第13章 三角形 单元测试题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册第13章三角形单元卷，以现实情境为载体，覆盖三角形性质、判定等核心知识，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形重心、三边关系、稳定性等|结合深圳湾体育中心等现实情境，考查几何直观| |填空题|8/24|直角三角形锐角、重心性质、外角和等|设置开放性问题（如第三边长度），培养推理意识| |解答题|7/66|角度计算、综合证明、探究性问题|第25题探究角平分线夹角关系，体现创新应用与模型意识|

2026-2027学年八年级数学上册第13章 三角形 单元测试题 人教版 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，有一块厚薄均匀的3×4的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（3分）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）深圳湾体育中心（春茧）的屋顶框架采用了大量等腰三角形构件，其中某一构件的顶角设计为40°，以适配场馆的造型，该等腰三角形构件的底角是（　　） A．100° B．70° C．65° D．80° 4．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 5．（3分）若三角形的两条边分别为9cm和14cm，则此三角形的第三边的长度可能是（　　） A．9cm B．3cm C．5cm D．25cm 6．（3分）2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 7．（3分）下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．15° D．18° 9．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）一个直角三角形，有一个锐角是65°，另一个锐角是 　 　 °． 12．（3分）在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝45°，△ABC是　 　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 13．（3分）已知三角形的两边长分别为4，5，且这个三角形的周长是偶数，那么这个三角形的第三边的长可能是　 　 （填一个符合条件的数即可）． 14．（3分）如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，若BC＝26，则BE＝ 　 　 ． 15．（3分）一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　 　 三角形． 16．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠BDF的度数是　 　 ． 17．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝　 　 ． 18．（3分）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD＝2，CD＝1，则DE的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P是线段AB上一点，连接PC，试探究PC的长的取值范围． 20．（8分）按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 21．（8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边上的高，AD与CE交于点F，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠BAD和∠ADB的度数． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且AD＝AE，连接DE．若∠BAC＝80°，求∠CDE的度数． 23．（10分）如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，． （1）CD是△ABC的 　 　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数． 24．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 25．（12分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　 　 °． （2）如图2，△ABC的内角、∠ACB的平分线与△ABC的外角、∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数． （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　 　 （用α表示）． 参考答案 一．选择题 1．解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心． 故选：C． 2．解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形， 故选：D． 3．解：∵等腰三角形的顶角为40°， ∴等腰三角形的底角为：×（180°﹣40°）＝70°， 故选：B． 4．解：如图所示，标注∠1、∠2， 由条件可知∠B＝∠1＝60°， ∵CD＝CG， ∴∠CGD＝∠2， ∴∠1＝2∠2， ∵DF＝DE， ∴∠DFE＝∠E， ∴∠2＝2∠E， ∴4∠E＝60°， ∴∠E＝15°． 故选：C． 5．解：设第三边长是xcm， 由三角形三边关系定理得：14﹣9＜x＜14+9， ∴5＜x＜23， ∴第三边长可能是9cm． 故选：A． 6．解：设置广告展板蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：C． 7．解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 8．解：∵ ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝64°， ∴∠CAD＝90°﹣64°＝26°， ∵∠B＝40°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣64°＝76°， 又∵AE是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°， 故选：B． 9．解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 10．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故选：C． 二．填空题 11．解：设另一个锐角的度数为x， 则x+65°＝90°， 解得：x＝25°， 故答案为：25． 12．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 则三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 13．解：设这个三角形的第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到：5﹣4＜x＜4+5， ∴1＜x＜9， ∵这个三角形的周长是偶数，另两边长是5和4， ∴第三边长可能是7（答案不唯一）． 故答案为：7（答案不唯一）． 14．解：在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E， ∴AE是△ABC的中线， ∴E是BC的中点， ∵BC ＝26， ∴． 故答案为：13． 15．解：∵这个三角形三个外角的度数比为3：4：5， ∴设三个外角的度数分别为3x，4x，5x， ∴3x+4x+5x＝360°， ∴x＝30°， ∴三个外角的度数分别为90°，120°，150°， ∴与三个外角对应的三个内角分别为90°，60°，30°， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 16．解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°（等边三角形的性质）， ∵BD⊥AC， ∴∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°， ∵BF＝BD， ∴． 故答案为：75°． 17．解：如图所示，连接AP， 由条件可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 18．解：如图1，∵BD＝2，CD＝1， ∴BC＝3， ∵AE是△ABC的中线， ∴EC＝BC＝1.5， ∴DE＝EC﹣DC＝0.5， 如图2，∵BD＝2，CD＝1， ∴BC＝1， ∵AE是△ABC的中线， ∴EC＝BC＝0.5， ∴DE＝EC+DC＝1.5， 综上所述：DE的长为0.5或1.5， 故答案为：0.5或1.5． 三．解答题 19．解：如图， ∵P是线段AB上一点， ∴PC最长为点P和点B重合时，此时PC＝BC＝4； 如图， 当PC⊥AB时，PC最短， ∵AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵， ∴， ∴PC＝2.4， ∴PC的长的取值范围是2.4≤PC≤4． 20．解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10， ∵AC为偶数， ∴AC＝8， ∴△ABC的周长为8+2+8＝18； （2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5﹣3＜a＜5+3， 解得2＜a＜8， ∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3． 21．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60＝30°， ∵CE是△ABC的AB边上的高， ∴CE⊥AB于点E， ∴∠AEC＝90°， ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BAD的度数是30°，∠ADB的度数是100°． 22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，， ∵AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°． 23．解：（1）∵∠ACD＝∠ACB， ∴CD是△ABC的角平分线， 故答案为：角平分线． （2）∵∠ACD＝∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝45°+65°＝110°． 24．解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 25．解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣59°＝121°， 故答案为：121； （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝58°， ∵∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∵∠EBD＝∠BEC+∠ECB， ∴∠BEC＝∠EBD﹣∠ECB＝29°； （3）∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠A＝α， ∴∠CBM+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+α， ∵∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q， ∴，， ∴ ＝， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $