精品解析：重庆市沙坪坝区五云实验学校2025-2026学年人教版六年级下学期4月4日小升初自主招生数学

2026年重庆市沙坪坝区五云南开4月4日小升初自主招生数学 一、选择题。（每小题2分，共10分） 1. 把一根绳子剪成两段，第一段长m，第二段占全长的，两段相比，（ ）。 A. 第一段长 B. 第二段长 C. 一样长 D. 无法确定 2. 如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（ ）。 A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 3. 如图所示，一个圆柱体高8 ，底面半径2 ，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路径（π取3）是（ ）。 A. 12 B. 10 C. 20 D. 无法确定 4. 已知关于x的整式pxnxn-1，其中n，a0，a1，…，an均为自然数，且a0＜a1＜…＜an≤4，以下说法： ①若a1＝n＝1，则方程p（x）＋2＝0的解为x＝2； ②若n＝2，且方程p（x）＋1＝a0有两个不等实根，则a0＋a1＋a2的最大值为9； ③若p（x）为整系数多项式，则这样的p（x）有19个。 其中正确的个数是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 把2个相同的红球，3个相同的蓝球，4个相同的黄球排成一行，共有（ ）种不同的排法。（中心对称的算一种） A. 636 B. 637 C. 638 D. 639 二、填空题。（每小题3分，共30分） 6. 把两个自然数A和B分解质因数：A＝2×3×a，B＝2×a×7，已知A、B的最大公约数是6，则两数的最小公倍数是（ ）。 7. 已知某班男生人数的与女生人数的相等，这个班的男生与女生人数的最简整数之比是（ ）。 8. 小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分。这一次是第（ ）次考试。 9. A、B、C三人各有糖若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的糖数等于B、C原来各有的糖数，依同法再由B给A、C现有的糖数，最后由C给A、B现有糖数，互送后每人恰好各有64粒。则原来C有糖（ ）粒。 10. 有4个数字a、b、c、d，可以组成24个没有重复数字的三位数。这些三位数的和是16650，那么用这4个数字组成的4位数最大可以是（ ）。 11. 有两根绳子，如果两根绳子都剪掉同样的长度，剩下的长度比为2∶1。如果把剩下的两根绳子再剪掉与上次剪掉的同样的长度，那么最后剩下的长度比是3∶1。原来两根绳子的长度比是（ ）。 12. 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃（ ）天。 13. A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水，把某种浓度的盐水10克倒入A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%，则开始倒入试管A中的盐水浓度是（ ）。 14. 一长度为24米的线段能折叠成（ ）种三边均为整数的三角形。 15. 图中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要（ ）分钟。（写成分数形式） 三、计算题。（每题4分，共24分） 16. 计算题。 ×（7.75÷－3.375＋9.25×3） 51×＋71×＋91÷ 17. 定义新运算：a⊙b＝2a＋3b－1，若3⊙（x⊙2）＝68，求x的值，写出运算过程。 18. 如果x＝5是方程的解，求m的值。 四、解答题。（共36分） 19. 一种笔记本售价为每本20元，甲、乙、丙三个商店为了促销，开展了不同的优惠活动。 刘老师打算买62个笔记本奖励新学期在班级各方面表现好的学生，请你通过计算，帮刘老师做出决定到哪家店买比较合算？ 店名 优惠方式 甲店 买十本送二本 乙店 总价打八折 丙店 买笔记本满 100 元返还现金22元 20. 某商店将一批水果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购买。后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。那么第二次降价后的价格是原定价的百分之几？ 21. 甲、乙两个港口相距400千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20小时可到达乙港。已知顺水船速是逆水船速的2倍。有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时，轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？ 22. 有一位贵妇人，每星期天上午都要对穷人进行施舍一天，她暗示这些穷人，如果伸手要钱的人能减少5名，那么每人就可以多得 2 美元，于是每个人尽力劝说别人走开。然而，下一个星期天上午，非但穷人不少，还新来了4个乞丐，结果她们每人都少拿了1美元。假定这位贵夫人每星期都施舍同样数量的钱，那么这笔钱有多少美元？ 23. 一次考试共有5道题。考试结果统计如下。 做对第一道题的占总人数的80%，做对第二道题的占总人数的95%，做对第三道题的占总人数的 85%，做对第四道题的占总人数的79%，做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 24. 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为。如＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即＝3）。一般地，若＝b（a≠0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为＝n），如＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4） 问题： （1）计算以下各对数的值：，，。 （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？，之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）的结论你能归纳出一个一般性结论吗？ ＋＝（ ）。（a＞0，M＞0，N＞0） 25. 如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定F，将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定G。 （1）若S＝4131，则F（S）一G（S）＝（ ）。 （2）若T＝1000x＋110y＋17＋x（4≤x≤9，1≤y≤7，x，y为整数），满足则满足条件的所有T的和为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆市沙坪坝区五云南开4月4日小升初自主招生数学 一、选择题。（每小题2分，共10分） 1. 把一根绳子剪成两段，第一段长m，第二段占全长的，两段相比，（ ）。 A. 第一段长 B. 第二段长 C. 一样长 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】题干中第一段的m是具体数量，第二段的是分率。将这根绳子的全长看作单位“1”，求出第一段占全长的分率，再比较两段占全长的分率大小，分率大的对应的长度就长。 【详解】第一段占全长的分率为：； ，第二段长。 2. 如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（ ）。 A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】在平行四边形ABCD中，AB//CD，两直线平行，内错角相等，所以∠E＝∠DCE。又因CE平分∠BCD，所以∠DCE=∠BCE，由此可知∠E＝∠BCE，所以△BCE是等腰三角形，继而利用AE＝BE－AB，求得答案。 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC＝AD＝5 由分析知，△BCE是等腰三角形 所以BE＝BC＝5 因为AB＝3 所以AE＝ BE－AB＝5－3＝2 3. 如图所示，一个圆柱体高8 ，底面半径2 ，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路径（π取3）是（ ）。 A. 12 B. 10 C. 20 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】圆柱侧面展开成长方形，两点之间线段最短。圆柱高8，底面半径2。A点在左下角，B点在右上角，并且A是下底面圆周上一点，B是上底面圆周上一点，且B和A在对角位置，即A和B的连线经过圆柱中心，且绕过半个侧面。展开后，A和B的水平距离为半周长，垂直距离为高。用勾股定理求斜边。 【详解】底面周长：2×3×2＝12； 12÷2＝6 最短路径 4. 已知关于x的整式pxnxn-1，其中n，a0，a1，…，an均为自然数，且a0＜a1＜…＜an≤4，以下说法： ①若a1＝n＝1，则方程p（x）＋2＝0的解为x＝2； ②若n＝2，且方程p（x）＋1＝a0有两个不等实根，则a0＋a1＋a2的最大值为9； ③若p（x）为整系数多项式，则这样的p（x）有19个。 其中正确的个数是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①根据给定条件确定多项式的具体形式，解方程验证解是否正确；②根据方程有两个不等实根的条件，利用根的判别式确定系数关系，结合自然数约束求和的最大值；③根据整系数多项式的定义，确定系数需满足的整除条件，结合自然数大小关系分类讨论计数。最后统计正确说法的个数。 【详解】①若，则。因为且为自然数，所以，即。所以。方程即为，解得。题干中说法解为，与计算结果不符，此选项错误； ②若，则。方程整理得。因为方程有两个不等实根，所以二次项系数且判别式。即，且，所以。已知，且均为自然数。要使最大，应尽可能取较大的和。当时，，且，所以。此时，最大取。此时。若，则，且，无解。所以最大值为9，此选项正确； ③若为整系数多项式，则每一项的系数均为整数，即整除。已知。当时，，。时，（1个）；时，（2个）；时，（3个）；时，（4个）。共个。当时，，，。可取2,4。若，则，（1个）。若，则可取1,2,3。时，（1个）；时，（2个）；时，（3个）。共个。当时，，，，。只能取（1个）。当时，，，，，。只能取（1个）。综上，共有个，此选项正确。 5. 把2个相同的红球，3个相同的蓝球，4个相同的黄球排成一行，共有（ ）种不同的排法。（中心对称的算一种） A. 636 B. 637 C. 638 D. 639 【答案】A 【解析】 【分析】先计算所有球任意排列的总数，再找出其中自身中心对称（即正读反读相同）的排列数。根据题意，互为中心对称的两种排法算作一种，而非中心对称的排法每两种合并为一种，自身中心对称的排法单独算一种。因此，不同排法总数等于（总排列数＋中心对称排列数）除以 2。 【详解】总球数为（个），其中红球2个相同、蓝球2个相同、黄球2个相同。计算公式为总排列数除以各同色球内部的全排列数： （种） 中心排列数：左边4个位置（第1－4位）放1红、1蓝、2黄，排列数为，右边对称确定，中间固定为蓝球。 根据对称性原理，不同排法共有： （种） 二、填空题。（每小题3分，共30分） 6. 把两个自然数A和B分解质因数：A＝2×3×a，B＝2×a×7，已知A、B的最大公约数是6，则两数的最小公倍数是（ ）。 【答案】126 【解析】 【分析】两个数的最大公约数是两个数共有的质因数的积，两个数的最小公倍数是两个数共有的质因数与独有的质因数的积，已知A、B的共有质因数是2、a，最大公约数是6，所以，求得a＝3，所以A、B的共有的质因数是2、3，A的独有的质因数是3，B的独有的质因数是7。 【详解】，， A、B的最小公倍数： 7. 已知某班男生人数的与女生人数的相等，这个班的男生与女生人数的最简整数之比是（ ）。 【答案】14∶11 【解析】 【分析】由题意知，男生人数×＝女生人数×，根据比例的基本性质和比的基本性质化简比，即可求出男生人数与女生人数的比。 【详解】男生人数:女生人数 ＝∶ ＝（×77）∶（×77） ＝42∶33 ＝（42÷3）∶（33÷3） ＝14∶11 8. 小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分。这一次是第（ ）次考试。 【答案】8 【解析】 【分析】最后一次是100分，最后平均成绩达到86分，说明从100分中一共拿出（分）给前几次平均分，原来平均成绩是84分，现在平均成绩是86分，说明前几次每次分得（分），14分一共分成（次），所以最后一次100分是第（次）考试。 【详解】 （次） 9. A、B、C三人各有糖若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的糖数等于B、C原来各有的糖数，依同法再由B给A、C现有的糖数，最后由C给A、B现有糖数，互送后每人恰好各有64粒。则原来C有糖（ ）粒。 【答案】32 【解析】 【分析】糖在三人数次互相赠送后最终相等，都是64粒。经过题中所说的这种操作前后，送出糖的人糖数会减去另外两人糖数之和，另外两人糖数各翻倍。因为最终状态已知，我们可以从最后一次赠送往前一步步逆推。最后是C给A和B，使三人最后都是64。往前推一步，就是C给出前，A和B的糖数都是最后的一半，C的糖数是最后加上给出的。同理再往前推两步，求出最初A、B、C的糖数。 【详解】根据分析，从后往前逆推： 步骤 A B C 最终 64 64 64 C给前 64÷2＝32 64÷2＝32 64＋32＋32＝128 B给前 32÷2＝16 32＋16＋64＝112 128÷2＝64 A给前（最初） 16＋56＋32＝104 112÷2＝56 64÷2＝32 计算如表所示，原来C有糖32粒。 10. 有4个数字a、b、c、d，可以组成24个没有重复数字的三位数。这些三位数的和是16650，那么用这4个数字组成的4位数最大可以是（ ）。 【答案】9871 【解析】 【分析】根据题意，4个数字取3个拼三位数，可以组成24个没有重复数字的三位数， 如数字a固定放在百位，剩下还有b、c、d三个数字，要挑2个分别放十位、个位。 剩下3个数字排两个位置：十位有3种选择，个位剩2种，3×2＝6（种），也就是a在百位能组成6个三位数：abc、abd、acb、acd、adb、adc， 让a出现在十位：百位从另外3个数字选1个，个位从剩下 2 个选1个，3×2＝6（种）； 让a出现在个位：百位、十位从另外3个数字选2个排，3×2＝6（种）； 不只是数字a，b、c、d 这三个数字也是完全一样的规律： 因此，a、b、c、d每个数字，在百位出现6次、十位6次、个位6次。 每个数字在百位出现6次，百位代表几百，所以百位全部数字加起来＝6×（a＋b＋c＋d）×100 每个数字在十位出现6次，十位代表几十，十位全部数字加起来＝6×（a＋b＋c＋d）×10 每个数字在个位出现6次，个位代表几个，个位全部数字加起来＝6×（a＋b＋c＋d）×1 24个三位数总和16650，把三部分相加，就能算出四个数字加的总和，再找数字拼最大四位数。 要组成最大四位数，优先挑选大数字，保证四个数字相加等于算出的总和，再从大到小排列数字。 注意：由于4个数字a、b、c、d，可以组成24个没有重复数字的三位数，因此a、b、c、d本身也不会重复。 【详解】结合分析， 所有三位数相加＝百位全部数字和×100＋十位全部数字和×10＋个位全部数字和×1 设四个数字相加的总和S＝a＋b ＋c＋d 16650＝6×S×100＋6×S×10＋6×S×1 16650＝6×S×（100＋10＋1） 16650＝6×S×111 16650＝666×S S＝16650÷666 S＝25 想要四位数尽可能大，千位选最大数字9： 剩下3个数字总和：25－9＝16 再选次大数字8：剩余和：16－8＝8 再选数字7：剩余和：8－7＝1，最后一个数字是1 四个数字：9、8、7、1 把数字从大到小依次放在千、百、十、个位得到最大四位数9871。 11. 有两根绳子，如果两根绳子都剪掉同样的长度，剩下的长度比为2∶1。如果把剩下的两根绳子再剪掉与上次剪掉的同样的长度，那么最后剩下的长度比是3∶1。原来两根绳子的长度比是（ ）。 【答案】5∶3 【解析】 【分析】第一次剪掉同样长度后，两根剩下的长度比是2∶1，我们把这时候两根剩下的长度分别看成2份、1份。把这个相同的剪掉长度设为1小份：第二次剪完后，第二根剩下的长度＝第一次剪完第二根的长度－1小份；第二次剪完后，第一根剩下的长度＝第一次剪完第一根的长度－1小份，这两个剩下的长度比是3∶1，代入第一次的2份、1份，就能算出：（2份－1小份）∶（1份－1小份）＝3∶1，根据比例的基本性质，可算出来1份就等于2个小份。由此可知原来第一根和第二根的长度分别是多少，进而求出原来两根长度的比。 【详解】设每次减掉的长度为1小份。 （2份－1小份）∶（1份－1小份）＝3∶1 3×（1份－1小份）＝1×（2份－1小份） 3份－3小份＝2份－1小份 3份－2份＝3小份－1小份 1份＝2小份 原来第一根长为：2份＋1小份＝4小份＋1小份＝5小份 原来第二根长为：1份＋1小份＝2小份＋1小份＝3小份 所以原来两根绳子的长度比为5∶3。 12. 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃（ ）天。 【答案】40 【解析】 【分析】假设每只羊每天吃1份草，38只羊，25天吃38×25＝950份，30只羊30天吃30×30＝900份，相差950－900＝50份，就是5天枯萎的；每天枯萎50÷5＝10份，原来牧场有的草总量为30只羊吃得掉的加枯萎的。30×30＋30×10＝1200份，再用总量除以每天枯萎草的数量和20只羊吃的数量和，即可求出可以吃几天。 【详解】草的减少速度即每天枯萎的份数为： （38×25－30×30）÷（30－25） ＝（950－900）÷5 ＝50÷5 ＝10（份） 原来草的份数为： 30×30＋10×30 ＝900＋300 ＝1200（份） 那么草地每天枯萎的草够10只羊吃一天，如果放20只羊，那么每天减少20＋10＝30（份） 这样可以吃的天数为：1200÷30＝40（天） 【点睛】牛吃草的问题，要考虑草的生长，但本题是进入冬季，所以草是逐渐枯萎，本题需要注意的是草每天的枯萎量。 13. A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水，把某种浓度的盐水10克倒入A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%，则开始倒入试管A中的盐水浓度是（ ）。 【答案】12% 【解析】 【分析】盐水从一个试管倒入另一个试管，每次都是取出部分混合液再倒入下一个，浓度逐步降低。已知最后C试管中盐水的浓度，要求最初倒入A的盐水浓度。这种问题要从后往前逆推。每次混合时，倒入的溶液和试管中原有的水混合，浓度变为倒入溶液浓度乘以倒入溶液质量占总质量的比例。反过来推，就是已知混合后浓度，求混合前浓度，用比例除回去即可。 【详解】第二步操作： 40×0.5%÷10 ＝4×0.5% ＝2% 第一步操作： 30×2%÷10 ＝3×2% ＝6% 最初浓度： 20×6%÷10 ＝2×6% ＝12% 答：开始倒入试管A中的盐水浓度是12%。 14. 一长度为24米的线段能折叠成（ ）种三边均为整数的三角形。 【答案】12 【解析】 【分析】线段长24米，要折成三边均为整数的三角形，且三边之和等于24。三角形需满足任意两边之和大于第三边。设三边为a、b、c，且a≤b≤c，则a＋b＋c＝24，c＜12（因为c＜a＋b，且a＋b＝24－c，所以c＜12）。又因为c是最大边，c≥24÷3＝8。所以c可以从8取到11。对每个c，找出满足a≤b≤c且a＋b＝24－c的整数对（a，b）的个数，注意去掉重复的，数一数总数。 【详解】设三角形三边长为a、b、c（米），且a≤b≤c，均为整数。 周长a＋b＋c＝24。 根据三角形三边关系，a＋b＞c： 24－c＞c 2c＜24 c＜12。 又c是最大边，所以c≥24÷3＝8。 因此c可能是8、9、10、11。 分类讨论： 当c＝8时，a＋b＝16。由a≤b≤8，得b≤8，a＝16－b。 b可取8：a＝8。一种：（8，8，8）。 当c＝9时，a＋b＝15。a≤b≤9，b≥15÷2＝7.5，所以b＝8或9。 b＝8，a＝7：（7，8，9），满足； b＝9，a＝6：（6，9，9），满足； 共2种。 当c＝10时，a＋b＝14。a≤b≤10，b≥7。 b＝7，a＝7：（7，7，10） b＝8，a＝6：（6，8，10） b＝9，a＝5：（5，9，10） b＝10，a＝4：（4，10，10） 共4种。 当c＝11时，a＋b＝13。a≤b≤11，b≥6.5。 b＝7，a＝6：（6，7，11） b＝8，a＝5：（5，8，11） b＝9，a＝4：（4，9，11） b＝10，a＝3：（3，10，11） b＝11，a＝2：（2，11，11） 共5种。 总数：1＋2＋4＋5＝12（种）。 15. 图中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要（ ）分钟。（写成分数形式） 【答案】114## 【解析】 【分析】钟表行程问题，分针80分钟一圈，时针速度是分针的。求从重合到第三次成直角的时间。分针速度为圈/分，时针速度为圈/分，速度差为圈/分。第三次成直角时分针比时针多走圈。时间＝多走圈数÷速度差。 【详解】速度差： 圈/分 第三次成直角时分针领先时针的圈数： 第一次直角：圈 第二次直角：圈 第三次直角：圈 所需时间： （分钟） 三、计算题。（每题4分，共24分） 16. 计算题。 ×（7.75÷－3.375＋9.25×3） 51×＋71×＋91÷ 【答案】；297；12；123 【解析】 【分析】观察每个算式的分母都是2的倍数，可将原式先变形为，再将变形后的每一个分数拆分为（） 形式，进行裂项求和。据此解答。 先化简每一项，由分子可得＝＝＝，＝＝＝3＋，据此解答。 先将小数转化成分数，带分数转化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算。 先将带分数转化成整数加真分数，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋＋…＋） ＝×（1－＋－＋－＋－＋…＋－） ＝×（1－） ＝× ＝ ＝3＋＋3＋＋……＋3＋ ＝99×3－＋1 ＝297＋ ＝297 ×（7.75÷－3.375＋9.25×3） ＝×（7.75×－3.375＋9.25×3） ＝×（×－＋×） ＝××（－＋） ＝××16 ＝12 51×＋71×＋91÷ ＝51×＋71×＋91× ＝（50＋）×＋（70＋）×＋（90＋）× ＝50×＋×＋70×＋×＋90×＋× ＝30＋1＋40＋1＋50＋1 ＝123 17. 定义新运算：a⊙b＝2a＋3b－1，若3⊙（x⊙2）＝68，求x的值，写出运算过程。 【答案】x＝8 【解析】 【分析】根据新运算符号⊙代表的运算规则：a⊙b＝2a＋3b－1，先将（x⊙2）转化，（x⊙2）＝2x＋3×2－1＝2x＋5，再将3⊙（2x＋5）转化，3⊙（2x＋5）＝2×3＋3×（2x＋5）－1＝6x＋20，代入原等式中，求出x的值。 【详解】x⊙2＝2x＋3×2－1 ＝2x＋5 3⊙（2x＋5）＝2×3＋3×（2x＋5）－1 ＝6x＋20 解：原式＝6x＋20＝68 6x＝48 x＝8 18. 如果x＝5是方程的解，求m的值。 【答案】m＝3 【解析】 【分析】已知方程的解是x＝5，可以把x＝5代入原方程，得到一个关于m的方程，然后解出m。方程中可能含有分数，代入后要注意通分和运算顺序，再用等式的基本性质1、2一步步把m求出来。 【详解】将x＝5代入原方程： ＋＝ ＋＝，两边同乘12消去分母得： 9＋（5－m）×4＝17 9＋20－4m＝17 4m＝9＋20－17 4m＝12 m＝3 四、解答题。（共36分） 19. 一种笔记本售价为每本20元，甲、乙、丙三个商店为了促销，开展了不同的优惠活动。 刘老师打算买62个笔记本奖励新学期在班级各方面表现好的学生，请你通过计算，帮刘老师做出决定到哪家店买比较合算？ 店名 优惠方式 甲店 买十本送二本 乙店 总价打八折 丙店 买笔记本满 100 元返还现金22元 【答案】丙店买比较合算 【解析】 【分析】“买十本送二本”买50本，可以送10本，所以买62本只需要付52本的钱，用单价×数量＝总价，可以求出实际付的钱数； “总价打八折”说明实际付的钱是原价的80%，可以先算出62本的总价后乘80%可得实际付的钱； 先算出62本的总价，再看总价中最多有几个100，返现的钱就是几个22元，从总价中减去一共返回的钱等于实际付的钱 【详解】甲：（本） 在甲店实际付：（元） 乙：八折＝80% 在乙店实际付：（元） 丙：（元） 1240元里最多有12个100元 在丙店实际付（元） 1040＞992＞976 答：在丙店买比较合算。 20. 某商店将一批水果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购买。后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。那么第二次降价后的价格是原定价的百分之几？ 【答案】62.5% 【解析】 【分析】这道利润问题涉及多次降价和不同销量比例，我们设辅助量表示成本和原定价，再根据总利润关系求出第二次降价后的售价占原定价的百分比。题目中给出了每次的销量占比和利润百分比，把成本看作单位“1”，然后一步步算出各部分利润，最后建立方程求出第二次降价后的利润率，再换算成占原定价的百分比。 【详解】设：第二次降价后按a%的利润定价。 38%×40%＋（1－40%）×a%＝100%×30.2% 0.38×0.4＋0.6×a%＝0.302 0.152＋0.6×a%＝0.302 0.6×a%＝0.302－0.152 0.6×a%＝0.15 a%＝0.15÷0.6 a%＝0.25 a＝25 此时定价：1＋25%＝125% 125%÷200%＝62.5% 答：第二次降价后的价格是原定价的62.5%。 21. 甲、乙两个港口相距400千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20小时可到达乙港。已知顺水船速是逆水船速的2倍。有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时，轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？ 【答案】120千米 【解析】 【分析】要求轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米，先要求出反向航行一段距离顺水时用的时间；根据“路程÷时间＝速度”可以先算出顺水速度；然后根据题意得出逆水行驶的速度，进而得出顺水速度和逆水速度的比；然后根据题意“结果晚到9小时”，列式求出反向航行一段距离顺水时用的时间，分析解答得出结论。 【详解】400÷20＝20（千米） 20÷2＝10（千米） 9÷（2＋1） ＝9÷3 ＝3（小时） 比正常情况多行驶的路程： 20×3×2 ＝60×2 ＝120（千米） 答：轮船的这次航行比正常情况多行驶了120千米。 22. 有一位贵妇人，每星期天上午都要对穷人进行施舍一天，她暗示这些穷人，如果伸手要钱的人能减少5名，那么每人就可以多得 2 美元，于是每个人尽力劝说别人走开。然而，下一个星期天上午，非但穷人不少，还新来了4个乞丐，结果她们每人都少拿了1美元。假定这位贵夫人每星期都施舍同样数量的钱，那么这笔钱有多少美元？ 【答案】120美元 【解析】 【分析】贵妇人每次施舍的总钱数不变，减少5人，其他人得到的钱则增加2美元，其他人多得的总数是减少的5人应得到钱，即可计算出原有每人得多少美元；增加4人，其他人得到的钱数减少1美元，其他人减少的总数是增加4人得到的钱，即减少1美元后，每人得到的钱，根据新来4人后，每人少拿1美元列出算式求解。 【详解】解：设原来要施舍的穷人有x人 原来每人得到的钱数：20×1÷4＋1＝5＋1＝6（美元） 总钱数：20×6＝120（美元） 答：这笔钱有120美元。 【点睛】盈亏问题，重点在总钱数不变，但每人得的钱数有变化。 23. 一次考试共有5道题。考试结果统计如下。 做对第一道题的占总人数的80%，做对第二道题的占总人数的95%，做对第三道题的占总人数的 85%，做对第四道题的占总人数的79%，做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 【答案】71% 【解析】 【分析】要使及格率最少，则不及格率最高，即不及格人数最多，当所有错题都是正好每人错三题时，及格率最少。假设总人数是100人，先把总人数看作单位“1”，根据题意可知，做错第一道题的占总人数的（1－80%），做错第二道题的占总人数的（1－95%），做错第三道题的占总人数的（1－85%），做错第四道题的占总人数的（1－79%），做错第五道题的占总人数的（1－74%），根据百分数乘法的意义，分别用100×（1－80%）、100×（1－95%）、100×（1－85%）、100×（1－79%）、100×（1－74%）即可求出每道题错误量，再将所有错误量相加，即可求出所有错误的总题数，每人错三道刚好即可，也就是用所有错误的总题数除以3，即可求不及格的总人数，根据及格率＝及格人数÷总人数×100%，代入数据即可求出及格率。 【详解】设：总人数为100人。 做错1题： 做错2题： 做错3题： 做错4题： 做错5题： 总错题：（道） 不及格人数：（人） 及格人数：（人） 答：及格率至少是71%。 24. 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为。如＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即＝3）。一般地，若＝b（a≠0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为＝n），如＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4） 问题： （1）计算以下各对数的值：，，。 （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？，之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）的结论你能归纳出一个一般性结论吗？ ＋＝（ ）。（a＞0，M＞0，N＞0） 【答案】（1）2；4；6 （2）4×16＝64；＝ （3）## 【解析】 【分析】根据材料定义，若，则。我们把n叫作真数。需要找到 2 的多少次方分别等于 4、16、64。观察真数（4、16、64）之间的乘法关系，再对应观察对数值之间的加法关系。 将具体的数字关系推广到字母表示的一般形式，即同底对数相加，真数相乘。 【小问1详解】 根据材料定义：若，则。 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以。 【小问2详解】 观察真数之间的关系： 观察对应的对数值之间的关系：，， 因为 所以。 【小问3详解】 由（2）的结论进行归纳：两个同底数的对数相加，等于底数不变，真数相乘的对数。 用字母表示为： （其中，，） 25. 如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定F，将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定G。 （1）若S＝4131，则F（S）一G（S）＝（ ）。 （2）若T＝1000x＋110y＋17＋x（4≤x≤9，1≤y≤7，x，y为整数），满足则满足条件的所有T的和为多少？ 【答案】（1）293 （2）18481 【解析】 【分析】（1）S的四个数字已知，先看懂题目给的规则，按规则算出N、A、B，再套F和G的公式，做差即可。注意G的公式里A和B是四位数，做减法可能出负数，减去一个负数等于加上这个负数的相反数，即a－（－b）＝a＋b，正常计算即可。 （2）给出T的表达式，T是四位数，各数位用x和y表示。处理方法是，先要根据进位把T的千、百、十、个位整理清楚，然后分别算F（T）和G（T），化简成含x、y的代数式。最后代入题目给的复杂等式，化简得出一个关于x和y的二次方程，用因式分解法求整数解，再根据范围确定x和y的每一组解，得出所有可能的T，最后求和。 【小问1详解】 ∵S＝4131 ∴N＝3141，代入得 ＝＝＝90 ∵S＝4131；∴A＝1314；B＝3141，代入得 ∴＝＝＝－203 ∴－＝90－（－203）＝ 293 【小问2详解】 ∵T＝1000x＋110y＋17＋x，化为位值原理的形式： T＝1000x＋100y＋10y＋10＋7＋x T＝1000x＋100y＋10（y＋1）＋（7＋x） 推导十位和个位的取值范围： ∵4≤x≤9，1≤y≤7 ∴11≤x＋7≤16，2≤y＋1≤8 个位x＋7≥11，需要向十位进1： 7＋x＝10＋（x－3） 十位y＋1加上进位1： y＋1＋1＝y＋2 ∴T＝1000x＋100y＋10（y＋2）＋（x－3） 写出、： ＝－ ＝81x－81y－153 ＝－ ＝11y－11x－170 ∴－431＝ ∴－431＝ 两边同时乘27： 81x－81y－153－431×27＝99y－99x－170×9－180xy，利用小学等式的基本性质1、2化简，将x、y、xy项移至等号同侧，常数移至同侧，得： x－y＋xy＝57；这个式子无法解得x、y，需要写成两数之积的形式，我们先提出公因数y，再处理括号外的项： x＋y（x－1）＝57；两边同时减1，使56可被分解为两数的积： x－1＋y（x－1）＝57－1。 提公因数（x－1），得： （x－1）（y＋1）＝56 这样，我们就得到了两项积的形式。再来确定范围： ∵4≤x≤9，1≤y≤7，x，y为整数。 ∴3≤x－1≤8，2≤y＋1≤8 ∴①或② 由①得 T＝9686 由②得 T＝8795 9686＋8795＝18481 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $