第15章 轴对称单元章节测评卷基础过关卷（A卷）2026-2027八年级数学上册（人教版）

**基本信息** 轴对称单元基础过关卷，覆盖对称轴、等腰三角形等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对称轴条数、垂直平分线、格点等腰三角形|结合动态几何（如动点形成等腰三角形），考查空间观念| |填空题|6/24|对称点坐标、等腰三角形外角、新定义“特征值”|引入新定义题型，强化数学语言表达| |解答题|9/96|平移作图、等腰三角形证明、动态探究|综合作图与证明（如作轴对称图形），设置拓展延伸题（如等边三角形射线问题），体现创新意识与推理能力|

第15章 轴对称单元章节测评卷基础过关卷（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形及其对称轴的概念，解题的关键是准确判断等边三角形、长方形、正方形、圆这四种图形各自的对称轴条数，并比较得出条数最少的图形． 先分别确定每个选项图形的对称轴条数：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴；再将各图形的对称轴条数进行比较，找出条数最少的图形对应的选项． 【详解】解：A、等边三角形沿三条高所在直线对折后两边能完全重合，故其有3条对称轴，此选项不符合题意； B、长方形沿两组对边中点连线对折后两边能完全重合，故其有2条对称轴，此选项符合题意； C、正方形沿两组对边中点连线及两条对角线所在直线对折后两边能完全重合，故其有4条对称轴，此选项不符合题意； D、圆沿任意一条直径所在直线对折后两边能完全重合，故其有无数条对称轴，此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出和的长，即可求出答案． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 3．如图，已知在，．若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的基本性质以及三角形的内角和性质进行逐项分析即可． 【详解】解：由题意，，， ∴，， ∵， ∴， ∴、、这三个结论不能得出， 故C选项一定正确，符合题意；A、B、D选项无法确定，不符合题意． 故选：C． 4．如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中， ， 则的长不可能是， 故选：A． 5．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 6．如图等边中，点E在的延长线上， ，交的延长线于点F，点D在边上，且．如果，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】作，先证明是等边三角形，得出，再证明，根据线段和差得出，即可得答案． 【详解】解：作， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作辅助线是解题的关键． 7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【思路引领】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝30°，可得BD＝2BC＝4，然后利用三角形外角的性质可得∠ABD＝15°，从而可得∠A＝∠ABD＝15°，即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°， ∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°， ∴BD＝2BC＝4， ∵∠A＝15°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°， ∴∠A＝∠ABD＝15°， ∴AD＝BD＝4， 故选：A． 【总结提升】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 9．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 10．在3×3的正方形网格中，将三个小正方形涂色如图所示，若移动其中一个涂色小正方形到空白方格中，与其余两个涂色小正方形重新组合，使得新构成的整个图案是一个轴对称图形，则这样的移法共有（ ） A．5种 B．7种 C．9种 D．10种 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可． 【详解】如图所示：一共有9种轴对称图形. 故选C. 【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握其性质. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于轴的对称点的坐标是_______． 【答案】(3，2) 【分析】可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变． 【详解】解：（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是(3，2)． 故答案为：(3，2) 12．等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，先得出等腰三角形的一个内角是，则这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求出底角即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其对应的内角为， ∴等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等， ∴它的底角的度数为 故答案为：． 13．如图，在中，，，，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点，点在上且，连接，则的周长为_______________________． 【答案】11 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键． 14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 15．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 16．如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是_______． 【答案】120 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接，得出当三点共线，且时，最小，证明是等边三角形，得出，，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接， 根据对称可得， ∵ ∴ ∴ ∴当三点共线，且时，最小， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120． 【点睛】该题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2)如图，即为所求作的三角形； ， 【分析】本题考查的是画平移图形，画轴对称图形，轴对称的性质； （1）分别确定点，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定点，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，根据，的位置可得其坐标． 【详解】（1）略 （2）略 18．（10分）如图，在中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC． （1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形？写出所有的情形． （2）选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【答案】（1）①③；②③；①④；②④都可以组合证明是等腰三角形；（2）选①③为条件证明是等腰三角形，证明过程见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）①③；②③；①④；②④都可以组合证明是等腰三角形； （2）利用全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与性质分对每一种情形别证明即可． 【详解】解：（1）①③；②③；①④；②④都可以组合证明是等腰三角形； （2）选①③为条件证明是等腰三角形，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形． 选②③为条件证明是等腰三角形，理由如下： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 是等腰三角形． 选①④为条件证明是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． 选②④为条件证明是等腰三角形，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 19．（10分）如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接，    (1)画出关于直线成轴对称的； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1) 如图，即为所作；   ； (2)； (3) 证明：连接，    ∵与关于直线成轴对称，， ∴，，，， ∴在同一直线上， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）利用等边对等角求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，然后利用轴对称的性质即可求解； （3）连接，设，则，求得，证明，据此即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．（10分）已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． 21．（10分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． (2) 证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． (3) 解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22．（10分）如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，正确理解题意是解题关键： （1）先根据垂直平分线的性质得出，得出，进而根据角平分线的定义得出答案； （2）设，得出，再根据等腰三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：垂直平分线段，点在上， ， ． ， 平分， ． （2）设， ． ， ． ． ． ． 的大小为． 23．（10分）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图，在中，． 求作：的平行线． 小明的作法： （1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交和的延长线于点M，N； （2）分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G； （3）作射线，则． 【解答问题】 （1）你认为小明的回答正确吗？如正确，请写出证明过程，如不正确，请说明理由； （2）若平分交于点D，交射线于点E，且，，，求的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】 （1）解：小明的回答正确，证明如下： 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质： （1）由作图可知：平分，得出，根据等边对等角得出，根据，，即可得出答案； （2）作的角平分线，交于点F，先证明，再证明，再推出，，证明，得出，得出，，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图：作的角平分线，交于点F， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵． ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 24．（13分）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 如图：延长至H，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴.， ∴． ∴． (3) 当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，， 理由如下： 当点P在上时，由（2）可知： ， ∴， ∴； 如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． 综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答； （2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得； (3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）略 25．（13分）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) 如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)的度数为或或或 【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，设角求解的度数． （2）通过折叠性质得到线段和角的关系，结合等腰三角形判定证明 （3）分、、等情况，依据折叠性质和等腰三角形性质计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理以及图形折叠的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称单元章节测评卷基础过关卷（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 2．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知在，．若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．如图等边中，点E在的延长线上， ，交的延长线于点F，点D在边上，且．如果，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．在3×3的正方形网格中，将三个小正方形涂色如图所示，若移动其中一个涂色小正方形到空白方格中，与其余两个涂色小正方形重新组合，使得新构成的整个图案是一个轴对称图形，则这样的移法共有（ ） A．5种 B．7种 C．9种 D．10种 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于轴的对称点的坐标是_______． 12．等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为________． 13．如图，在中，，，，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点，点在上且，连接，则的周长为_______________________． 14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 15．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 16．如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 18．（10分）如图，在中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC． （1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形？写出所有的情形． （2）选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 19．（10分）如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接， (1)画出关于直线成轴对称的； (2)若，求的度数； (3)求证：．    20．（10分）已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 21．（10分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 22．（10分）如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 23．（10分）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图，在中，． 求作：的平行线． 小明的作法： （1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交和的延长线于点M，N； （2）分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G； （3）作射线，则． 【解答问题】 （1）你认为小明的回答正确吗？如正确，请写出证明过程，如不正确，请说明理由； （2）若平分交于点D，交射线于点E，且，，，求的长（用含a，b的式子表示）． 24．（13分）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 25．（13分）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $