河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（8）--基本立体图形

**基本信息** 聚焦基本立体图形，通过辨析、计算、探究题梯度设计，强化空间观念与几何直观，适配新高二暑假自主学习巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正四棱柱定义、棱锥面数、旋转体形成等|通过反例辨析（如1题）考查概念准确性，结合图形（如2题）培养空间感知| |多选题|3/18|棱锥结构、截面形状判断等|多选项设置（如10题圆柱/三棱柱截面）考查推理严谨性| |填空题|3/15|正四棱锥高、表面最短距离等|13题直三棱柱展开体现转化思想，14题命题判断强化逻辑思维| |解答题|5/77|折叠问题、内接圆锥、侧面最短路径等|17题折叠实验培养动手能力，19题机械零件情境考查空间问题解决能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（8） 范围：基本立体图形 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 2．如图所示的棱锥有（   ）个面 A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列关于棱台的性质，不正确的是（    ） A．两底面相似 B．侧棱延长后交于一点 C．侧棱长都相等 D．侧面都是梯形 4．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．  C．   D．     5．一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A．10 B．12 C．20 D．15 6．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 7．已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（    ）. A． B． C． D． 8．如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ）   A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列结论正确的是（   ） A．存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B．以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 C．四棱柱共有8个顶点 D．有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 10．用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥 11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 13．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 14．下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．   16．(本小题15分）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 17．(本小题15分）在正方形中，分别为的中点，现在沿及把和折起，使三点重合，重合后的点记为． （1）依据题意制作这个几何体． （2）这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？ （3）若正方形的边长为，则每个面的三角形的面积为多少？ 18．(本小题17分）已知正方体内接于圆锥，如图所示． （1）试说明此几何体的结构特征． （2）若圆锥的高为，底面半径为，求正方体的棱长． 19．(本小题17分）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B B B A B BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．如图四棱柱，满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误；对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确．故选：D. 2．C 【详解】根据题意，图中的棱锥为一个四棱锥，由一个底面和四个侧面组成，共有5个面. 3．C 【详解】棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是梯形，故C不正确. 4．B 【详解】四边形是矩形，，，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体．故选：B． 5．B 【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4， 所以轴截面面积 . 6．B 【详解】 如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度， 由于圆台的上、下底面半径分别为，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为，高为，则，即，故B正确. 7．A 【详解】解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为d，则由已知 故选：A 8．B 【详解】由题可知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成. 9．BC 【详解】一个棱锥至少有4个面是三角形，A不正确. 以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱，B正确. 四棱柱共有8个顶点，C正确. 有一个侧面是矩形的四棱柱不一定是直四棱柱. 因为一个侧面是矩形，仅能保证该棱柱的侧棱垂直于底面对应的边，并不能保证侧棱垂直于底面，而直四棱柱的定义是侧棱垂直于底面，故D不正确. 10．ACD 【详解】对于A，过圆柱旋转轴的截面截圆柱所得截面为矩形，因此A正确； 对于B，截圆锥所得平面可以是三角形和曲边图形，不可能是矩形，即B错误； 对于C，在直三棱柱中，用平行于某一侧面的截面截三棱柱所得的截面可以为矩形，即C正确；对于D，在正四棱锥中，用平行于底面的截面截四棱锥可以得到矩形截面，即D正确.故选：ACD 11．ABD 【详解】当截面过体对角线，且不与任意正方体表面平行或垂直，则能得图形①； 当截面过体对角线，且与正方体上下表面垂直时，则能得图形②； 当截面与任意正方体表面平行时，可得到图形④； 对于③，不妨考虑此截面为经过正方体的四个顶点或的截面，但四边形和四边形不是正方形，其他情况也可同理得到，故截面不可能是③.故选：ABD 12． 【详解】设点在底面的射影为点，因为四棱锥是正四棱锥，所以点是正方形的对角线、的交点，连接， 由正方形的几何性质可知为的中点，所以， 故该四棱锥的高为. 13．5 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，，因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 14．②③ 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 15．【详解】如图，将以为轴旋转至与平面共面位置，旋转后的点记为， 由图可知，取的中点，连结， 由已知条件可知，，根据勾股定理可得，即的最小值为．    16．【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F，交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以，，，则截面的周长为. 17．【详解】（1） . （2）这个几何体有四个面，即面、面、面、面.由平面几何知识可知，， 所以为等腰三角形，，，为直角三角形. （3）因为，， 所以，，. 18．【详解】（1）该几何体是一个正方体内接于一个圆锥，其中正方体上底面的面对角线在圆锥的母线上，下底面位于圆锥的底面. （2）画出几何体的轴截面如下图所示，其中为正方体的面对角线，设正方体的边长为，则，依题意，且，即，解得. 19．【详解】（1）如图1，作交于， 易得，则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得，则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $