精品解析：重庆市沙坪坝区第八中学校2025-2026学年六年级下学期小升初自主招生数学试题

2026年7月渝八中学校小升初自主招生 数学 一、填空题。（本大题共17空，前11空每空2分，后6空每空3分，共40分） 1. 在方框里填入同一个数，使等式成立。□里应填______。 【答案】2 【解析】 【分析】将□看成未知数，左边合并成，根据等式的性质1和2，两边同时加，再同时减51，最后同时除以21即可。 【详解】 解： 2. 把18克糖完全溶解在81克水中，糖的质量与糖水总质量的最简单的整数比是______；如果往这杯糖水中再加入54克水，要使糖水的浓度保持不变，还需要加入______克糖。 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先用糖加水求出糖水的总质量，求糖与糖水的比，用糖的质量∶糖水的总质量，根据比的基本性质化简比即可；先求出糖与水的比，用加入水的质量÷水所占的份数，求出一份的质量，再乘糖所占份数即可求出还需要加入糖的质量。 【详解】18＋81＝99（克） 18∶99＝（18÷9）∶（99÷9）＝2∶11 18∶81＝（18÷9）∶（81÷9）＝2∶9 54÷9×2 ＝6×2 ＝12（克） 3. 用小棒摆图形，按照下图中的规律摆下去，第10个图形用了（ ）根小棒，第（ ）个图形用了98根小棒。 【答案】 ①. 42 ②. 24 【解析】 【分析】先观察前三个图形，第1个图形、第2个图形、第3个图形分别用了小棒的数量为6根、10根、14根；10－6＝4（根），14－10＝4（根），也就说明每增加1个图形，小棒数量就增加4根；据此找出找出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图形有6根小棒，6＝4×1＋2； 第2个图形有10根小棒，10＝4×2＋2； 第3个图形有14根小棒，14＝4×3＋2； …… 规律：第n个图形有（4n＋2）根小棒。 当n＝10时，4n＋2＝4×10＋2＝40＋2＝42（根） 4n＋2＝98 解：4n＝98－2 4n＝96 n＝96÷4 n＝24 填空如下： 第10个图形用了（42）根小棒，第（24）个图形用了98根小棒。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 4. 正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么下图中符合要求的格点C共有______个。 【答案】4 【解析】 【分析】等腰直角三角形是有一个内角为90°，且两条直角边相等的三角形。通过在正方形网格中寻找符合条件的格点，可以确定满足条件的格点数量。 根据等腰直角三角形的定义，以AB为斜边或直角边来确定符合条件的格点。 在正方形网格中，以AB为等腰直角三角形的斜边时，存在2个格点使得构成的三角形是等腰直角三角形； 以AB为等腰直角三角形的腰时，存在2个格点使得构成的三角形是等腰直角三角形。据此解答。 【详解】（1）AB为等腰直角三角形的斜边，格点C有2种情况（红色点处）； （2）AB为等腰直角三角形的腰，格点C有2种情况（绿色点处）。 （个） 5. 我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”（如下图）。根据图中规律，第九行正中间的数是______。 【答案】70 【解析】 【分析】从上往下观察杨辉三角，两边的数字都由1组成，其余的数则等于它肩上的两个数之和，第几行就有几个数，按规律继续写到第九行，找到中间数即可。 【详解】根据分析按规律写至第九行是： 所以：根据图中规律，第九行正中间的数是70。 6. 求除以7的余数是______。 【答案】5 【解析】 【分析】先从简单低次入手，分别用、……去除以7，计算余数，由于此题属于底数较大的周期求余问题，需要结合余数的可乘性进行综合计算。 【详解】122÷7＝17……3，余3， ÷7＝122×122÷7，故÷7的余数为3×3＝9，因9＞7，故取9÷7的余数，即余2；同理÷7的余数等于122×÷7的余数，即3×2＝6；÷7余数为3×6÷7的余数，即余4；÷7余5，÷7余1，÷7余3（余数开始重复，即周期为6）； 2021÷6＝336……5， 周期中的第5个余数是5，所以÷7余5。 【点睛】结合余数的可乘性进行综合计算，确定余数的周期是解题关键。 7. 将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最少的盒子里最多有______个乒乓球。 【答案】4 【解析】 【分析】把8个盒子中分别放入1、2、3、…、8个乒乓球，共用去乒乓球：（1＋8）×8÷2＝36（个），还剩下乒乓球：62－36＝26（个），然后每个盒子继续放入3个，此时还剩余乒乓球：26－3×8＝2（个），再把这2个乒乓球放入个数最多的盒子中，此时即可求出8个盒子放的乒乓球个数都不相同，且放乒乓球个数最少的盒子里最多有多少个。 【详解】把8个盒子中分别放入1、2、3、…、8个乒乓球后，还剩下乒乓球： 62－（1＋8）×8÷2 ＝62－9×8÷2 ＝62－72÷2 ＝62－36 ＝26（个） 然后每个盒子继续放入3个，此时还剩余乒乓球： 26－3×8 ＝26－24 ＝2（个） 再把这2个乒乓球放入个数最多的盒子中，此时放乒乓球个数最少的盒子里最多有乒乓球： 1＋3＝4（个） 因此，放乒乓球个数最少的盒子里最多有乒乓球4个。 将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最少的盒子里最多有4个乒乓球。 【点睛】解答本题的关键是应先使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 8. 牧场上有一片草每天都生长得一样快。这片草供给10头牛吃，可以吃22天；供给16头牛吃，可以吃10天。如果5天内把草吃光，需要______头牛？ 【答案】 27 【解析】 【分析】牧场上的草由“原有草量”和“每天新生长的草量”两部分组成。可以假设1头牛1天吃的草量为1份。通过对比两种已知情况（10头牛吃22天，16头牛吃10天）的总消耗量差异，求出每天草的生长速度，再求出原有草量。最后根据5天吃完的要求，计算出总草量并求出所需的牛的头数。 【详解】假设1头牛1天吃1份草。 第一种情况总草量：（份） 第二种情况总草量：（份） 每天生长草量：（份） 原有草量：（份） 5天吃完所需牛的头数：（头） 答：需要27头牛。 9. 如下图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为______。 【答案】 【解析】 【分析】圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的， 由此可得圆的面积×＝长方形的面积×， 假设等式为1，据此可知圆和长方形的面积比； 三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的， 由此可得三角形的面积×＝长方形的面积×， 假设等式为1，据此可知三角形和长方形的面积比； 最后再利用比的基本性质将两个比中长方形的份数改写成相同的数，再把单比化成连比，据此解答。 【详解】圆的面积×＝长方形的面积× 假设等式为1， 圆的面积份数： 长方形的面积份数： 圆的面积：长方形的面积 三角形的面积×＝长方形的面积× 假设等式为1， 三角形的面积份数： 长方形的面积份数： 三角形的面积：长方形的面积 圆的面积∶长方形的面积 三角形的面积∶长方形的面积 所以，圆的面积∶长方形的面积：三角形的面积 10. 国庆期间，山西的特大暴雨，牵动了全国人民的心。山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡、路面冲毁、屋舍农田被淹。解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，第一队原来有______人？ 【答案】 158 【解析】 【分析】确定使用逆推法解题，以最终第一队的30人作为逆推的起点。 因为调进8人后是30人，所以先逆推调进8人之前的人数，用减法计算 因为抽调剩下的一半支援第四队后得到上述人数，所以逆推抽调支援第四队前的人数，用乘法计算 因为抽调35人支援第三队后得到上述人数，所以逆推抽调支援第三队前的人数，用加法计算 因为抽调一半人支援第二队后得到上述人数，所以逆推第一队原有人数，用乘法计算 【详解】第一步：调进8人之前的人数为：（人）。 第二步：抽调去第四队之前的人数为：（人）。 第三步：抽调去第三队之前的人数为：（人）。 第四步：抽调一半人支援第二队之前，第一队原来的总人数为：（人） 11. 图书馆甲、乙两个书架上都摆放了一些图书。甲书架比乙书架多48本图书。管理员将甲书架图书的移到乙书架后，两个书架的图书本数同样多。甲、乙两个书架原来共有图书为______本。 【答案】432 【解析】 【分析】将甲书架图书本数看作单位“1”，甲书架图书的移到乙书架后，两个书架的图书本数同样多，说明甲书架图书本数比乙书架多了甲书架的（×2），甲书架比乙书架多的本数÷对应分率＝甲书架图书本数，甲书架图书本数－甲书架比乙书架多的本数＝乙书架图书本数，乙书架图书本数＋甲书架图书本数＝总本数。 【详解】48÷（×2） ＝48÷ ＝48×5 ＝240（本） 240－48＋240＝432（本） 12. 王师傅和张师傅合作加工1740个零件，他俩加工3小时后，张师傅有事离开，2小时后张师傅又赶回来继续加工，再过1小时他们完成了任务。已知王师傅每小时比张师傅多加工20个零件，王师傅每小时加工______个。 【答案】 182 【解析】 【分析】由题可得，王师傅一共加工了：3＋2＋1＝6（小时），张师傅一共加工了：3＋1＝4（小时）。因为王师傅每小时比张师傅多加工20个零件，设王师傅每小时加工x个，则张师傅每小时加工（x－20）个，再根据王师傅每小时加工的零件数×王师傅的加工时间＋张师傅每小时加工的零件数×张师傅的加工时间＝1740件，代入数据列出方程即可求解。 【详解】设王师傅每小时加工x个，则张师傅每小时加工（x－20）个， 3＋2＋1＝6（小时） 3＋1＝4（小时） 6x＋（x－20）×4＝1740 6x＋4x－80＝1740 10x＝1740＋80 10x＝1820 x＝182 即王师傅每小时加工182个。 13. 某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有______名？ 【答案】70 【解析】 【分析】把每名老师和每名学生的原价费用看作单位“1”，设学生有x名，几折就是百分之几十，原价×老师人数＋原价×学生人数×学生的折扣＝甲旅行社优惠后的总费用；原价×总人数×折扣＝乙旅行社优惠后的总费用，乙旅行社优惠后的总费用是甲旅行社的（1－10%），根据甲旅行社优惠后的总费用＝乙旅行社优惠后的总费用×（1－10%），列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设学生有x名。 1×5＋1×x×70%＝1×（5＋x）×80%×（1－10%） 5＋0.7x＝（5＋x）×0.8×0.9 5＋0.7x＝（5＋x）×0.72 5＋0.7x＝3.6＋0.72x 5＋0.7x－0.7x－3.6＝3.6＋0.72x－0.7x－3.6 0.02x＝1.4 0.02x÷0.02＝1.4÷0.02 x＝70 【点睛】关键是理解折扣的意义，明确两家旅行社的优惠对象，找到等量关系用方程解决问题比较简单。 14. A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回。上午10时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的多9千米。甲一共行了______千米？甲的速度是______千米/时？ 【答案】 ①. 36 ②. 18 【解析】 【分析】先确定两人从出发到第二次相遇的总行驶时间，因为两人同时出发到第二次相遇时用时相同，所以可直接通过出发和相遇的时间差计算。 明确多次相遇的路程关系：因为相向而行第二次相遇时，两人一共行驶的总路程是3倍的A、B两地距离，所以先求出两人行驶的总路程和。 已知甲行驶路程比乙多9千米，如果用两人行驶的总路程再加上9千米，正好是甲行驶路程的2倍，那么甲行驶的总路程（两人行驶的总路程9），即可求出甲行驶的总路程。 用甲行驶的总路程除以总行驶时间，就能得到甲的速度。 【详解】①（小时） （千米） （千米） ②（千米/时） 15. 一口枯井，一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口，在井口停30分钟又从井口爬到井底，停留30分钟后，又从井底爬到井口，……，如此不断地爬上爬下，每爬一个单程都用45分钟。另有一只蚂蚁，上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行，如果它每爬行一个单程都用15分钟，那么，到当日下午4时，它们一共相遇了______次（不包括开始的一次）？ 【答案】17 【解析】 【分析】通过画柳卡图可知，以75分钟为一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次（如下图）： 上午9时到下午4时经过了7小时，也就是420分钟，然后用除法求出420里面有几个75分钟，商是5，余数是45，说明有5个周期，剩下45分钟，45分钟能够相遇2次，据此用5个周期相遇的总次数加上2即可求出相遇的总次数。 【详解】根据分析可知，75分钟一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次。 下午4时＝16时 16时－9时＝7小时 7×60＝420（分） 420÷75＝5（周期）……45（分） 45分钟两者相遇2次， 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（次） 到当日下午4时，它们一共相遇了17次。 二、计算题，写主要步骤和结果。（本题共6小题，每小题3分，共18分） 16. 【答案】11 【解析】 【分析】先算乘除，后算加减。分别计算各个乘除部分，再算加减法。 【详解】 17. 【答案】24 【解析】 【分析】将拆成（100－），根据乘法分配律，小括号里的数分别与相乘，再相减，后边没参与简便的数字和符号照抄，再根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算。 【详解】 18. 【答案】 【解析】 【分析】观察算式特点，发现化成小数等于，与算式中另一个因数相同；除数化成小数等于。括号内的加法算式两边都有因数，符合乘法分配律的结构特征。解题时先将分数化成小数，运用乘法分配律提取公因数，计算出括号内的和为，最后进行除法运算即可求解。 【详解】          19. 【答案】 【解析】 【分析】观察算式，发现每个乘法算式中的带分数都可以拆分成一个整十数和一个假分数的和，且拆分出的假分数与后面的乘数互为倒数，可以拆分为 ，拆成，拆成，利用乘法分配律进行计算。 【详解】 20. 【答案】 【解析】 【分析】观察算式中每个分数的特点，发现每个分数的分母都可以写成两个连续自然数的乘积，分子比分母小 1。因此，每个分数都可以拆写成1减去一个单位分数的形式。原式转化为99个1相加，再减去所有分数的和。确定分母是从1×2到99×100，共99个分数，根据，将分数进行拆解，分数部分中间可以抵消，再进行计算。 【详解】 21. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，先写成的形式，再化简成，两边同时减，再同时除以0.7即可。 【详解】 解： 三、解决问题，写主要步骤和结果。（本大题共6小题，每小题各5－10分，共42分） 22. 一个装水的圆柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米。（结果保留π） （1）求不规则铁块的体积； （2）把铁块取出，加工成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ （3）把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有铁块高的露出水面，如果再把铁块垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1） 立方厘米 （2） 厘米 （3） 立方厘米 【解析】 【分析】（1）不规则铁块的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积＝，代入数据即可求解。 （2）用原来的体积－原来的体积×＝削成的圆柱的体积，用圆柱的体积÷＝圆柱的高，代入数据即可求解。 （3）圆柱铁块高是12.5 cm，底面积4π。 初始状态：铁块底面与怀底完全接触，仍有露出水面， 所以浸入高度为：12.5×（1－）＝12.5×＝10厘米 设第二个玻璃杯的底面积为S，水的体积为V，则： V＝S×10－×10＝10S－40π 接着，把铁块竖直向上提起5厘米，水面下降2厘米，此时水面高度变为： 10－2＝8厘米 铁块底部离杯底5cm，浸入水中的高度为： 8－5＝3厘米 此时水的体积又可表示为：V＝S×8－×3＝8S－12π 两次水的体积不变，联立得出方程：10S－40π＝8S－12π 解得：S＝14π 代入10S－40π中即可得出这个圆柱体玻璃杯中水的体积。 【小问1详解】 π××2 ＝100π×2 ＝200π（立方厘米） 答：不规则铁块的体积是200π立方厘米。 【小问2详解】 200π－200π× ＝200π－150π ＝50π（立方厘米） 50π÷（π×） ＝50π÷4π ＝12.5（厘米） 答：圆柱铁块的高是12.5厘米。 【小问3详解】 12.5×（1－）＝12.5×＝10 （厘米） 设第二个玻璃杯的底面积为S，水的体积为V，则： V＝S×10－×10＝10S－40π 10－2＝8（厘米） 8－5＝3（厘米） 此时水的体积又可表示为：V＝S×8－×3＝8S－12π 两次水的体积不变，联立： 10S－40π＝8S－12π 解得：2S＝28π S＝14π 代入： V＝10×14π－40π ＝140π－40π ＝100π 答：这个圆柱体玻璃杯中水的体积是100π立方厘米。 23. 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度比是8∶5，两人相遇后继续行进，甲到达B地、乙到达A地后立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点120千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】260千米 【解析】 【分析】根据甲乙的速度比为8∶5；第一次相遇时，知道两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的×3，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2－×3，再根据两人两次相遇地点之间相距120千米，可以求出两地的距离。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（千米） 答：则A、B两地相距260千米。 【点睛】解答此题的关键是，根据速度比，找出两人两次相遇地点之间相距120千米所对应的分数，由此用对应的数除以对应的分数就是单位“1”即要求的数。 24. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1＋2＋3＋…＋n＝？经过研究，这个问题的结论是，（n是正整数）。 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＝？ 观察下面三个特殊的等式，并且填空： ，， ①__________________ 将前两个等式的两边相加，可以得到 将三个等式的两边相加，可以得 根据以上知识完成填空： ②计算__________________ ③计算：1×2＋2×3＋…＋10×11＝__________________ ④计算：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝__________________ ⑤依据上面的材料，试计算：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋10×11×12； ⑥猜想：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n（n＋1）（n＋2）＝__________________ 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 【解析】 【分析】观察已知的特殊等式，总结出两个连续自然数相乘的求和规律：将每一项拆为两个相邻三个数乘积的差的，相加后中间项相互抵消，只需计算首尾项。再类比该规律，推导三个连续自然数相乘的求和方法：将每一项拆为两个相邻四个数乘积的差的，同样用抵消法计算。 【详解】①根据前三个等式的规律，，当时： ②将前4个等式两边分别相加： 中间项全部抵消，得： 所以横线上填。 ③根据上述规律，加到时： ④归纳可得，加到时： ⑤类比两个数相乘的裂项方法，三个连续自然数相乘可拆为： 将到的等式相加，中间项全部抵消，得： ⑥根据⑤的规律，猜想加到时： 25. 已知n号小正方体的六个面都标有数字n，在图1的基础上，将2号小正方体与1号小正方体相邻堆积，得到图2；再将3号小正方体与2号小正方体相邻堆积，得到图3；……按这样的方式堆积成图5所示的大长方体。 （1）若底面为第1层，那么图5中第3层12个小正方体的编号（共12个）之和是______？ （2）在图5的基础上拿掉一些小正方体，得到如图6所示的立体图形，该立体图形表面（含底面）上的所有数字之和是？ 【答案】（1）66 （2）322 【解析】 【分析】（1）第三层是一个长是4，宽是3的长方形。根据图中的规律得出每个小正方体上面的数字（如下图所示），再相加即可。 （2）根据题目规律将每个小正方体的编号列出来（如下图），分别从不同的角度看，再将不同角度的数字相加即可。 【小问1详解】 （1）12个小正方体的编号是 【小问2详解】 根据题意可标数如图： 从上面看： 从正面看：4＋5＋6＋5＋5＋5＋6＋4＋5＋6＋6＋3＋4＋5＋6＝75； 从左边看： 从右边看： 从后面看：1＋2＋3＋4＋2＋3＋4＋5＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6＝57； 从下面看： 所有数字之和： 答：该立体图形表面（含底面）上的所有数字之和是322。 26. 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 （1）试分析：有几种可能的方案？ （2）如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） 3种 （2） 安排15辆汽车装运甲种蔬菜，3辆装运乙种蔬菜，2辆装运丙种蔬菜时可获得最大利润，最大利润是183百元。 【解析】 【分析】（1）假设全装甲，算出理论总吨数，得到和实际36吨的差值；然后计算替换车辆时每换乙、丙分别能减少的吨数，通过总需要减少的4吨，枚举所有正整数的车辆组合，再筛选出所有满足三种蔬菜车辆数都大于等于1的有效方案，得到方案总数。 （2）分别计算每个方案的总利润，对比后得到最大利润对应的装运安排。 【小问1详解】 假设20辆车全部装运甲种蔬菜，计算总装载吨数：20×2＝40（吨） 计算超出实际总吨数的部分：40－36＝4（吨） 每把1辆装甲的车换成装乙的车，总吨数减少： 2－1＝1（吨） 每把1辆装甲的车换成装丙的车，总吨数减少：2－1.5＝0.5 （吨） 要总共减少4吨，且乙、丙的车辆数都为正整数，可得所有符合要求的组合： 第一种组合：换1辆车装乙，换6辆车装丙，剩余车辆装甲：20－1－6＝19－6＝13（辆） 第二种组合：换2辆车装乙，换4辆车装丙，剩余车辆装 甲：20－2－4＝18－4＝14 （辆） 第三种组合：换3辆车装乙，换2辆车装丙，剩余车辆装 甲：20－3－2＝17－2＝15 （辆） 所有组合都满足每种蔬菜不少于1车的要求，因此总共有3种可能的方案。 【小问2详解】 第一种方案的总利润：13×2×5＋1×1×7＋6×1.5×4＝130＋7＋36＝173（百元） 第二种方案的总利润：14×2×5＋2×1×7＋4×1.5×4＝140＋14＋24＝178（百元） 第三种方案的总利润：15×2×5＋3×1×7＋2×1.5×4＝150＋21＋12＝183（百元） 对比三个方案的利润：173<178<183 答：安排15辆汽车装运甲种蔬菜，3辆装运乙种蔬菜，2辆装运丙种蔬菜时可获得最大利润，最大利润是183百元。 27. 一个各数位上的数字均不为零的四位自然数M，若千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，则称M为“和对称数”。例如：四位数9641，∵9＋1＝6＋4，∴9641是“和对称数”；四位数1322，∵1＋2≠3＋2，∴1322不是“和对称数”。把M的各个数位上的数字的和记为F（M），记 （1）判断3423与1423是否为“和对称数”并说明理由； （2）设：（1≤a≤5）是“和对称数”，且F（M）与G（M）均是9的倍数，求出所有满足条件的M。 【答案】（1） 3423是“和对称数”，1423不是“和对称数”。理由：3423的千位数字与个位数字的和为，百位数字与十位数字的和为，两者相等，因此3423是“和对称数”；1423的千位数字与个位数字的和为，百位数字与十位数字的和为，两者不相等，因此1423不是“和对称数”。 （2） 所有满足条件的为1638、2367、4635、5364。 【解析】 【分析】先分别提取两个四位数的千位、个位、百位、十位数字，再根据“和对称数”的定义，验证千位数字加个位数字是否等于百位数字加十位数字，即可判断。 对于第二小问，首先将M用数位表示为，结合“和对称数”的条件得到，由此可推导的表达式，再结合是9的倍数的条件，得到的取值。 代入的公式化简，结合是9的倍数的条件，得到关于数位数字的新约束，再结合且各数位数字不为零的范围，枚举所有符合条件的组合即可。 【小问1详解】 对3423：千位数字3+个位数字3=6，百位数字4+十位数字2=6，两者相等，符合“和对称数”的定义。 对1423：千位数字1+个位数字3=4，百位数字4+十位数字2=6，4≠6，不符合定义。 【小问2详解】 四位数可以写成 数位和，代入G(M)的公式：  利用“和对称数”的条件：千位+个位=百位+十位，也就是所以数位和 题目说F(M)是9的倍数，2乘一个数是9的倍数，说明本身是9的倍数。 因为所有数位都不为0，且千位a在1~5之间，个位d是1~9的非零数，最大是5+9=14，不可能等于18，所以只能是，同时也能得到。 再看G(M)是9的倍数： 把代入G(M)，得到 9本身是9的倍数，所以只要是9的倍数就可以。 我们知道一个数除以9的余数等于它各位数字和除以9的余数：111各位和是1+1+1=3，所以111a除以9余3a；10除以9余1，所以10b除以9余b。要让是9的倍数，就需要是9的倍数。 逐个试符合要求的数： a是1~5，b是1~8（因为不能为0），的结果只能是9或者18（太小不够4，太大超过23）： 当时：a=1得b=6，对应c=3，d=8，得到1638；a=2得b=3，对应c=6，d=7，得到2367；a=3得b=0不符合数位不为0的要求。 当时：a=4得b=6，对应c=3，d=5，得到4635；a=5得b=3，对应c=6，d=4，得到5364；a≥6不符合a≤5的要求。 这四个数全部满足所有条件。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月渝八中学校小升初自主招生 数学 一、填空题。（本大题共17空，前11空每空2分，后6空每空3分，共40分） 1. 在方框里填入同一个数，使等式成立。□里应填______。 2. 把18克糖完全溶解在81克水中，糖的质量与糖水总质量的最简单的整数比是______；如果往这杯糖水中再加入54克水，要使糖水的浓度保持不变，还需要加入______克糖。 3. 用小棒摆图形，按照下图中的规律摆下去，第10个图形用了（ ）根小棒，第（ ）个图形用了98根小棒。 4. 正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么下图中符合要求的格点C共有______个。 5. 我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”（如下图）。根据图中规律，第九行正中间的数是______。 6. 求除以7的余数是______。 7. 将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最少的盒子里最多有______个乒乓球。 8. 牧场上有一片草每天都生长得一样快。这片草供给10头牛吃，可以吃22天；供给16头牛吃，可以吃10天。如果5天内把草吃光，需要______头牛？ 9. 如下图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为______。 10. 国庆期间，山西的特大暴雨，牵动了全国人民的心。山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡、路面冲毁、屋舍农田被淹。解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，第一队原来有______人？ 11. 图书馆甲、乙两个书架上都摆放了一些图书。甲书架比乙书架多48本图书。管理员将甲书架图书的移到乙书架后，两个书架的图书本数同样多。甲、乙两个书架原来共有图书为______本。 12. 王师傅和张师傅合作加工1740个零件，他俩加工3小时后，张师傅有事离开，2小时后张师傅又赶回来继续加工，再过1小时他们完成了任务。已知王师傅每小时比张师傅多加工20个零件，王师傅每小时加工______个。 13. 某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有______名？ 14. A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回。上午10时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的多9千米。甲一共行了______千米？甲的速度是______千米/时？ 15. 一口枯井，一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口，在井口停30分钟又从井口爬到井底，停留30分钟后，又从井底爬到井口，……，如此不断地爬上爬下，每爬一个单程都用45分钟。另有一只蚂蚁，上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行，如果它每爬行一个单程都用15分钟，那么，到当日下午4时，它们一共相遇了______次（不包括开始的一次）？ 二、计算题，写主要步骤和结果。（本题共6小题，每小题3分，共18分） 16. 17. 18. 19. 20. 21. 三、解决问题，写主要步骤和结果。（本大题共6小题，每小题各5－10分，共42分） 22. 一个装水的圆柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米。（结果保留π） （1）求不规则铁块的体积； （2）把铁块取出，加工成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ （3）把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有铁块高的露出水面，如果再把铁块垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 23. 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度比是8∶5，两人相遇后继续行进，甲到达B地、乙到达A地后立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点120千米，则A、B两地相距多少千米？ 24. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1＋2＋3＋…＋n＝？经过研究，这个问题的结论是，（n是正整数）。 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＝？ 观察下面三个特殊的等式，并且填空： ，， ①__________________ 将前两个等式的两边相加，可以得到 将三个等式的两边相加，可以得 根据以上知识完成填空： ②计算__________________ ③计算：1×2＋2×3＋…＋10×11＝__________________ ④计算：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝__________________ ⑤依据上面的材料，试计算：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋10×11×12； ⑥猜想：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n（n＋1）（n＋2）＝__________________ 25. 已知n号小正方体的六个面都标有数字n，在图1的基础上，将2号小正方体与1号小正方体相邻堆积，得到图2；再将3号小正方体与2号小正方体相邻堆积，得到图3；……按这样的方式堆积成图5所示的大长方体。 （1）若底面为第1层，那么图5中第3层12个小正方体的编号（共12个）之和是______？ （2）在图5的基础上拿掉一些小正方体，得到如图6所示的立体图形，该立体图形表面（含底面）上的所有数字之和是？ 26. 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 （1）试分析：有几种可能的方案？ （2）如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 27. 一个各数位上的数字均不为零的四位自然数M，若千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，则称M为“和对称数”。例如：四位数9641，∵9＋1＝6＋4，∴9641是“和对称数”；四位数1322，∵1＋2≠3＋2，∴1322不是“和对称数”。把M的各个数位上的数字的和记为F（M），记 （1）判断3423与1423是否为“和对称数”并说明理由； （2）设：（1≤a≤5）是“和对称数”，且F（M）与G（M）均是9的倍数，求出所有满足条件的M。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $