2.1 平方根 同步分层练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版数学八年级上册“平方根”同步练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以概念理解为起点，运算能力为核心，应用创新为延伸，适配新授课知识巩固需求，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|平方根、算术平方根概念及简单计算|以选择、填空为主，直接考查定义（如9的平方根）和性质（如平方根互为相反数）| |能力提升|非负性应用、实际问题求解|结合绝对值与算术平方根非负性（如求a³的算术平方根），融入几何图形与实际情境（如正方体棱长计算）| |拓展创新|新定义运算、图形剪拼探究|引入max{s,t}符号运算，通过小正方形剪拼（5个/10个）探究面积与边长关系，发展空间观念与创新意识|

苏科版数学八年级上册 2.1 平方根 同步分层练习 一、夯实基础 1．实数9的平方根是（　　) A．3 B． C．±3 D． 2．下列结论中，正确的是(　　) A．-4的平方根是±2 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是±3 3．若2m-5与3m-15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是(　　) A．3 B．-3 C．16 D．9 4．制作一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（　　） A． B．3dm C．2dm D． 5．6的算数平方根是(　　) A． B． C． D．±6 6．下列计算中，结果正确的是(　　) A．|-3|=-3 B． C． D． 7．4的算术平方根是　 　． 8．若一个正数的两个平方根是2a+3和-a-1，则a的值是　 　. 9．若是整数，则n的值可以是　 　（写出一个即可） 二、能力提升 10．若 则a3的算术平方根是（　　） A． B．3 C．±3 D．9 11．如图，将由个边长为的小正方形组成的图形沿着虚线剪拼成一个大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 12．在如图所示的数值转换器中.当输入的x值为16时，输出的数y是　 　. 13．若 则 ab的算术平方根是　 　. 14．已知，． （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 15．春节期间，小明因能够背诵《前赤壁赋》获得东坡赤壁景区的门票及赠书《苏东坡谪居黄州》，图书封面为长方形，长与宽的比为，面积为． （1）请求出图书封面的长和宽分别是多少？ （2）景区内文创店为游客的图书加盖纪念章，小明选择了一个面积为圆形印章“东坡古韵”和一个面积为正方形印章“逢考必过”，计划在图书扉页的长方形框内盖章，已知长方形的边是封面宽的，边是封面长的，请问小明应选择哪个印章才能保证完整地印在长方形框内？ 三、拓展创新 16．对于实数 s、t，我们用符号 max{s， t}表示 s、t两数中较大的数，如 max{3， 1}=3. 若，则 x=　 　. 17．实践与探究：如图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形．这个图形通过剪拼可以把它剪拼成一个如图3的正方形． （1）图1中5个正方形的总面积为______． （2）拼成的正方形（图3）的面积为______，边长为______． （3）仿照上面的做法，你能把图4中这十个小正方形组成的图形，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，请在图4中画出拼接后的正方形，并求出其边长；若不能，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】开平方（求平方根） 【解析】【解答】解：， 根据平方根的定义，9 的平方根为。 故答案为：C 【分析】本题考查平方根的定义与计算。解题时依据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。通过计算验证和的平方均等于 9，由此得出 9 的平方根是的结论。 2．【答案】C 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根 【解析】【解答】解：A、∵，∴4的平方根是，∴A错误； B、0的平方根是0，∴B错误； C、1的平方是1，∴C正确； D、，∴的平方根是，∴D错误. 故答案为：C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0，所以负数没有平方根，0的平方根是0，正的平方根叫做算术平方根. 3．【答案】D 【知识点】平方根的概念与表示 【解析】【解答】解：根据题意可知，（2m-5）+（3m-15）=0， 解得：m=4， ∴2m-5=3，3m-15=-3， ∴32=（-3）2=9， 故答案为：D. 【分析】根据同一个正数的两个不相等平方根互为相反数列出关于 m 的方程，求得 m 后得到平方根，进而即可得出答案. 4．【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：设这个正方体的棱长为xdm， ∵正方体的表面积为12dm2， ∴6x2=12 ∴， ∴这个正方体的棱长为dm. 故答案为：D. 【分析】设这个正方体的棱长为xdm，根据已知表面积列方程求解即可. 5．【答案】A 【知识点】求算术平方根 【解析】【解答】解：的算术平方根是． 故答案为：A. 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 6．【答案】D 【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根 【解析】【解答】解：选项A：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数， ∵，∴A错误； 选项B：合并同类项时，同类项系数相加，字母与字母的指数不变， ∵，∴B错误； 选项C：算术平方根表示非负的平方根，结果唯一， ∵，∴C错误； 选项D：根据负整数指数幂的运算法则，（，为正整数）， ∵，∴D正确。 故答案为： 【分析】本题综合考查绝对值、合并同类项、算术平方根、负整数指数幂的基础运算。分别对应各运算的规则逐一判断：绝对值运算结果非负；合并同类项仅改变系数，不改变字母指数；算术平方根的结果唯一且非负；负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，据此即可选出计算正确的选项。 7．【答案】2 【知识点】算术平方根 【解析】【解答】解：∵22=4， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 8．【答案】-2 【知识点】平方根的性质 【解析】【解答】解：根据题意可列：， 解得：， 故答案为：-2. 【分析】本题主要考查平方根的性质.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即它们的和为0.根据这一性质列方程，求解即可得到a的值. 9．【答案】20 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵是整数 ∴20-n的值可以为0，1，4，9，16 ∴n可以是20、19、16、11、4 故答案为：20、19、16、11、4（写一个即可） 【分析】本题主要考查算术平方根为整数的条件.要使为整数，则20-n必须是一个完全平方数，因为20-n≥0，所以根据20以内的完全平方数确定n的值即可. 10．【答案】B 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵ ∴a+3=0，2a+3b=0 ∴a=-3，b=2 ∴a3=-27 故答案为：B. 【分析】根据算术平方根的性质与绝对值的非负性求出a，b的值，再代入即可求解. 11．【答案】C 【知识点】求算术平方根；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，， ，， ． 故选：C. 【分析】根据剪拼前后图形面积不变，先求出大正方形的面积，再求出边长的长，由图可知为小正方形边长，利用圆的半径相等得出、的长，利用，即可得出的长． 12．【答案】 【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：当x=16时 16的算术平方根是：(有理数，继续) 4的算术平方根是：(有理数，继续) 2的算术平方根是：(无理数，输出)， 最终输出 故答案为：. 【分析】按照数值转换器的程序，将输入值x=16逐步进行算术平方根计算，直到结果为无理数时输出. 13．【答案】9 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为：9. 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数得到，然后代入求的算术平方根即可． 14．【答案】（1）解：∵x的算术平方根为3，∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 【知识点】解一元一次方程；平方根的概念与表示；求算术平方根 【解析】【分析】本题考查算术平方根的定义与平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数），并结合解一元一次方程求解参数 a，最终求出目标数。 （1）核心是由“算术平方根为3”推出 x = 9，代入表达式列方程求 a即可。 （2）关键是抓住“同一正数的两个平方根 → 和为0”这一性质，列出 x + y = 0 的方程，解出 a 后代回任一表达式平方即得原数。 （1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 15．【答案】（1）解：∵长与宽的比为， ∴设长为cm，宽为cm， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴长，宽； （2）解：∵长方形的边是封面宽的，边是封面长的， ∴，， ∵圆形印章面积为， ∴半径为，直径为， ∴圆形印章不能完整地印在长方形框内； ∵正方形印章的面积为， ∴边长为， ∴正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【分析】（1）设长为cm，宽为cm，根据题意得出方程，然后利用算术平方根求出x的值，即可得出答案； （2）根据题意分别求出，，再确定圆形印章的直径，再和正方形印章的边长进行比较，即可得出答案． （1）解：∵长与宽的比为， ∴设长为，宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴长，宽； （2）∵长方形的边是封面宽的，边是封面长的， ∴，， ∵圆形印章面积为， ∴半径为，直径为， ∴圆形印章不能完整地印在长方形框内； ∵正方形印章的面积为， ∴边长为， ∴正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 16．【答案】 【知识点】利用开平方求未知数 【解析】【解答】解：若x2-10=6，则x2=16，3x2=48， ∵48＞6， ∴不合题意， 若3x2=6，则x2=2，x2-10=-8， ∵-8＜6，符合题意， ∴x2=2， ∴x=±， 故答案为：±． 【分析】分x2-10=6和3x2=6两种情况分别求出x的值，然后验证解答即可． 17．【答案】（1）5 （2）5， （3）解：所拼接的图形如下： 设正方形的边长为． 根据边长与面积的关系得： ， ∴． 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根 【解析】【解答】解：（1）∵图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个的正方形的总面积为． 故答案为：5； 解：（2）∵拼接后面积不变， ∴（图3）的面积为5， ∴边长为． 故答案为：5，； 【分析】（1）由图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形，结合每个小正方形的面积为1，进而得到大正方形的面积，得到答案； （2）根据拼接后面积不变，第一空答案，再根据算术平方根的意义，求得正方形的边长，得到第二空的答案； （3）设正方形的边长为，根据题意共有10个小正方形，得到组成的大正方形的面积为10，结合算术平方根的意义，即可求得大正方形的边长，得到答案. （1）∵图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个的正方形的总面积为． 故答案为：5； （2）∵拼接后面积不变， ∴（图3）的面积为5， ∴边长为． 故答案为：5，； （3）所拼接的图形如下： 设正方形的边长为． 根据边长与面积的关系得： ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学八年级上册 2.1 平方根 同步分层练习 一、夯实基础 1．实数9的平方根是（　　) A．3 B． C．±3 D． 【答案】C 【知识点】开平方（求平方根） 【解析】【解答】解：， 根据平方根的定义，9 的平方根为。 故答案为：C 【分析】本题考查平方根的定义与计算。解题时依据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。通过计算验证和的平方均等于 9，由此得出 9 的平方根是的结论。 2．下列结论中，正确的是(　　) A．-4的平方根是±2 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是±3 【答案】C 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根 【解析】【解答】解：A、∵，∴4的平方根是，∴A错误； B、0的平方根是0，∴B错误； C、1的平方是1，∴C正确； D、，∴的平方根是，∴D错误. 故答案为：C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0，所以负数没有平方根，0的平方根是0，正的平方根叫做算术平方根. 3．若2m-5与3m-15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是(　　) A．3 B．-3 C．16 D．9 【答案】D 【知识点】平方根的概念与表示 【解析】【解答】解：根据题意可知，（2m-5）+（3m-15）=0， 解得：m=4， ∴2m-5=3，3m-15=-3， ∴32=（-3）2=9， 故答案为：D. 【分析】根据同一个正数的两个不相等平方根互为相反数列出关于 m 的方程，求得 m 后得到平方根，进而即可得出答案. 4．制作一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（　　） A． B．3dm C．2dm D． 【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：设这个正方体的棱长为xdm， ∵正方体的表面积为12dm2， ∴6x2=12 ∴， ∴这个正方体的棱长为dm. 故答案为：D. 【分析】设这个正方体的棱长为xdm，根据已知表面积列方程求解即可. 5．6的算数平方根是(　　) A． B． C． D．±6 【答案】A 【知识点】求算术平方根 【解析】【解答】解：的算术平方根是． 故答案为：A. 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 6．下列计算中，结果正确的是(　　) A．|-3|=-3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根 【解析】【解答】解：选项A：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数， ∵，∴A错误； 选项B：合并同类项时，同类项系数相加，字母与字母的指数不变， ∵，∴B错误； 选项C：算术平方根表示非负的平方根，结果唯一， ∵，∴C错误； 选项D：根据负整数指数幂的运算法则，（，为正整数）， ∵，∴D正确。 故答案为： 【分析】本题综合考查绝对值、合并同类项、算术平方根、负整数指数幂的基础运算。分别对应各运算的规则逐一判断：绝对值运算结果非负；合并同类项仅改变系数，不改变字母指数；算术平方根的结果唯一且非负；负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，据此即可选出计算正确的选项。 7．4的算术平方根是　 　． 【答案】2 【知识点】算术平方根 【解析】【解答】解：∵22=4， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 8．若一个正数的两个平方根是2a+3和-a-1，则a的值是　 　. 【答案】-2 【知识点】平方根的性质 【解析】【解答】解：根据题意可列：， 解得：， 故答案为：-2. 【分析】本题主要考查平方根的性质.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即它们的和为0.根据这一性质列方程，求解即可得到a的值. 9．若是整数，则n的值可以是　 　（写出一个即可） 【答案】20 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵是整数 ∴20-n的值可以为0，1，4，9，16 ∴n可以是20、19、16、11、4 故答案为：20、19、16、11、4（写一个即可） 【分析】本题主要考查算术平方根为整数的条件.要使为整数，则20-n必须是一个完全平方数，因为20-n≥0，所以根据20以内的完全平方数确定n的值即可. 二、能力提升 10．若 则a3的算术平方根是（　　） A． B．3 C．±3 D．9 【答案】B 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵ ∴a+3=0，2a+3b=0 ∴a=-3，b=2 ∴a3=-27 故答案为：B. 【分析】根据算术平方根的性质与绝对值的非负性求出a，b的值，再代入即可求解. 11．如图，将由个边长为的小正方形组成的图形沿着虚线剪拼成一个大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求算术平方根；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，， ，， ． 故选：C. 【分析】根据剪拼前后图形面积不变，先求出大正方形的面积，再求出边长的长，由图可知为小正方形边长，利用圆的半径相等得出、的长，利用，即可得出的长． 12．在如图所示的数值转换器中.当输入的x值为16时，输出的数y是　 　. 【答案】 【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：当x=16时 16的算术平方根是：(有理数，继续) 4的算术平方根是：(有理数，继续) 2的算术平方根是：(无理数，输出)， 最终输出 故答案为：. 【分析】按照数值转换器的程序，将输入值x=16逐步进行算术平方根计算，直到结果为无理数时输出. 13．若 则 ab的算术平方根是　 　. 【答案】9 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为：9. 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数得到，然后代入求的算术平方根即可． 14．已知，． （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】（1）解：∵x的算术平方根为3，∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 【知识点】解一元一次方程；平方根的概念与表示；求算术平方根 【解析】【分析】本题考查算术平方根的定义与平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数），并结合解一元一次方程求解参数 a，最终求出目标数。 （1）核心是由“算术平方根为3”推出 x = 9，代入表达式列方程求 a即可。 （2）关键是抓住“同一正数的两个平方根 → 和为0”这一性质，列出 x + y = 0 的方程，解出 a 后代回任一表达式平方即得原数。 （1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 15．春节期间，小明因能够背诵《前赤壁赋》获得东坡赤壁景区的门票及赠书《苏东坡谪居黄州》，图书封面为长方形，长与宽的比为，面积为． （1）请求出图书封面的长和宽分别是多少？ （2）景区内文创店为游客的图书加盖纪念章，小明选择了一个面积为圆形印章“东坡古韵”和一个面积为正方形印章“逢考必过”，计划在图书扉页的长方形框内盖章，已知长方形的边是封面宽的，边是封面长的，请问小明应选择哪个印章才能保证完整地印在长方形框内？ 【答案】（1）解：∵长与宽的比为， ∴设长为cm，宽为cm， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴长，宽； （2）解：∵长方形的边是封面宽的，边是封面长的， ∴，， ∵圆形印章面积为， ∴半径为，直径为， ∴圆形印章不能完整地印在长方形框内； ∵正方形印章的面积为， ∴边长为， ∴正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 【知识点】算术平方根的实际应用 【解析】【分析】（1）设长为cm，宽为cm，根据题意得出方程，然后利用算术平方根求出x的值，即可得出答案； （2）根据题意分别求出，，再确定圆形印章的直径，再和正方形印章的边长进行比较，即可得出答案． （1）解：∵长与宽的比为， ∴设长为，宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴长，宽； （2）∵长方形的边是封面宽的，边是封面长的， ∴，， ∵圆形印章面积为， ∴半径为，直径为， ∴圆形印章不能完整地印在长方形框内； ∵正方形印章的面积为， ∴边长为， ∴正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 三、拓展创新 16．对于实数 s、t，我们用符号 max{s， t}表示 s、t两数中较大的数，如 max{3， 1}=3. 若，则 x=　 　. 【答案】 【知识点】利用开平方求未知数 【解析】【解答】解：若x2-10=6，则x2=16，3x2=48， ∵48＞6， ∴不合题意， 若3x2=6，则x2=2，x2-10=-8， ∵-8＜6，符合题意， ∴x2=2， ∴x=±， 故答案为：±． 【分析】分x2-10=6和3x2=6两种情况分别求出x的值，然后验证解答即可． 17．实践与探究：如图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形．这个图形通过剪拼可以把它剪拼成一个如图3的正方形． （1）图1中5个正方形的总面积为______． （2）拼成的正方形（图3）的面积为______，边长为______． （3）仿照上面的做法，你能把图4中这十个小正方形组成的图形，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，请在图4中画出拼接后的正方形，并求出其边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）5， （3）解：所拼接的图形如下： 设正方形的边长为． 根据边长与面积的关系得： ， ∴． 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根 【解析】【解答】解：（1）∵图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个的正方形的总面积为． 故答案为：5； 解：（2）∵拼接后面积不变， ∴（图3）的面积为5， ∴边长为． 故答案为：5，； 【分析】（1）由图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形，结合每个小正方形的面积为1，进而得到大正方形的面积，得到答案； （2）根据拼接后面积不变，第一空答案，再根据算术平方根的意义，求得正方形的边长，得到第二空的答案； （3）设正方形的边长为，根据题意共有10个小正方形，得到组成的大正方形的面积为10，结合算术平方根的意义，即可求得大正方形的边长，得到答案. （1）∵图1是由5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个的正方形的总面积为． 故答案为：5； （2）∵拼接后面积不变， ∴（图3）的面积为5， ∴边长为． 故答案为：5，； （3）所拼接的图形如下： 设正方形的边长为． 根据边长与面积的关系得： ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $