25数学活动-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的探究与实际建模应用，课堂从点阵图形切入，通过观察点的排列规律衔接数列规律、图形计数等问题，搭建从方程解法到实际应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是以动手探究和数形结合为主线，如三角形点阵前n行点数和公式推导、正六边形点阵总点数计算等实例，培养学生用数学眼光观察规律（几何直观）、用数学思维推导公式（推理能力）、用数学语言建模求解（模型意识）。课堂小结明确核心公式，学生提升建模与探究能力，教师可高效开展实践教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 第25章 一元二次方程 全章综合练习题 全章核心知识点汇总 1. 一元二次方程概念：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程，一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。 2. 四种解法（由简到繁）：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 3. 根的判别式：$$\Delta=b^2-4ac$$，$$\Delta>0$$两不等实根，$$\Delta=0$$两相等实根，$$\Delta<0$$无实根。 4. 根与系数关系（韦达定理）：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}(\Delta\geq0)$$。 5. 实际应用：几何面积问题、传播与变化率问题、循环与数字问题。 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $$x+2y=3$$ B. $$x^2+2x=0$$ C. $$x+\dfrac{1}{x}=2$$ D. $$2x+1=0$$ 2. 一元二次方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数、常数项分别是（） A. 2、1 B. 2、-5 C. -5、1 D. 2、-1 3. 方程$$(x-1)^2=4$$的解为（） A. $$x_1=3，x_2=-1$$ B. $$x_1=3，x_2=1$$ C. $$x_1=-3，x_2=-1$$ D. $$x=3$$ 4. 用配方法解方程$$x^2-6x-2=0$$，配方后正确的是（） A. $$(x-3)^2=11$$ B. $$(x-3)^2=7$$ C. $$(x+3)^2=11$$ D. $$(x-6)^2=38$$ 5. 方程$$3x^2-2x+1=0$$的根的情况是（） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实数根 D. 无法判断 6. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+3=0$$的两根，则$$x_1+x_2=$$（） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 7. 适合用因式分解法求解的方程是（） A. $$x^2-4x+2=0$$ B. $$x^2+3x=0$$ C. $$x^2-5x+3=0$$ D. $$(x+1)^2=3$$ 8. 某种病毒两轮传染后由1人变为121人，设每轮传染$$x$$人，方程为（） A. $$1+2x=121$$ B. $$(1+x)^2=121$$ C. $$1+x^2=121$$ D. $$x^2=121$$ 9. 单循环球赛共36场，参赛队伍有（） A. 7支 B. 8支 C. 9支 D. 10支 10. 矩形长比宽多4，面积45，宽为（） A. 5 B. 9 C. 3 D. 7 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 方程$$x^2-9x=0$$的根为__________。 2. 一元二次方程求根公式：__________。 3. 若方程$$x^2+kx+4=0$$有两个相等实数根，则$$k=$$__________。 4. 连续两次降价，原价100元现价81元，平均降价率为__________。 5. 两位数，十位数字$$x$$，个位数字$$x+1$$，该两位数表示为__________。 三、解答题（共40分） 1.（16分）选用合适方法解下列一元二次方程。 （1）$$(x+2)^2=16$$ （2）$$x^2-5x+6=0$$ （3）$$2x^2-4x-1=0$$ （4）$$x^2+4x-5=0$$ 2.（8分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-6x+4=0$$的两根，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 3.（8分）几何应用：矩形空地长30m、宽20m，四周修等宽小路，剩余绿化面积416m²，求小路宽度。 4.（8分）增长率应用：某商店二月营业额40万元，四月营业额48.4万元，求二到四月月平均增长率。 数学活动 活动主题：一元二次方程的探究与实际建模应用 活动目标：1. 通过动手探究，掌握规律型数列的建模方法，熟练列写一元二次方程；2. 结合图形拼接、计数问题，体会数形结合思想；3. 运用一元二次方程解决规律探究、实际计数问题，提升数学建模能力。 活动一：数列规律探究——连续整数乘积问题 活动准备：回顾连续数字、自然数的规律特征，掌握一元二次方程建模步骤。 活动过程： 1. 观察思考：两个连续正整数的乘积依次为：1×2=2，2×3=6，3×4=12，4×5=20…… 2. 提出问题：是否存在两个连续正整数，它们的乘积等于210？ 3. 建模探究：设较小的正整数为$$x$$，则较大的连续正整数为$$x+1$$，根据题意列方程：$$x(x+1)=210$$。 4. 化简求解：整理方程得$$x^2+x-210=0$$，因式分解得$$(x+15)(x-14)=0$$，解得$$x_1=14$$，$$x_2=-15$$（正整数舍去）。 5. 活动结论：存在两个连续正整数14和15，乘积为210。 拓展探究：是否存在三个连续自然数，两两乘积之和为62？尝试自主建模求解。 活动二：图形计数探究——点阵与边框规律问题 活动原理：利用一元二次方程解决点阵个数、图形边框点数、图案递增规律问题，是数形结合的典型应用。 活动过程： 1. 模型观察：正方形点阵，第$$n$$个正方形点阵，每条边上有$$n$$个点，点阵总点数存在固定变化规律。现有一圈正方形边框点阵，总点数为48。 2. 规律推导：正方形四个顶点的点会重复计数，若每条边有$$x$$个点，则一圈边框总点数为$$4(x-1)$$。 3. 变式探究：若多层正方形点阵，最外层点阵总点数为60，设每条边点数为$$x$$，列方程求解边长点数。 4. 进阶建模：有一组递增正方形图案，第$$x$$个图案的小正方形总个数为$$x^2+2x$$，当总个数为80时，求图案序号$$x$$。 求解过程：列方程$$x^2+2x=80$$，配方得$$(x+1)^2=81$$，解得$$x_1=8$$，$$x_2=-10$$（舍去），即第8个图案满足条件。 活动三：综合实践——循环问题实操验证 活动场景：班级小组互动模拟握手问题，验证单循环公式。 活动步骤： 1. 小组内5名同学，两两握手，实际统计总握手次数； 2. 代入公式$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$计算，验证实际次数与计算结果是否一致； 3. 探究总结：当人数为$$x$$时，无重复双向互动问题均可用此公式建模，完美契合一元二次方程应用。 活动总结 1. 规律型、计数型、图形型实际问题，均可通过设未知数、找等量关系建立一元二次方程求解； 2. 解方程后必须结合实际意义取舍解（人数、边长、序号均为正整数）； 3. 数形结合、建模思想是一元二次方程实际应用的核心思想。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.A 二、填空题 1. $$x_1=0，x_2=9$$ 2. $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$ 3. $$\pm4$$ 4. 10% 5. $$11x+1$$ 三、解答题 1. 解：（1）直接开平方法：$$x+2=\pm4$$，$$x_1=2，x_2=-6$$； （2）因式分解法：$$(x-2)(x-3)=0$$，$$x_1=2，x_2=3$$； （3）公式法：$$\Delta=16+8=24$$，$$x=\dfrac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}$$； （4）因式分解法：$$(x+5)(x-1)=0$$，$$x_1=1，x_2=-5$$。 2. 解：由韦达定理得$$x_1+x_2=6，x_1x_2=4$$，原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-8=28$$。 3. 解：设小路宽$$x$$m，$$(30-2x)(20-2x)=416$$，整理得$$x^2-25x+86=0$$，解得$$x_1=2，x_2=23$$（舍去），答：小路宽2m。 4. 解：设月均增长率为$$x$$，$$40(1+x)^2=48.4$$，解得$$x=0.1=10\%$$，答：月平均增长率10%。 25数学活动 新课导入 导入课题 点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以组成一个点阵. 今天我们就来看看点阵中隐藏了什么有趣的数学规律. (1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律. (2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式. (3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题. (4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力. 活动目标 推进新课 图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……. 观察图形，完成下面各题. · ·· ··· ···· ····· ······ ······· …… 图 1 活 动 1 三角形点阵 ①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整 前n行数 1 2 3 4 5 … 10 … n 点数和 1 3 6 10 15 … … 55 ②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n. 由①知.前n行的点数和为 ，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24. ③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由. 前n行的点数和 ,解得n1= , n2= ,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600. ④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？ 前n行的点数和为 ⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由. 依题意，n(n+1)=600. 解得n1=24，n2=-25(舍去). 活 动 2 正六边形点阵 如图2 是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推. 图 2 ····· ······ ······· ········ ········· ········ ······· ······ ····· ①填写下表： 层 数 1 2 3 4 … 该层对应的点数 所有层的总点数 1 6 12 18 … 1 7 19 37 … ②第n层所对应的点数为 （n≥2）. ③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）； 6(n-1) 1+6×1+6×2+…+6(n-1) =1+6· =1+3n(n-1) ④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 1+3n(n-1)=331 化简方程为：n2-n-110=0 分解因式为：(n-11)(n+10)=0 解得：n1=11，n2=-10(舍去)， 所以共有11层. ⑤ 点阵设计大赛： 设计时间：5分钟. 设计要求： a .每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案. b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律. 随堂演练 1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律. （1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式； · ·· ··· ···· · ·· ··· · ·· · ①1=1； ②1+2= ； ③1+2+3= ； ④1+2+3+4= . 3 6 10 （2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式： 。 （3）2015是“三角形数”吗？为什么？ 1+2+3+…+9=45 解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式， 令2015= ， 解得n1= ，n2= . 因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数. （4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和. 结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式. ·· ·· · ··· ··· ··· ···· ···· ···· ···· ····· ····· ····· ····· ····· ①1=12； ②1+3=22； ③3+6=32； ④6+10=42； ⑤ . 10+15=52 （5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式： . （6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？ 解：是. ∵152=225. ∴225是“正方形数”. 由(5)得， ， ∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和. 2.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题： (1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)； (n+3) (n+2) (2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值； 解：(2)第n个图共有(n2+5n+6)块瓷砖. 由n2+5n+6=506. 解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20. (3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? 白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420, 黑瓷砖块数是506-420=86. 86×4+420×3=1604(元). 共需1604元钱购买瓷砖. (4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么? 在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1). 则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1) 化简得n2-3n-6=0 解得n1= , n2= . ∵n为正整数，不合题意. ∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形. 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( ) A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 A 二次项系数不为 0 m - 1 ≠ 0 m ≠ 1 中考考法 解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 考点一 一元二次方程的定义 中考考法 1. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根， 则 −a3 + 2a + 2026 的值为________. −1 2025 7 【练一练】 考点一 一元二次方程的定义 中考考法 考点二 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变 为 ( ) A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9 C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9 A A (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( ) A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 中考考法 例4 解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0． 解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0. 设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0. 换元法 解得 m1 = 3，m2 = 2. 当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1； 当 m = 2 时，x2 − 2x = 2，解得 x = 1± . x3 = 1 + ，x4 = 1− ． 综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = −1， 考点二 一元二次方程的解法 中考考法 2. 用适当的方法解方程： (1) x2 − 4x − 1 = 0； (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：(1) 配方，得 x2 - 4x + 22 = 5， 开平方，得 (x - 2)2 = 5. 解得 移项，得 x2 - 4x = 1. 即 a = 1，b = −4，c = −1. 公式法： Δ = 20＞0. 配方法： 考点二 一元二次方程的解法 中考考法 (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：直接开方法： 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2. (2x − 1)2 − (3 − x)2 = 0. 则 (2x − 1 − 3 + x) (2x − 1 + 3 − x) = 0， 即 3x − 4 = 0，或 x + 2 = 0. ∴ x1 = ，x2 = −2. 2x −1=±(3 - x)， 因式分解法： 考点二 一元二次方程的解法 中考考法 课堂小结 三角形点阵前n行数点数和 正六边形第n层所对应的点数（n≥2） 6(n-1) n层正六边形点阵的总点数（n≥2）； 1+3n(n-1) $