§1.3.1 空间直角坐标系 同步练习 - 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，梯度合理，助力空间直角坐标系知识的递进巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|点的位置判断、对称点坐标、单位正交基底、距离计算、几何体中点坐标|11题，选择填空为主，强化空间观念与运算能力，如点关于坐标平面对称、长方体中点坐标求解| |提能力|坐标综合应用、投影数量范围、坐标系建立与向量坐标|3题，含多选与动态问题，培养推理能力与模型意识，如长方体中对称点判断、动点投影范围| |迎挑战|新基底坐标转换、垂足坐标求解|2题，探究性问题，发展创新意识与逻辑推理，如非标准基底坐标转换、垂线垂足坐标计算|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3.1 空间直角坐标系 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二下·广东·阶段检测）点在空间直角坐标系中的位置是（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．平面上 【答案】C 【解析】根据点的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点的位置. 【详解】点的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0， 点在平面上. 故选：C. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）点关于坐标平面对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得的坐标为． 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系中点的坐标的求法，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系中点的坐标表示，可得对应的坐标为. 故选：A. 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点B的坐标是，则＝（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间基底向量表示可得答案. 【详解】因为，，，，是空间向量的一个单位正交基底， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得. 【详解】由图可知，， 因为点是的中点， 则由中点坐标公式可得. 故选：C. 7．（25-26高二上·黑龙江·期中）（多选）下列各命题正确的是（    ） A．点关于平面的对称点为 B．点关于y的对称点为 C．点到平面的距离为1 D．设是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若，则 【答案】ABD 【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A，点关于平面的对称点为，所以A正确， 对于B，点关于y的对称点为，所以B正确， 对于C，点到平面的距离为2，所以C错误， 对于D，由于是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且，所以，所以D正确， 故选：ABD 8．（25-26高二上·广西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由过点作平面的垂线，垂足的坐标为，即可求出结果. 【详解】因为过点作平面的垂线，垂足为，所以可得两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面中所有点的纵坐标都是0，因为，所以有. 故选C 9．（25-26高二下·全国·课后作业）在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为__________．    【答案】 【分析】根据题意利用中位线的性质，得到即可求解. 【详解】如图可知，，则， 又分别是的中点，则是的中位线， 故，且， 于是. 故答案为： 10．（25-26高二下·江苏·期中）已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】/ 【分析】首先求出，的坐标，再根据向量数量积、向量模的坐标表示求出，，最后根据求出投影向量的坐标，最后求模即可； 【详解】解：因为，，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影为； 所以向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量的模为； 故答案为： 11．（24-25高二上·海南·阶段检测）已知是棱长为2的正方体，，分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标. 【答案】. 【分析】求得的坐标，由此确定正确答案. 【详解】依题意， 由于是坐标原点， 所以. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二下·江苏·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 13．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 14．（25-26高二·全国·随堂练习）如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 【答案】坐标系见解析， 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的线性运算求出 ，即可得出答案. 【详解】因为，平面，， 所以，，是两两垂直的单位向量． 以点为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系． 因为 ， 所以． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高三上·安徽·阶段检测）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________. 【答案】 【分析】由题意结合空间向量基本定理可得答案. 【详解】由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以，得， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 16．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标. 【答案】E 【详解】由题意得D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0). 设点E的坐标为(x,y,0), 过E分别作AD,DC的垂线,垂足为M,N,如图. ∵AD·CD=AC·DE, ∴DE==, ∵cos∠EDA=, ∴sin∠EDA=, EM=DE·sin∠EDA=, EN=DE·cos∠EDA=,∴E. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3.1 空间直角坐标系 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二下·广东·阶段检测）点在空间直角坐标系中的位置是（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．平面上 2．（25-26高二·全国·暑假作业）点关于坐标平面对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点B的坐标是，则＝（    ） A． B．6 C． D．5 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江·期中）（多选）下列各命题正确的是（    ） A．点关于平面的对称点为 B．点关于y的对称点为 C．点到平面的距离为1 D．设是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若，则 8．（25-26高二上·广西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为 A． B． C． D． 9．（25-26高二下·全国·课后作业）在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为__________． 10．（25-26高二下·江苏·期中）已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______． 11．（24-25高二上·海南·阶段检测）已知是棱长为2的正方体，，分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二下·江苏·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 13．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______． 14．（25-26高二·全国·随堂练习）如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高三上·安徽·阶段检测）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________. 16．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $