山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业18体积表面积

**基本信息** 聚焦空间几何体体积与表面积计算，覆盖柱锥台球及组合体，注重公式应用与综合转化，强化空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6|单一几何体公式应用（圆锥母线、三棱柱外接球等）|从基本公式到简单组合体，体现概念生成与直接应用| |多选题|2|综合判断（曲率、表面积体积综合）|融合空间几何性质与运算，构建逻辑联系| |填空题|2|体积比、直观图还原|深化空间想象与公式逆用，强化几何直观| |解答题|2|实际容器体积表面积计算|从数学模型到现实应用，发展应用意识与运算能力|

山西大学附中高一年级数学（必修二）暑假作业 编号18 体积与表面积 一、单选题 1．若圆锥的体积为，底面周长为，则其母线长为（   ） A．5 B．10 C．13 D．17 2．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 3．已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知正三棱柱的底面边长为，点到直线的距离为5，则该正三棱柱外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．把一个上底半径，下底半径，高为的玻璃圆台融化后铸成一个玻璃球（不计损耗）则球的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为 A． B． C． D． 二、多选题 7．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（    ） A．在四面体中，点的曲率为 B．在四面体中，点的曲率大于 C．四面体外接球的表面积为 D．四面体内切球半径的倒数为 8．如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）  A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 三、填空题 9．如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______. 10．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是腰长为2的等腰三角形（如图所示），且，则原平面图形的面积是__________． 四、解答题 11．如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 12．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高一年级数学（必修二）暑假作业 编号18 体积与表面积 1．C 【详解】记圆锥底面半径为，高为，由得， 由得，故母线长． 2．D 【分析】利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。 【详解】由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径. 计算， 故底面外接圆半径. 直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点， 故球心到底面的距离. 设球半径为，则. 球的表面积. 3．B 【分析】根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 4．B 【分析】先计算底面正三角形的外接圆半径，再结合点到直线的距离求出正三棱柱的高，进而得到外接球半径，最终计算外接球体积. 【详解】设底面的外接圆圆心为，正三棱柱的外接球球心为，为的中点，连接，过点作的垂线, 因为底面边长为，点到直线的距离为5， 则,, ， 所以， 所以, 故正三棱柱外接球的体积为. 5．C 【分析】应用圆台的体积公式及球的体积公式计算求解. 【详解】圆台体积公式得， 设球的半径为，再应用球的体积公式得，所以 6．C 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 7．ABD 【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项. 【详解】在正方体中，易证为正三角形，，， 在四面体中，点的曲率为，A选项正确； 在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确； 四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为， 四面体外接球的表面积为，C选项错误； 四面体的体积， 四面体的表面积， 四面体内切球的半径， 即，D选项正确； 故选：ABD. 8．BCD 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，根据比例关系可得挖去圆柱的半径和高，逐项求解即可. 【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，    对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确； 对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长， 则，故D正确. 故选：BCD. 9． 【详解】因为分别为的中点，则 所以，即. 10． 【分析】根据斜二测画法中原平面图形面积与直观图面积之间的关系求解. 【详解】由题意可知，，则， 可得， 所以原平面图形的面积是． 11．(1) (2)134.64元． 【详解】（1）有体积公式得， 又 所以 所以容器的体积． （2）由题意知， 又四棱台的侧面梯形的高为， 所以． 又 所以金属容器的表面积为． 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． 12．(1) (2)或 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 答案第2页，共6页 答案第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $