精品解析：湖南长沙市宁乡市第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末调研考试数学试卷

2026年上学期宁乡市高一期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先通过复数乘法运算化简复数，求出其在复平面内对应点的坐标，即可判断所在象限 【详解】因为， 所以对应点的坐标为， 位于第二象限. 2. 树人中学高一、高二、高三年级共有学生1000名，其中高一年级370人，高二年级380人，现用分层随机抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级中抽取的学生人数为（ ） A. 25 B. 35 C. 37 D. 38 【答案】A 【解析】 【分析】先计算高三年级总人数，再根据分层抽样的等比例抽样特性求解高三应抽取的人数. 【详解】计算高三年级总人数： 已知全校总人数为1000名，高一年级370人，高二年级380人，因此高三年级人数为：  ， 分层随机抽样的各层抽样比与总体抽样比一致，本次抽样的总体抽样比为样本容量与总体容量的比值，即：  ， 用高三年级总人数乘以抽样比，得：  因此应在高三年级抽取25名学生. 3. 掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与不互斥 D. 与相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． 4. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分数据如下： 7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0 则该组数据的第75百分位数是（ ） A. 8.2 B. 8.3 C. 8.4 D. 8.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，由百分位数定义求解即可． 【详解】数据从小到大排列如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0， 而，则该组数据的第75百分位数是第8个数据，为. 5. 在长方体的各条棱所在的直线中，与异面且垂直的直线有（ ）条． A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】在长方体的各条棱所在的直线中， 与异面且垂直的直线是，共4条. 6. 已知向量，满足，，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 则． 7. 如图，在中，，点是的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 8. 在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，可证得二面角的平面角为进行求解即可． 【详解】如图所示： 取的中点，连接，因为平面，平面， 所以， 因为，为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为 所以， 因为，所以， 因为二面角为锐二面角，所以， 故二面角的大小为． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 平面中相反向量的长度一定相等 B. C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查平面向量的基本概念、三角不等式及平行向量的性质，结合向量相关定义逐一判断选项即可 【详解】选项A：根据相反向量的定义，相反向量是长度相等、方向相反的向量，因此其长度一定相等，该选项正确； 选项B：该式为平面向量的三角不等式，对任意平面向量均成立，当且仅当与同向时取等号，该选项正确； 选项C：向量是既有大小又有方向的量，方向无法比较大小，因此向量之间不能直接比较大小，仅向量的模长可比较大小，该选项错误； 选项D：若为零向量，由于零向量和任意向量都平行，此时即使满足、，与也不一定平行，该选项错误. 10. 某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为0.030 B. 估计这批零食的平均质量为84克 C. 估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D. 在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据商品的质量都在50克至100克之间的频率和为1可求得值，以此判断A；按照频率分布直方图中平均数算法计算可判断B；按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断C．计算质量在区间的频率，然后可计算该区间件数，以此判断D； 【详解】根据商品的质量都在50克至100克之间的频率和为1可得，解得，所以A正确； 对于B：估计这批零食的平均质量为克，故B正确； 对于C：， 估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为克，故C错误． 对于D：在被抽取的零食中，质量在区间的件数为件，故D正确． 11. 如图所示，正方体中，，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 与的夹角为 C. 平面 D. 四面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，结合线面垂直的判定定理、异面直线夹角的定义、面面平行的性质以及棱锥体积公式，对各个选项逐一分析判断. 【详解】对于A，在正方体中，底面是正方形，所以. 又因为侧棱平面，且平面，所以. 因为，且平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为，所以与的夹角即为与的夹角.连接， 在中， ，所以为等边三角形，，故B错误； 对于C，在正方体中，，平面，平面，所以平面. 同理，，可得平面. 因为，平面，所以平面平面. 又因为在上，所以平面，∴平面，故C正确； 对于D，四面体的体积.  在中，，设点到直线的距离为. 在等边中，，∴. ∴. 易得平面，设点到平面（即平面）的距离为， 点到平面（即平面）的距离为，则. 由得， 即，解得，故， 所以，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的数量积公式求解． 【详解】， 由，得， 得，得． 13. 已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，得到，求得，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得， 所以， 则该圆锥的高为． 14. 已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由韦恩图结合古典概型概率公式求解即可． 【详解】由及，得， , . 则， 得． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四边形的顶点，，． （1）已知，求的值； （2）若，四边形构成平行四边形，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的数量积公式求解； （2）由相等向量进行求解． 【小问1详解】 ， ， 由，得，得， 得． 【小问2详解】 若，得，设的坐标为， 因为四边形构成平行四边形，所以， 则， 得，得，故的坐标为． 16. 一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． （1）采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 【小问1详解】 一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为：，共14种， 故． 【小问2详解】 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为：共15种， 故． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求； （2）若，，D是的中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式得，进行求解． (2)由余弦定理求出，再由平面向量的数量积公式求解． 【小问1详解】 由得，， 得，因为，所以，得． 【小问2详解】 如图所示： 由余弦定理得，， 得， 得， 因为，所以， 则． 18. 如图，是的直径，点是圆周上不同于，的动点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角； （3）若，求三棱锥的外接球体积． 【答案】（1）由是的直径，点是圆周上不同于，的动点，得， 由垂直于所在平面，在所在平面内，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出线面角的大小. （3）确定三棱锥外接球的球心并求出半径，进而求出球的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由，得，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 因此是直线与平面所成角，令，则 ，于是，， 所以直线与平面所成角为. 【小问3详解】 取中点，连接，由（1）得，， 则，三棱锥的外接球的球心为， 由，得， 所以三棱锥的外接球体积. 19. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令（）． （1）求，的虚部； （2）证明：（，）； （3）复数（，）与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转（）后得到点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 【答案】（1）， （2） . （3）（i）因为， 所以. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉公式直接写出复数的虚部. （2）根据复数的乘法公式，结合两角和的三角公式进行证明. （3）（i）利用复数乘法运算法则结合复数相等的概念证明.（ii）利用（i）的结论，先判断的形状，再求其面积. 【小问1详解】 由题意，的虚部为； 因为， 所以的虚部为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）如图： 因为，所以. 取点，则对应向量，对应向量， 由（i）得，所以. 所以是边长为1的等边三角形， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期宁乡市高一期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 树人中学高一、高二、高三年级共有学生1000名，其中高一年级370人，高二年级380人，现用分层随机抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级中抽取的学生人数为（ ） A. 25 B. 35 C. 37 D. 38 3. 掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与不互斥 D. 与相互独立 4. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分数据如下： 7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0 则该组数据的第75百分位数是（ ） A. 8.2 B. 8.3 C. 8.4 D. 8.5 5. 在长方体的各条棱所在的直线中，与异面且垂直的直线有（ ）条． A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 6. 已知向量，满足，，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，在中，，点是的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 平面中相反向量的长度一定相等 B. C. 若，则 D. 若，，则 10. 某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为0.030 B. 估计这批零食的平均质量为84克 C. 估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D. 在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 11. 如图所示，正方体中，，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 与的夹角为 C. 平面 D. 四面体的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知平面向量，，若，则______． 13. 已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为______． 14. 已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四边形的顶点，，． （1）已知，求的值； （2）若，四边形构成平行四边形，求的坐标． 16. 一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． （1）采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求； （2）若，，D是的中点，求． 18. 如图，是的直径，点是圆周上不同于，的动点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角； （3）若，求三棱锥的外接球体积． 19. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令（）． （1）求，的虚部； （2）证明：（，）； （3）复数（，）与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转（）后得到点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $