3.1勾股定理的探究同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 练习围绕勾股定理，分层设计从基础计算到定理证明，覆盖概念理解、实际建模及逻辑推理，适配新授课巩固需求，体现运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算（直角边求斜边、中线）|直接应用公式，如已知直角边求斜边上的中线| |中档|实际情境应用（芦苇问题、感应门）、综合计算（阴影面积、数轴表示无理数）|结合生活场景与图形变换，如长方形草坪捷径问题| |提升|定理证明与拓展（赵爽弦图、加菲尔德证法）|融入数学史情境，通过等面积法推导勾股定理|

3.1勾股定理的探究 同步练习 一、单选题 1．已知直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边上的中线等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 3．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．设这根芦苇的长度为x尺，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，四边形是长方形，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在中，，，则________． 8．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 9．如图，中，于点，则的长为______． 10．新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________． 11．如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 12．已知的两条边，的长分别为、，则边的长为______． 13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 14．如图，是的高，，，，则_____． 三、解答题 15．在直角三角形中，． (1)若，，求； (2)若，，求． 16．陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 17．在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出 利用勾股定理求出的长，再计算三角形面积 18．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．    (1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）： 方法1：________；方法2：________． (2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边， 所以，斜边上的中线长， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用；由芦苇长为尺，可得水深为尺，再利用两条直角边的平方和等于斜边建立方程即可解答． 【详解】解：如图， 设芦苇长为尺，则水深为尺， 由题意得，， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查勾股定理，掌握此知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再由长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选C． 5．A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键． 先将，转化为，利用勾股定理求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：由，得， 在中，，即， 解得， 在中，， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 7． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 8．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 9． 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．8 【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解． 【详解】解： 由勾股定理可得：， ， …… 可知， ，． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论，根据勾股定理直接求解． 【详解】解：当边，C为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米），    故答案为：． 14． 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中， ，，， ， （2）解：在中， ，，， ， ． 16．支渠的长是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，得到，再由勾股定理计算即可． 【详解】解：， ． ，， ． ． ． 答：支渠的长是． 17． 解：设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理，根据提供的解题思路即可解答． 【详解】略 18．(1)； (2)见解析 【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； （2）由（1）可得，即可． 【详解】（1）解：由题得：梯形面积为； 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 即． 【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $