1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕空间向量坐标表示，通过基础概念辨析、运算训练到几何综合应用的三阶分层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的巩固路径，培养数学抽象与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间坐标系概念、向量线性运算与模长|以多选（如第1题坐标判断）、单选（如第2题单位向量）为主，强化概念辨析与基本运算| |进阶层|向量平行垂直、数量积应用|结合几何情境（如第10题四棱锥向量应用），考查知识综合运用，培养推理意识| |提高层|动态最值、存在性问题|设置动点（如第16题长方体参数最值）、异面直线夹角等复杂问题，发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 课时对点练 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) 2.已知空间向量a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是(　　) A. B. C. D. 3.若空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(　　) A.(4，-1，0) B.(-1，0，-1) C.(-2，1，0) D.(2，0，2) 4.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 5.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A. B.3 C. D. 6.如果三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)在同一条直线上，则(　　) A.a=3，b=2 B.a=6，b=-1 C.a=3，b=-3 D.a=-2，b=1 7.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 8.在△ABC中，已知=(2，4，0)，=(-1，3，0)，则∠ABC=　　　　　. 9.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　. 10.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长. 11.已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a等于(　　) A. B. C.2 D. 12.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则(　　) A.若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞) B.若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2) C.存在t∈R，使得||=2|| D.存在t∈R，使得||=2 13.已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　. 14.(14分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 15.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为　　　　　. 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=1，AB=2，AA1=a，若对角线BD1上存在异于点B，D1的点P，使得·=0，则a的最大值是　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 课时对点练参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) 答案　BCD 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确. 2.已知空间向量a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)， ∴a+b=(0，1，2)，|a+b|=， ∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是-(0，1，2)=. 3.若空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(　　) A.(4，-1，0) B.(-1，0，-1) C.(-2，1，0) D.(2，0，2) 答案　B 解析　由于空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)， 则向量a在向量b上的投影向量为·=·=-b=(-1，0，-1). 4.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 答案　A 解析　∵a-b+2c=(9，3，0)， ∴|a-b+2c|==3. 5.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A. B.3 C. D. 答案　A 解析　空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=. 6.如果三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)在同一条直线上，则(　　) A.a=3，b=2 B.a=6，b=-1 C.a=3，b=-3 D.a=-2，b=1 答案　A 解析　∵A，B，C三点共线， ∴，为共线向量， 又=(1，-1，3)，=(a-1，-2，b+4)， ∴==，解得a=3，b=2. 7.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 答案　ABD 解析　因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确；因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)， 所以|m+n|===，解得x=-5，故C错误；因为x=，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos〈m，n〉===，故D正确. 8.在△ABC中，已知=(2，4，0)，=(-1，3，0)，则∠ABC=　　　　　. 答案　 解析　由题意可得||=，||=，·=2×(-1)+4×3+0×0=10， ∴cos〈，〉===， ∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉=， ∴在△ABC中，∠ABC=π-=. 9.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　. 答案　- 解析　由题意知，cos 120°= ==-， 即=，k2=39， 显然k<0，所以k=-. 10.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长. 解　如图，连接BD交AC于点O， ∵BC=CD，AC平分∠BCD，∴AC⊥BD， 以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则OC=BCcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3. 又∵OB=BCsin =， ∴可得A(0，-3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)， 由于PA⊥底面ABCD，可设P(0，-3，z)，z>0， ∴=(0，0，-z)， ∵F为PC的中点，∴F，由此可得=， ∵=(，3，-z)，且AF⊥PB， ∴·=6-z2=0，解得z=2(舍负)， 因此，=(0，0，-2)，可得PA的长为2. 11.已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a等于(　　) A. B. C.2 D. 答案　D 解析　=(-2，2，-1)，=(-2，0，2)，=(-1，-1，a)， 由已知可得=x+y(x，y∈R)，所以(-1，-1，a)=(-2x，2x，-x)+(-2y，0，2y)， 所以解得 12.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则(　　) A.若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞) B.若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2) C.存在t∈R，使得||=2|| D.存在t∈R，使得||=2 答案　BC 解析　对于A，=(1，t-4，3)，=(2，4，t)，向量，的夹角是锐角， 则·>0且，不共线， 又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0， 解得t>2， 若，共线，设=λ(λ>0)， 即解得 所以≠λ，t≠6，综上所述，若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误； 对于B，若向量，的夹角是钝角，则·<0且，不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确； 对于C，||=，||=，因为||=2||，所以=2，整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84=16>0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确； 对于D，=(1，8-t，t-3)，因为||=2，即||==2，整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误. 13.已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　. 答案　 解析　由题意知=(1，0，2)，设=λ=(λ，0，2λ)，λ∈R， 则Q(λ，0，2λ)， 故=(1-λ，2，2-2λ)，=(2-λ，1，1-2λ)， 所以·=(1-λ)(2-λ)+2+(2-2λ)(1-2λ)=5λ2-9λ+6=5+， 故当λ=时，·取得最小值，此时点Q的坐标为. 14.(14分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)， M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(，1，2)，=， 所以||=2，||=， ·=2m-1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos 〈，〉| ==， 即=， 使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N， 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 15.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为　　　　　. 答案　 解析　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图， 则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)， =(2，2，3)，=(1，-1，0)，=(1，2，3)， 设=λ，=μ，λ，μ∈. 则=(2λ，2λ，3λ)，=+=+μ=(1+μ，2-μ，3)， =-=(1+μ-2λ，2-μ-2λ，3-3λ)， =(1+μ-2λ)2+(2-μ-2λ)2+(3-3λ)2 =17λ2-30λ+2μ2-2μ+14=17+2+， 当λ=且μ=时，取到最小值，所以线段PQ长度的最小值为. 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=1，AB=2，AA1=a，若对角线BD1上存在异于点B，D1的点P，使得·=0，则a的最大值是　　　　. 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，2，0)，B1(1，2，a)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a). 因为P在线段BD1上，所以设=λ(0<λ<1)，又=(-1，-2，a)， 所以=(-λ，-2λ，aλ)，所以P(1-λ，2-2λ，aλ)， 所以=(λ，2λ，a-aλ)，=(λ-1，2λ，a-aλ)， 因为·=0， 所以λ(λ-1)+4λ2+(a-aλ)2=0， 即a2=，令1-λ=t，t∈(0，1)， 则a2==-5+-， 令x=，则x∈(1，+∞)， 所以a2=-4x2+9x-5， 又二次函数y=-4x2+9x-5的图象开口向下，对称轴为直线x=， 所以当x=，即λ=时，该函数取得最大值，最大值为-4×+9×-5=， 所以a的最大值是. . 学科网（北京）股份有限公司 $