5.4一元一次方程的解法核心知识点讲解及练习2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 浙教版七年级上册数学一元一次方程解法同步练，以“基础巩固-中档综合-提升探究”三阶分层设计，覆盖解法全流程，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|解一元一次方程基本步骤（去分母、去括号等）|选择题1-5直接考查步骤规范性，解答题17要求用等式性质求解并检验，夯实运算能力| |中档综合|易错点（移项变号等）、解的情况（唯一解/无解）|填空题12-14结合同类项、正整数解，解答题18-19关联同解问题，培养推理意识| |提升探究|跨知识综合（如立方根）、创新情境（绝对值方程）|解答题21-22设计规律探究与分类讨论，选择9-10涉及整数解参数问题，发展创新意识|

5.4一元一次方程的解法核心知识点讲解及练习 2026-2027学年浙教版数学七年级上册 知识点一：解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x=a的形式。 知识点二：解一元一次方程的一般步骤 步骤 名 称 方 法 注意事项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） ①不含分母的项也要乘以最小公倍数 ②分子是多项式的一定要先用括号括起来 2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号时，不要漏乘括号内的项；若括号前为“-”号，括号内各项要改变符号 3 移 项 把未知数移到方程的一边（左边），把常数项移到另一边（右边） 移项一定要改变符号 4 合并同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数—分母） 要点：解方程时，表格中有些变形步骤可能用不到，且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活运用求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。 知识点三：易错点 1.移项时忘记改变符号。 2.去分母时，容易忘记将某些整式也乘最简公分母。 3.分数线兼有括号的作用，在去分母后，容易忘记添加。 知识点四：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 1.a≠0时，方程有唯一解x= 。 2.a＝0，b=0时，方程有无数个解。 3.a＝0，b≠0时，方程无解。 本节综合运用： 一、选择题 1.在解方程时，去括号正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解。方程去括号得到结果，即可做出判断。 【详解】解：将方程去括号，得， 故选：D。 2.方程的解为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键。 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 故选：C。 3.若一元一次方程的解为，则的值为（    ）。 A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程解的综合应用（已知一元一次方程的解，求参数），熟练掌握方程的解的定义是解题的关键。由方程的解的定义可得，解方程即可求出的值。 【详解】解：一元一次方程的解为， ， 解得：， 故选：。 4.下列是小明同学做的四道解方程的题目，其中错误的是（     ）。 A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 【答案】B 【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算逐一判断即可解答。 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故符合题意； C.，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故选：B。 5.下列变形正确的是（     ）。 A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键。根据各方程变形得到结果后，依次判断即可。 【详解】解：A.由，移项得，不符合题意； B.由，去括号得，符合题意； C.由，去分母得，不符合题意； D.由，系数化为得，不符合题意； 故选：B。 6.已知单项式与是同类项，则的值是（ 　）。 A．0 B．3 C．0或3 D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项，解一元一次方程，代数式求值。先由同类项的定义得到，，求出m，n的值后再代入式子即可解答。 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D。 7.关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　 　）。 A．0 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可。 【详解】解：解方程得，x＝， ∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数， ∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4， ∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5， ∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6， 故选：C。 8.下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（    ）。 A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，去分母得 D．方程，系数化为1得 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握相关知识。根据去分母、去括号、移项及系数化为1的步骤逐一判断即可。 【详解】解：A.方程，移项得，步骤正确； B.方程，去括号时右边应为（即），但选项写为（即），去括号错误； C.方程，去分母时应两边同乘，得，但选项右边仍为，未乘，步骤错误； D.方程，系数化为1时，应得，但选项直接写，计算错误； 故选：A。 9.整数满足，若使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由整数满足，先确定，由方程的解为整数，可得，由是9的约数，求出，结合条件求出即可。 【详解】∵整数满足， ∴或， ∴， ∵， 整理得， ∴， ∵是9的约数， ∴， ∴， 则满足条件的所有整数的个数是3个， 故选择：C。 10.关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　 　）。 A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键。通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值。 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）， 15的约数为； 令，则， 代入值求， 时，， 时，， 时，， 时，（舍去）； 时，， 时，（舍去）； 时，， 时，（舍去）； ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9， 其和为， 故选：D。 二、填空题 11.方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是，那么▲处的数字是 。 【答案】4 【分析】把代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字。 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为：4。 12.已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的整数的值是______。 【答案】， 【分析】先求出方程的解，再根据要求作答即可。 【详解】解：关于的方程的解为， 关于的方程有正整数解， 满足条件的整数的值有：，， 故答案为：，。 13.对于两个非零有理数a、b，规定，若，则___________。 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元一次方程，根据新定义得出，即，解一元一次方程即可得出答案。 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，故答案为：4。 14.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是______。 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程定义，熟记一元一次方程定义是解决问题的关键。 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，列出方程求解即可得到答案。 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 由得或， 由得， ， 故答案为：。 15.若关于的方程有无数个解，则的值为______。 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程移项，合并同类项后根据题意求得，的值，将其代入中计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：， ， ， ∵该方程有无数个解， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：。 16.若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是______。 【答案】45 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题。 【详解】解：， ， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：45。 三、解答题 17.利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程。 （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握。 （1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时除以； （3）在等式的两边两边同时减去5； （4）在等式的两边同时加上，再减去6，然后再除以5。 【详解】（1）解：原方程两边同时减去3可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （2）解：原方程两边同时除以可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （3）解：原方程两边同时减去5可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （4）解：原方程两边同时加上得：， 原方程两边同时减去6可得：， 原方程两边同时除以5可得：， 当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解为。 18.已知方程与关于的方程的解相同，求的值。 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得。 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键。 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得。 19.关于x的一元一次方程，其中m是正整数。 （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求m的值。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）解一元一次方程即可； （2）把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可。 【详解】（1）解：当时，原方程为， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 当时，方程的解是； （2）解：去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 是正整数，方程有正整数解， 。 20.如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值。 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据倒数的性质得到新的方程是解题的关键。 分别求出每个方程的解，然后根据倒数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可。 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 因为两个方程的解互为倒数，所以， 解得。 21.我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？ （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值。 【答案】（1），，，，因此结论成立（举例不唯一） （2） 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可； （2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出的值，再计算即可。 【详解】（1）略 （2）解：由（1）验证的结果可得， 去分母，得， 去括号、移项，合并同类项，得， 故。 22.在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合。 故原方程的解为或。 运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：。 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可。 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合； 故原方程的解为或。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4一元一次方程的解法核心知识点讲解及练习 2026-2027学年浙教版数学七年级上册 知识点一：解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x=a的形式。 知识点二：解一元一次方程的一般步骤 步骤 名 称 方 法 注意事项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） ①不含分母的项也要乘以最小公倍数 ②分子是多项式的一定要先用括号括起来 2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号时，不要漏乘括号内的项；若括号前为“-”号，括号内各项要改变符号 3 移 项 把未知数移到方程的一边（左边），把常数项移到另一边（右边） 移项一定要改变符号 4 合并同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数—分母） 要点：解方程时，表格中有些变形步骤可能用不到，且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活运用求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。 知识点三：易错点 1.移项时忘记改变符号。 2.去分母时，容易忘记将某些整式也乘最简公分母。 3.分数线兼有括号的作用，在去分母后，容易忘记添加。 知识点四：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 1.a≠0时，方程有唯一解x= 。 2.a＝0，b=0时，方程有无数个解。 3.a＝0，b≠0时，方程无解。 本节综合运用： 一、选择题 1.在解方程时，去括号正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2.方程的解为（    ）。 A． B． C． D． 3.若一元一次方程的解为，则的值为（    ）。 A．6 B． C．2 D． 4.下列是小明同学做的四道解方程的题目，其中错误的是（     ）。 A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 5.下列变形正确的是（     ）。 A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 6.已知单项式与是同类项，则的值是（ 　）。 A．0 B．3 C．0或3 D． 7.关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　 　）。 A．0 B．4 C．6 D．10 8.下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（    ）。 A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，去分母得 D．方程，系数化为1得 9.整数满足，若使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 10.关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　 　）。 A．12 B．13 C．18 D．19 二、填空题 11.方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是，那么▲处的数字是 。 12.已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的整数的值是______。 13.对于两个非零有理数a、b，规定，若，则___________。 14.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是______。 15.若关于的方程有无数个解，则的值为______。 16.若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是______。 三、解答题 17.利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程。 （1）； （2）； （3）； （4）。 18.已知方程与关于的方程的解相同，求的值。 19.关于x的一元一次方程，其中m是正整数。 （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求m的值。 20.如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值。 21.我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？ （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值。 22.在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合。 故原方程的解为或。 运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $