由题意知， ，， ， ， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 10．已知,,,则原点到平面的距离为__________． 【答案】/ 【分析】求出平面的法向量，利用空间中点到面的距离公式求解. 【详解】设原点到平面的距离为，平面的法向量为， 则，，， 即得，令，可得，， 故，则， 故答案为：. 四、解答题 11．四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 12．在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式计算即可. （2）先根据坐标求出平面的法向量坐标，然后根据向量的数量积求出点到平面的距离. （3）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为， 则. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为，设平面的法向量为. 则，两式相减得. 令，则，所以. 因为，所以点到平面的距离为 . （3）因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为. 所以二面角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量研究距离、平面的位置关系 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 3．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ）.    A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 8．在长方体中，，，则（   ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 9．如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，；则两条异面直线，所成角的余弦值为__________．    10．已知,,,则原点到平面的距离为__________． 四、解答题 11．四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $