1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间中直线、平面的垂直，通过基础向量运算、综合几何应用到探究性问题的三层设计，强化逻辑推理与空间观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线/平面垂直的向量判定|直接应用数量积公式，如选择1-3题、填空6题| |能力提升|线面垂直及法向量综合|结合正方体背景，如选择4-5题、填空7题| |综合应用|折叠问题与存在性探究|动态参数与法向量运算，如填空8题、解答9-10题|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝（4，－1，0），b＝（1，4，5），c＝（－3，12，9），则（　 　） A.l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C.l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D.l1，l2，l3两两垂直 2.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　 　） A.（1，0，－2） B.（1，0，2） C.（－1，0，2） D.（2，0，－1） 3.已知平面α的一个法向量是a＝（cos θ，－sin θ，），平面β的一个法向量是b＝（cos θ，sin θ，），若α⊥β，则θ＝（　 　） A. B.＋kπ（k∈Z） C.＋2kπ（k∈Z） D. 4.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（　 　） A. B.1 C.2 D.3 5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　 　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 二、填空题 6.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos 2x＋2，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为 . 7.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有 条. 8.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足＝λ（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为 . 三、解答题 9.如图，在直三棱柱ADE－BCF中，四边形ABFE和四边形ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点. 证明：（1）OM∥平面BCF； （2）平面MDF⊥平面EFCD. 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0＜λ＜2）. （1）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ. （2）是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. 解析版 一、选择题 1.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝（4，－1，0），b＝（1，4，5），c＝（－3，12，9），则（　A　） A.l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C.l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D.l1，l2，l3两两垂直 2.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　C　） A.（1，0，－2） B.（1，0，2） C.（－1，0，2） D.（2，0，－1） 3.已知平面α的一个法向量是a＝（cos θ，－sin θ，），平面β的一个法向量是b＝（cos θ，sin θ，），若α⊥β，则θ＝（　B　） A. B.＋kπ（k∈Z） C.＋2kπ（k∈Z） D. 解析：由已知得a·b＝0，即cos2θ－sin2θ＋1＝0，则cos 2θ＝－1，∴2θ＝π＋2kπ（k∈Z），则θ＝＋kπ（k∈Z）. 4.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（　B　） A. B.1 C.2 D.3 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为1， PA＝a，则B（1，0，0），E（，1，0），P（0，0，a）. 设F（0，y，0），则＝（－1，y，0）， ＝（，1，－a）. 因为BF⊥PE，即＝（－1）×＋y＝0， 所以y＝，故＝1.故选B. 5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　ABC　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析：因为·＝－2－2＋4＝0，所以⊥，所以AP⊥AB，A正确； 因为·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，所以AP⊥AD，B正确； 因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A， AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量，C正确； ＝－＝(2，3，4)， 设＝λ＝(－λ，2λ，－λ)， 即此方程组无解，D错误． 二、填空题 6.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos 2x＋2，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为　或　. 7.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有　1　条. 解析：假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设正方体的棱长为2，则D1（2，0，2），E（1，2，0）， 设M（x，y，z），＝m（0≤m≤1）， 所以（x－2，y，z－2）＝m（－1，2，－2）， 则x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m， 所以M（2－m，2m，2－2m）， 同理，设＝n（0≤n≤1）， 可得N（2n，2n，2－n）， 则＝（m＋2n－2，2n－2m，2m－n）， 又因为MN⊥平面ABCD， ＝（2，0，0），＝（0，2，0）， 所以＝0，＝0， 即解得 即存在满足条件的直线MN，有且只有一条. 8.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足＝λ（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为　　. 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴C（4，4，0），D（0，4，0），B（4，0，0），E（4，0，2），P（0，0，4），F（4λ，0，0）， 则＝（4，0，－2），＝（4，4，－4）， ＝（4（λ－1），0，－2）， ＝（4，－4，2）， 若m＝（x，y，z）是平面DEF的法向量， 则即 可得m＝（，，2）， 若n＝（a，b，c）是平面PCE的法向量， 则即 可得n＝（1，1，2）， 由平面DEF⊥平面PCE， 得m·n＝0， 即＋＋4＝0， 解得λ＝. 三、解答题 9.如图，在直三棱柱ADE－BCF中，四边形ABFE和四边形ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点. 证明：（1）OM∥平面BCF； （2）平面MDF⊥平面EFCD. 证明：（1）由题意，AB，AD，AE两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F（1，0，1），M（，0，0），O（，，）， ＝（0，－，－），＝（－1，0，0）. ∵＝0，∴OM⊥AB. ∵三棱柱ADE－BCF是直三棱柱， ∴AB⊥平面BCF， ∴是平面BCF的一个法向量， ∵OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF. （2）设平面MDF与平面EFCD的法向量分别是n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）. ＝（1，－1，1），＝（1，0，0）， ＝（，－1，0）， ∴ 令x1＝2，得n1＝（2，1，－1）， 同理可得 令y2＝1，得n2＝（0，1，1）. ∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD. 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0＜λ＜2）. （1）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ. （2）是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），M（2，1，2），N（1，0，2），＝（－2，0，2），＝（－1，0，λ），＝（1，1，0），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，λ－2）. 当λ＝1时，＝（－1，0，1）， 因为＝（－2，0，2），所以＝2， 即∥， 又BC1与FP无公共点，所以BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ. （2）假设存在符合题意的λ.设平面EFPQ的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 于是可取n＝（λ，－λ，1）.同理可得平面PQMN的法向量为m＝（λ－2，2－λ，1）. 故m·n＝（λ－2，2－λ，1）·（λ，－λ，1）＝0， 即λ（λ－2）－λ（2－λ）＋1＝0，解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使平面EFPQ⊥平面PQMN. 页 学科网（北京）股份有限公司 $