第15章轴对称【章节复习】压轴题 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦初中几何动态问题，以等边三角形为载体，通过全等证明与动态探究，系统构建从静态性质到动态关系的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等边三角形动态综合|4道综合题（含动点、对称等变式）|几何综合题，含证明、探究定值、位置关系判断|以等边三角形性质为基础，通过全等证明（SAS/SSS）构建动态几何关系，体现从静态性质到动态位置关系的概念拓展，强化空间观念与逻辑推理|

1. 在等边中，点、分别在，上，，，交于点． （ 1 ）如图，求的度数． 图 （ 2 ）如图，连接，若，求证：． 图 （ 3 ）如图，在四边形中，满足，求证：． 图 （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ）证明见解析． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） ∴ ∴ ≌ ， ． （ 2 ）在 上取 ≌ ． 点，使 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （ 3 ）延长 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 至 ． ，使 ， 是等边三角形 ， ≌ ． ∴ ． 【知识点】截长补短 2. 为等边三角形，点 是直线与直线交于点． （ 1 ）若点在内， 中点，点在 ． 所在平面内，连接，，，， 1 如图，当点在 上时，求证： ； 如图，当点不在上时，是否任然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（ 1 ）1 证明见解析． 2 成立，证明见解析． （ 2 ） 或 2 延长 至 使 易证 ≌ 2 （ 2 ）当点在外，且点与点在直线异侧时，若，与有怎样的数量关系，请直接写出你的结论： ． （ 1 ）1 等边 中， ， ∴ 易证 ≌ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ， ． 以 为边作等边 ， 易证 ≌ ． ∴ ， ， 在 和 中, ∴ ≌ ∴ ． （ 2 ）① 在 延长线上，如图， 延长 至 ，使 ，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 、 ， “中线倍长”易证 ≌ ( )， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 且 ， ∴ 为正三角形， “手拉手”易证 ≌ ( ) ∴ ， ∴ ， 根据边角边全等，∴ ≌ ， ∴ ， 则 ， ， ∴ ， ② 在 延长线上，如图， 延长 至，使 ，连接 ， 截取 ，连接 ，， “中线倍长”易证 ≌ ( ) 可推 ， ∴ ∵ 且 ， ∴ 为正三角形， “手拉手”易证 ≌ ( ) ∴ ∴ 根据边角边全等，∴ ≌ ∴即 综上所述， 或 ．结论： 或 ． 【知识点】中点类辅助线 3. 回答下列问题： （ 1 ）已知：图 中， 为等边三角形， 平分 的外角 ，为 边上任意一 点，连接、 ，如果 ，求证： ． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 成立，理由见解析． （ 1 ）在 上取点 ，使得 ，连接 ， 图 （ 2 ）图中为任意三角形且，如果其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由． 图 ∵等边 ， ∴ ， ，， 又∵ ， ∴ ， 为等边三角形 ∴ ，∴ ， ∵平分 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， 且 ， ∴ 即 ， 在 和 中 ∵ ， ∴ ≌ （ ） ∴ ． （ 2 ）在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ， ， ∵（ ）中已证明 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和中 ∵ ， ∴ ≌ （ ） ∴ ． 【知识点】旋转型全等 4. 在中，，平分交于点，是上一点与交于点． （ 1 ）如图( ),若是的高． 求证：是等腰三角形；1 若 ，直接写出 的值；2 （ 2 ）如图(),若是的角平分线，猜想线段、、、之间的数量关系，并证明你的猜想． （ 1 ）1 证明见解析． 2 ，证明见解析． （ 2 ） ，证明见解析． （ 1 ）1 由题知： ， ， ， 2 ∴ ∴ ∴ 在在 ． 等腰三角形． 上截取 ， ． 和 中 ≌ ∴ 外角： ∴ ， ∴ ∴ ∴ ． （ 2 ）延长 到 ，使得则 由(1)知： ∴ ∴ 在 和 中， ≌ ∴ ∴ ． 【知识点】截长补短 $ 1. 在等边中，点、分别在，上，，，交于点． （ 1 ）如图，求的度数． 图 （ 2 ）如图，连接，若，求证：． 图 （ 3 ）如图，在四边形中，满足，求证：． 图 2. 为等边三角形，点 是中点，点在所在平面内，连接，，，，直线与直线交于点． （ 1 ）若点在内，． 如图，当点在上时，求证：；1 1 学科网（北京）股份有限公司 2 如图，当点不在上时，是否任然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （ 2 ）当点在外，且点与点在直线异侧时，若，与有怎样的数量关系，请直接写出你的结论： ． 3. 回答下列问题： （ 1 ）已知：图 中， 为等边三角形， 平分 的外角 ，为 边上任意一 点，连接 、 ，如果 ，求证： ． 图 （ 2 ）图中为任意三角形且，如果其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由． 图 4. 在中， ，平分 交于点，是上一点与 交于点． （ 1 ）如图( ),若 是 的高． 求证：是等腰三角形； 若 ，直接写出 的值；1 2 （ 2 ）如图(),若是的角平分线，猜想线段、、、之间的数量关系，并证明你的猜想． $ 1. 如图，在等边中，线段为边上的中线，动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． 备用图 （ 1 ）求的度数． （ 2 ）当动点在线段上时，求证：≌． （ 3 ）当动点在射线上时，设直线与直线的交点为，试判断是否为定值？并说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） 是定值，为 ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ 为 ∴ 故答案为： （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∴在 与 是等边三角形， ， 边上的中线， （三线合一）． ． 均为等边三角形， ， ， ， ， 与 ， 中， ， ∴ ≌ （ 3 ）①当 在垂线段 ． 上，如图： 1 学科网（北京）股份有限公司 由 ∴在在 ∵ ∴ ②当 知， ≌ ， ， 中， 中， ， ， ， ， 在 ． 的延长线上，如图： 同理可证： ∴ ≌ ， ， 同样由“ 字”模型， 得： ． 故答案为： 是定值，为 ． 【知识点】等边三角形与全等 2. 如图，在 中， ，点为边 上一点， ，且 ，点关 于直线 的对称点为，连接 ，又 的 边上的高为 ． （ 1 ）判断直线，是否平行？并说明理由． （ 2 ）证明：． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ） ． ∵点 关于直线 的对称点为 ， ∴ ， ， ，又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）作 的 边上的高为 ，又作 交 的延长线于 ，由对称性知， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 等边中，点由点出发沿方向运动，同时点以相同的速度从点出发沿方向运动，当点到达点时，，两点都停止运动，连接，交于点 ． （ 1 ）如图，当时，求证：． （ 2 ）如图，试说明：在点和点运动的过程中，． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 为等边三角形． ． ． ． ． ． ． ∴ ∴ ． ． 即 ∴在 ． 和 中． ． ∴ ∴ ≌ ． ． 4. 已知与是等边三角形，点、、在一条直线上，，交直线于点．（ 2 ）过点 ∴又 ∴ ∴ 作 交 延长线于点 ． ． ． 为等边三角形． ． 【知识点】ASA （ 1 ）若点在线段上运动，如图（不与、重合），求证：． 图 （ 2 ）若点在线段上运动（不与、重合），在图中画出图形，猜想线段、的数量关系并证明你的结论． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）如图 所示，在 上截取 ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， 图 ， ∴ ，在 和 中， ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）当 在 上时， 的一边 交 的延长线于 ，此时也有 ．过 作 的平行线交 的延长线于 ，如图所示： ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 图 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【知识点】截长补短 $ 1. 如图，在等边 中，线段为 边上的中线，动点在直线 上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连接． 备用图 （ 1 ）求的度数． （ 2 ）当动点在线段上时，求证：≌． （ 3 ）当动点在射线上时，设直线与直线的交点为，试判断是否为定值？并说明理由． 2. 如图，在 中， ，点 为边 上一点， ，且 ，点 关 于直线 的对称点为 ，连接 ，又 的边上的高为 ． （ 1 ）判断直线，是否平行？并说明理由． （ 2 ）证明：． 3. 等边中，点由点出发沿方向运动，同时点以相同的速度从点出发沿方向运动，当点到达点时，，两点都停止运动，连接，交于点 ． （ 1 ）如图，当时，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，试说明：在点和点运动的过程中，． 4. 已知与是等边三角形，点、、在一条直线上，，交直线于点． （ 1 ）若点在线段上运动，如图（不与、重合），求证：． 图 （ 2 ）若点在线段上运动（不与、重合），在图中画出图形，猜想线段、的数量关系并证明你的结论． 图 $