第10讲 二次函数y＝ax²+bx+c的图象和性质（暑假预习跟踪训练） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心概念与性质，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，构建从单一知识点到跨情境问题解决的递进路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|坐标特征、图像性质|选择填空结合概念辨析，强化符号意识| |综合应用|解析式求解、图像平移|解答题整合运算与推理，提升逻辑思维| |拓展提升|最值问题、实际应用|几何情境题融合空间观念，发展创新意识|

第10讲 二次函数y＝ax2＋bx+c的图象和性质（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象上点的坐标特征】 1．若点，，在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．已知二次函数的图象经过，，三个点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【题型2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 4．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝1或a＝2 5．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 6．已知函数（）的最大值与最小值的和为_________________． 【题型3 求二次函数解析式】 7．如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为（2，2），求抛物线的函数解析式． 8．已知二次函数当x=-1时，有最大值4，且当x=0时，y=3，求此二次函数的解析式. 9．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线．求抛物线的解析式．    10．已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【题型4 画二次函数y＝ax2+bx+c的图象】 11．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 12．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 13．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【题型5 二次函数的图象与性质的判断】 15．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 17．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 18．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【题型6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象的平移规律】 19．把抛物线y=－x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（    ） A．y=－x2+2 B．y=－x2+l C．y=－（x－2）2+1 D．y=－（x+2）2+3 20．抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B．先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 D．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 21．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（    ） A．先向右平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向左平移个单位，再向上平移个单位 D．先向左平移个单位，再向下平移个单位 【题型7 判断二次函数的图象】 22．如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 23．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 24．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型8 二次函数的图象与系数的关系判断】 25．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab、ac、a+b+c、a﹣b+c 、2a+b、2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（   ）   A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（　　）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 27．从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面5条信息：①；②；③；④；⑤.你认为其中正确的信息有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤． 你认为其中正确的信息是_______ 【题型9 二次函数最值问题】 29．已知二次函数，当，且， 时，y的最小值为，最大值为，则的值为　　． 30．二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【题型10 一般式】 31．已知二次函数的图象经过三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求出这个函数图象的顶点坐标． 32．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 33．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式． 【题型11 顶点式】 34．已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 35．已知一条抛物线经过，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（  ） A． B． C． D． 36．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【题型12 交点式】 37．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 38．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 课后作业 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数中的和满足下表，选项中正确的（   ） x 0 1 2 3 4 m 2 1 2 5 10 A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C． D．当时，随的增大而减小 3．在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为(x1，0)、(x2，0)，其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c＝0．其中，正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④ 5．若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 6．已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 7．已知关于的二次函数，其中为实数. （1）当取任意实数时，该二次函数有最小值为________； （2）当时，该二次函数有最小值10，则的值为________. 8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式． (1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为 ； (2)已知二次函数的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ； (3)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ； (4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ； (5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ； (6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则二次函数的解析式为 ； (7)将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 9．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 10．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA． （1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式； （2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标． 12．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 13．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数y＝ax2＋bx+c的图象和性质（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象上点的坐标特征】 1．若点，，在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据，根据离对称轴越远，函数值越大，可得，进而可得的范围 【详解】解：∵抛物线，的对称轴为直线， 点，，在抛物线上，且 而，， ∴， ∵， ∴或 解得：或，    故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．已知二次函数的图象经过，，三个点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求得对称轴为直线，再分和，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，点A离对称轴比点C近，点B在对称轴上， 当时，抛物线的开口向上，∵，∴， 当时，抛物线的开口向下，∵，∴， ∴A、若，则，选项A错误，不符合题意； B、若，则，选项B错误，不符合题意； C、若，则，选项C正确，符合题意； D、若，则，选项D错误，不符合题意， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】推导出抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得，需满足且，得到不等式组，求出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得， 当时，记函数值为，当时，记函数值为，当时，记函数值为， ∵点的纵坐标恒大于区间上任意点的纵坐标， ∴需满足且， ∵， ， ， ∴， 由①，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）； 由②，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴的解集为． ∵当时，，不在区间内，符合题意． 综上所述，a的取值范围是． 【题型2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 4．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝1或a＝2 【答案】D 【分析】先把抛物线转化为顶点式，再根据平移的规律得出平移后的抛物线，然后把（0，0）代入，解关于a的方程即可． 【详解】解：∵y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，∴将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位得到：y＝（x+﹣a）2﹣， ∵平移后的抛物线经过原点，∴0＝（0+﹣a）2﹣，解得a＝1或a＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移和一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握抛物线的平移规律：上加下减、左加右减和一元二次方程的解法是解题的关键． 5．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 故答案为：或． 6．已知函数（）的最大值与最小值的和为_________________． 【答案】10 【分析】根据二次函数的性质可得当时取得最小值，当时取得最大值14，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，当时取得最小值， 当时取得最大值14， ∴最大值与最小值的和为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的区间最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型3 求二次函数解析式】 7．如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为（2，2），求抛物线的函数解析式． 【答案】y＝（x﹣2）2＋2 【分析】根据抛物线的对称性求得BC＝4，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为（2，2），AD∥BC∥x轴， ∴BC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4， ∵A的坐标为（2，6）， ∴D（6，6）， 设抛物线为y＝a（x﹣2）2＋2， 代入D的坐标得6＝16a＋2， 解得a＝， ∴抛物线的函数解析式为y＝（x﹣2）2＋2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，待定系数法求解二次函数解析式，解题的关键是根据二次函数和平行四边形的性质求得点的坐标． 8．已知二次函数当x=-1时，有最大值4，且当x=0时，y=3，求此二次函数的解析式. 【答案】 【详解】试题分析：由当x=-1时，y有最大值是4，可知二次函数的顶点坐标为（-1，4），设二次函数y=a(x+1)2+4，代入（0，3）求得a的数值即可． 试题解析：设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4， 把点(0，3)代入得， a(0+1)2+4=3， 解得a=−1. 所以二次函数解析式为y=− (x+1)2+4. 9．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线．求抛物线的解析式．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴是直线，设出解析式为，待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴设抛物线的解析式是为， ∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式．解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 10．已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据，，利用待定系数法求出的值，由此即可得； （2）先根据点坐标的平移可得点平移后的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得； （3）先求出当时的函数值与当时的函数值相等，据此分三种情况：①，②和③，再利用二次函数的增减性求出最大值与最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：把，代入二次函数得：， 解得， 则． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的点的坐标为，即， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为4． （3）解：当时，， 当时，， 将二次函数化成顶点式为， ∴二次函数的对称轴为直线；当时，， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ①当时，在内，随的增大而减小， 则此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得，与题设不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（不符合，舍去）； 综上，的取值范围为． 【题型4 画二次函数y＝ax2+bx+c的图象】 11．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 12．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 13．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 【题型5 二次函数的图象与性质的判断】 15．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 17．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 18．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【题型6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象的平移规律】 19．把抛物线y=－x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（    ） A．y=－x2+2 B．y=－x2+l C．y=－（x－2）2+1 D．y=－（x+2）2+3 【答案】D 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】将抛物线y＝-x2向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝-(x＋2)2； 将抛物线y＝-(x＋2)2向上平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝-(x＋2)2＋3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移的规律是解题的关键． 20．抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B．先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 D．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 【答案】C 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵平移后的抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为 ∴平移方法为向右平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 21．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（    ） A．先向右平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向左平移个单位，再向上平移个单位 D．先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线可化为 ∴其顶点坐标为：(2,−1)， ∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键. 【题型7 判断二次函数的图象】 22．如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A． 故选：A． 23．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意； 故选：A． 24．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 【题型8 二次函数的图象与系数的关系判断】 25．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab、ac、a+b+c、a﹣b+c 、2a+b、2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（   ）   A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上可以推出c＜0，然后就可以判定ac的符号；由对称轴为x=﹣＞0可以判定ab的符号；观察图象知，当x=1时，y=a+b+c＞0，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0；由对称轴为x=﹣＜1，a＜0可以判定2a+b的符号；由a＜0，b＞0可以判定2a﹣b的符号. 【详解】∵抛物线的开口向下，   ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∴ac＞0， ∵对称轴为x=﹣＞0， ∴a、b异号， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴ab＜0， 观察图象知，当x=1时，y=a+b+c＞0，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∵对称轴为x=﹣＜1，a＜0， ∴2a+b＜0， ∵a＜0，b＞0， ∴2a﹣b＜0 ∴有2个正确. 故选：A． 【点睛】本题考查由二次函数图象确定式子的符号，关键是熟悉二次函数的图象与性质，充分利用数形结合． 26．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（　　）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＜0，根据图象与y轴交点可得c＞0，再根据二次函数的对称轴x＝﹣，结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得y＝a﹣b+c，再结合图象判断出②的正误；把b＝﹣2a代入a﹣b+c中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误． 【详解】解：根据图象可得：a＜0，c＞0， 对称轴：x＝﹣＝1， b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①正确； 把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c， 由图象可以看出当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 故②正确； ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0， 即：3a+c＜0，故③正确； 由图形可以直接看出④错误． 正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b b和二次项系数共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即，对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即，对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 27．从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面5条信息：①；②；③；④；⑤.你认为其中正确的信息有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】观察图象易得a＞0，－＝＞0，所以3b＝－2a，b＜0，所以2a＋3b＝0，故④正确，而当x＝0时，y＝c＜0，故abc＞0，故①正确，②错误，当x＝－1时，y＝a－b＋c，而点（－1，a－b＋c）在第二象限，故可以判定a－b＋c＞0，故③正确，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝2×（－3b）＋2b＋c＝c－4b，由点（2，c－4b）在第一象限可以判定c－4b＞0，故⑤正确，从而得到答案. 【详解】∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵－＝，∴3b＝－2a，b＜0，∴2a＋3b＝0，abc＞0，故①④正确，②错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c，而点（－1，a－b＋c）在第二象限，故可以判定a－b＋c＞0，故③正确；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝2×（－3b）＋2b＋c＝c－4b，由点（2，c－4b）在第一象限可以判定c－4b＞0，故⑤正确；综上所述，正确的有①③④⑤，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象以及基本性质，解本题的要点在于从函数图象中获取信息的能力. 28．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤． 你认为其中正确的信息是_______ 【答案】①②③④⑤ 【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a<0. ∵对称轴x=−=−，∴b=a<0，∴ab>0.故①正确； ②如图，当x=1时，y<0，即a+b+c<0.故②正确； ③如图，当x=−1时，y=a−b+c>0， ∴2a−2b+2c>0，即3b−2b+2c>0，∴b+2c>0.故③正确； ④如图，当x=−1时，y>0，即a−b+c>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0. ∵b<0，∴c−b>0，∴(a−b+c)+(c−b)+2c>0，即a−2b+4c>0.故④正确； ⑤如图，对称轴x=−=−，则a=b.故⑤正确． 故答案为①②③④⑤ 点睛：此题考查二次函数的性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【题型9 二次函数最值问题】 29．已知二次函数，当，且， 时，y的最小值为，最大值为，则的值为　　． 【答案】或 【分析】由于，可以知道m、n同号可以有以下情况， ①m、n在对称轴两侧，即 ，此时 的最小值在 取得，解得 ，最大值在m、n两处较大的点处，解得 ，故 ②m、n在对称轴同侧，即在右侧，此时在 取最小值，解得 ，在 取最大值，解得 ，故 【详解】解：二次函数的大致图象如下： mn＞0，则m、n同号， ①当m、n在对称轴的两侧时，即 则当 时，y取得最小时，即 ，解得： 若函数在m处y取得最大值时，即，把代入解得：n＝﹣成立； 若函数在n处y取得最大值时，即，解得：，不成立，舍去． 综上，n＝﹣，故mn＝； ②当m、n在对称轴的右侧时，即 则 时，函数y取得最小值，即，解得：或（舍去）； 时，函数y取得最大值，即，解得：n＝±（舍去负值）， 故． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，熟练掌握分类讨论求二次函数最值的方法是解题得关键． 30．二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则， 解得：，， 时，函数值的最小值为6， 或， 或． 故选：D． 【题型10 一般式】 31．已知二次函数的图象经过三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求出这个函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求二次函数的解析式为，再把代入函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式； （2）把解析式配方即可得出结论． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 根据题意，得：， 解得：， ∴所求二次函数的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为：． 32．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数表达式为，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】设所求二次函数的表达式为，然后将，，三点，代入可求出解析式，再将表达式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设所求二次函数的表达式为． 将三点，，的坐标分别代入表达式，得 解这个方程组，得 所以，所求二次函数表达式为． 因为， 所以，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的基本方法是解题的关键． 33．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式． 【答案】（1）C点的坐标为（0，5）；（2）y＝﹣x2+x+5． 【分析】（1）先求出AB，再求出OC，即可得出C的坐标； （2）把A、B、C的坐标代入函数解析式，即可求出a、b、c的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AB＝1+4＝5， ∵AB＝OC， ∴OC＝5， ∴C点的坐标为（0，5）； （2）设过A、B、C点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 把A、B、C的坐标代入得：， 解得：a＝﹣，b＝，c＝5， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． 【题型11 顶点式】 34．已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 35．已知一条抛物线经过，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x-3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式． 【详解】∵F（2，2），G（4，2）， ∴F和G点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴H（3，1）点为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+1， 把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x-3）2+1． 故选C． 【点睛】考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 36．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键． 由题意得，二次函数的对称轴为直线，可求出的值，把点代入解析式，得，由此可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为：直线， 则， 解得：， 把点代入解析式，得， 故这个二次函数的表达式为， 故选：B． 【题型12 交点式】 37．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设函数解析式为，将点代入即可求得a的值，可得结果． 【详解】解：设抛物线函数解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 整理得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键． 38．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，当ax2+bx+c=-3即y=-3，由此得到其中一个解x=0，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可； 【详解】解：（1）把点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c得， 解得 抛物线解析式为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 方程ax2+bx+c=-3的解即y=-3时x的值，由图象可知，抛物线与y轴的交点为（0，-3） 根据抛物线的对称性可得，抛物线与直线y=-3的另一个交点为（2，-3） 故得到方程ax2+bx+c=-3的解为， 故答案为：，； 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 课后作业 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，先求出原抛物线顶点坐标，再根据点坐标“左右平移横坐标相减加，上下平移纵坐标相加减”求出平移后的抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为，即， 故选B． 2．已知二次函数中的和满足下表，选项中正确的（   ） x 0 1 2 3 4 m 2 1 2 5 10 A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据表格即可求解． 【详解】解：根据表格可知当时，，当时，， 则抛物线的对称轴是直线，故B错误； 当时，，故当时，，即，故C错误； 根据表格可知当时，随的增大而增大，故当时，随的增大而减小，则抛物线开口向上， 故A错误，D正确； 故选：D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的与一次函数的图象的综合，先分析每个选项的一次函数的图象得出的情况，再判断二次函数的图象是否符合要求，如果符合要求，即为正确的选项，否则是错误的选项，即可作答． 【详解】解：A、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，符合题意； B、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意； C、由一次函数经过第一、二、三象限，得出，则二次函数的开口向上，且对称轴，不符合题意； D、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意； 故选：A． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为(x1，0)、(x2，0)，其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c＝0．其中，正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故①正确； ∵该函数图象的对称轴是x=-1，当x=0时的函数值小于-1， ∴x=-2时的函数值和x=0时的函数值相等，都小于-1， ∴4a-2b+c＜-1，故②错误； ∵该函数图象的对称轴是x=-1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1， ∴-3＜x，1＜-2，故③正确； ∵当x=-1时，该函数取得最小值， ∴当m为任意实数时，a-b≤am2+bm，故④正确； ∵-=-1， ∴b=2a， ∵x=1时，y=a+b+c＞0， ∴3a+c＞0，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据对称轴可知的关系式，进而即可求解 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ∴对称轴为直线， 即， 解得， 将点代入二次函数 得， ． 6．已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数值大小的比较． 通过将点代入二次函数解析式，得到，然后计算与的差值，得到，代入均大于0，故． 【详解】解：由点在二次函数图象上， 代入得， 化简得，即， ∵ ∴ 当时，； 当时，， 故，即 故答案为：． 7．已知关于的二次函数，其中为实数. （1）当取任意实数时，该二次函数有最小值为________； （2）当时，该二次函数有最小值10，则的值为________. 【答案】 1 或5 【分析】（1）运用配方法，将解析式化为顶点式，可知二次函数极值与参数m无关； （2）根据（1）可知，要使最小值为10，则或，分情况讨论：在两种情况下，根据增减性，分别确定自变量取值范围内最小值情况，建立方程求解． 【详解】（1）∵，又抛物线开口向上， ∴取任意实数时，函数有最小值1. （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 当时，最小值为1； 当，时，为最小值，解得（舍去）或. 当，时，为最小值，解得或（舍去）. 综上所述，的值为或5. 【点睛】本题考查一元二次方程、配方法，二次函数的性质，注意根据增减性确定自变量取值范围内的函数极值是解题的关键． 8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式． (1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为 ； (2)已知二次函数的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ； (3)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ； (4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ； (5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ； (6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则二次函数的解析式为 ； (7)将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 【答案】(1)y＝ (2)y＝ (3)y＝ (4)y＝ (5)y＝ (6)y＝ (7) 【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝，把点(2，－4)代入求得a的值，即可得到答案； （2）设二次函数的解析式为y＝，把点(1，4)代入求得a的值，即可得到答案； （3）设二次函数的解析式为y＝，把点(1，－4)代入求得a的值，即可得到答案； （4）设二次函数的解析式为y＝，把点(0，3)代入求得a的值，即可得到答案； （5）设二次函数的解析式为y＝，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得到方程组，解方程组即可得到答案； （6）先求出点C的坐标为（0，2），设二次函数的解析式为y＝，根据已知的条件得到方程组，解方程组即可得到答案； （7）根据函数图象平移的规律即可得到答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y＝， 把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a， 解得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝； 故答案为：y＝ （2）解：设二次函数的解析式为y＝， 把点(1，4)代入得，4＝a＋2， 解得a＝2， ∴二次函数的解析式为y＝； 故答案为：y＝ （3）解：设二次函数的解析式为y＝， 把点(1，－4)代入得，﹣4＝， 解得a＝﹣4， ∴二次函数的解析式为y＝, 即y＝； 故答案为：y＝ （4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)， ∴可设二次函数的解析式为y＝， 把点(0，3)代入得，3＝， 解得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝， 即y＝； 故答案为：y＝ （5）解：设二次函数的解析式为y＝， 把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝； 故答案为：y＝ （6）解：∵与y轴正半轴交于点C，且OC＝2， ∴点C的坐标为（0，2）， 设二次函数的解析式为y＝， 则， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝； 故答案为：y＝ （7）解：将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 即抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象平移的规律求二次函数的解析式，根据条件设出合适的函数解析式是解题的关键． 9．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 【答案】或； 【分析】已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4）， ∵B（4，0），点C在y轴上，BC＝5， ∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， ①当C点坐标为（0，3）， 把（0，3）代入得a·（﹣1）·（﹣4）＝3， 解得a=， ∴此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）（x﹣4）=x2x+3； ②当C点坐标为（0，﹣3）， 把（0，﹣3）代入得a·（﹣1）·（﹣4）＝﹣3， 解得a， ∴此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3， ∴该二次函数的解析式为y=x2x+3或yx2x﹣3． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确地设出解析式，并求出C点坐标的两种情况再代入求解析式是解决本题的关键． 10．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA． （1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式； （2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x＋2；（2）点P的坐标为（1＋，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3） 【分析】（1）由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线PC的解析式，设P（m，﹣m2＋m＋2），然后表示出S△PCB，然后利用S△PCB求出m的值，即可求出P点的坐标． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA． ∴B（2，0），C（0，2）， 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x＋1）， 把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1， 所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x＋1）＝﹣x2＋x＋2； （2）如图， ∵S△ACB＝AB•OC＝×3×2＝3， ∴S△PCB＝S△ACB＝4， ∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2＋m＋2）， ∴直线PC为y＝（﹣m＋1）x＋2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2， ∴S△PCB＝BM•[2﹣（﹣m2＋m＋2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4， 解得：m1＝1＋，m2＝1﹣， ∴点P的坐标为（1＋，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知三角形的面积公式与解析式的求解方法． 12．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 13．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 试卷第48页，共48页 试卷第47页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $