【人教B版专题12】2026-2027学年第一学期高一数学（第二章 等式与不等式）等式的性质与方程的解集培优提升限时训练

**基本信息** 2026-2027学年高一数学人教版B版第二章“等式的性质与方程的解集”课堂培优提升限时训练，40分钟/66分，分层梯度合理，从概念理解到实际应用递进，融入数学文化情境。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等式性质、因式分解|单选2（等式变形）、填空7（因式分解），强化运算能力与推理意识| |能力提升|方程解集综合应用|单选1（古代行程问题）、填空8（李白沽酒问题），体现数学眼光观察现实世界| |综合拓展|跨情境问题解决|解答10（租车方案）、解答9（含参等式），培养模型观念与应用意识|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课堂培优提升限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为(    ) A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等式的性质及应用，属于基础题． 设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里 故选：． 2.下列变形中，正确的是(    ) A. 若，那么 B. 若，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等式的基本性质，属于基础题． 取可判断；利用等式性质判断举反例判断． 【解答】 解：时，不一定成立，故错误； 若，则不能为，由等式的性质得：，故正确； 当，时，满足，但，故错误；  当，时，满足，但，故错误． 故选 3.若=，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：， 可得， 故选A． 4.已知实数，满足，则的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将看做一个整体． 令，则，整理为，根据即可得出答案． 【解答】 解：令， ， ， ， ， ， 或， 解得：或舍， ， 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列式子中变形正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD  【解析】对于选项A，两边同时减去，得，故A不正确；对于，当时，不一定有，故B不正确；对于，在等式两边同时乘以，得到，故C正确；对于，在等式两边同时乘以得到，故D正确． 6.要在二次三项式的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么这些数可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】可以分解成，，，，所以中填上的整数应该是的两个因数的和，即，，，故选ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是多项式的一个因式，则          ． 【答案】  8.算法统宗中记有“李白沽酒”的故事诗云：今携一壶酒，游春郊外走逢朋加一倍，入店饮半斗相逢三处店，饮尽壶中酒试问能算士：如何知原有？古代一斗是升大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的升酒按照这样的约定，在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒则李白的酒壶中原有           升酒． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，是基础题． 设壶中原有升酒，由在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：设壶中原有升酒，根据题意得， 解得， 故李白的酒壶中原有升酒． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知等式． 当时等式成立，求的值及使等式成立的其他的值． 若对任意的实数等式均不成立，求的值． 【答案】解：，使等式成立的其他的值为． ，． 【解析】提示：等式可看作关于的方程，即，当时，该方程无解 10.本小题分 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知座客车租金为每辆元，座客车租金为每辆元，问： 这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆座客车？ 若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】解：设原计划租用座客车辆， 则，解得，  则这批游客的人数为  故这批游客的人数是，原计划租用辆座客车． 由题意知，若租用座客车， 则至少需要辆，费用为元，  若租用座客车，则至少需要辆， 费用为元．  ， 故租用辆座客车才合算．  【解析】设原计划租用座客车辆，则，解得，  则这批游客的人数为  故这批游客的人数是，原计划租用辆座客车． 由题意知，若租用座客车，则至少需要辆，费用为元，  若租用座客车，则至少需要辆，费用为元．  ，故租用辆座客车才合算． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课堂培优提升限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为(     ) A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 2.下列变形中，正确的是(     ) A. 若，那么 B. 若，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 3.若=，则的值是(     ) A. B. C. D. 4.已知实数，满足，则的值是(     ) A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列式子中变形正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.要在二次三项式的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么这些数可以是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是多项式的一个因式，则           ． 8.算法统宗中记有“李白沽酒”的故事诗云：今携一壶酒，游春郊外走逢朋加一倍，入店饮半斗相逢三处店，饮尽壶中酒试问能算士：如何知原有？古代一斗是升大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的升酒按照这样的约定，在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒则李白的酒壶中原有            升酒． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知等式． 当时等式成立，求的值及使等式成立的其他的值． 若对任意的实数等式均不成立，求的值． 10.本小题分某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知座客车租金为每辆元，座客车租金为每辆元，问： 这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆座客车？ 若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课堂培优提升限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为(     ) A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 2.下列变形中，正确的是(     ) A. 若，那么B. 若，那么 C. 若，那么D. 若，那么 3.若多项式因式分解的结果是，则的值是(     ) A. B. C. D. 4.已知实数，满足，则的值是(     ) A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列式子中变形正确的是(      ) A. 若，则B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.要在二次三项式的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么这些数可以是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是多项式的一个因式，则           ． 8.算法统宗中记有“李白沽酒”的故事诗云：今携一壶酒，游春郊外走逢朋加一倍，入店饮半斗相逢三处店，饮尽壶中酒试问能算士：如何知原有？古代一斗是升大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的升酒按照这样的约定，在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒则李白的酒壶中原有            升酒． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知等式． 当时等式成立，求的值及使等式成立的其他的值． 若对任意的实数等式均不成立，求的值． 10.本小题分某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知座客车租金为每辆元，座客车租金为每辆元，问： 这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆座客车？ 若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $