河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（6）-平面向量及其应用

**基本信息** 聚焦平面向量应用，通过几何图形（如三角形、正方形）、物理情境（水流速度、力的合成）及测量问题（塔高计算），考查数学思维与应用能力，题量适中，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量线性运算、解三角形基础|第7题结合仰角测量，体现数学眼光| |多选题|3/18|向量数量积、三角形形状判断|第10题水流速度问题，考查数学语言表达| |填空题|3/15|动点最值、面积计算|第12题正方形中点轨迹，培养几何直观| |解答题|5/77|向量与解三角形综合应用|第19题角平分线与中线问题，分层考查推理能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（6） 范围：平面向量应用 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在△中，，，，则（     ） A．或 B． C． D． 2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 3．在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 4．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，已知，则边a的值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，水平地面上有两座高塔，为测量塔高，选择水平地面上一点和另一座塔的塔顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.现已知塔高，则塔高（    ） A． B． C． D． 8．已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知点为外接圆的圆心，，，则（    ） A． B． C． D． 10．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（    ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 11．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为_____.   13．平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________. 14．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 16．(本小题15分）设的内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)求角； (3)若，的面积为，求. 17．(本小题15分）已知为坐标原点，定点，动点，函数． (1)求； (2)求的最小正周期和单调递增区间； (3)记的内角，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围． 18．(本小题17分）中，设角，，的对边分别为，，．已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 19．(本小题17分）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B A D BD BD 题号 答案 1．C 【详解】在△中，由正弦定理可得，又，，，所以，解得，又，所以，所以. 2．A 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，，设，则，，， 则 当，时，取得最小值，故选：A 3．D 【详解】在四边形中，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形； 又，得，故四边形为菱形. 4．B 【详解】解：两个力的夹角为，合力与的夹角为， 合力与的夹角为，那么的大小为． 5．C 【详解】由正弦定理知. 6．B 【详解】因为面积，只需求的最大值， 因为，，所以，A为钝角，B，C为锐角， ，代入已知条件得： ，， 所以，令，则，, , ,而由均值不等式，，时取等号，此时，，所以，由于B为锐角，所以，所以，所以. 7．A 【详解】在中，，，，故. 在中，由内角和得，根据正弦定理， 代入得. 在中，，，故 8．D 【详解】， 因为，所以，所以． 9．BD 【详解】令，则，所以（舍）或， 所以，所以.故选：BD. 10．BD 【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为， 根据向量的平行四边形法则可知：，设船的航行方向和水流方向的夹角为，所以，所以， 故选：BD. 11．BC 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 12．/ 【详解】由题可得， 则的最小值为的最小值，设为d， 则.故答案为： 13． 【详解】设的夹角为， 由得：. 可得，化简得，解得. 又因为，所以， 可得，所以. 14． 7 【详解】因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以，故； 则 ，因为为锐角三角形， 所以，解得，所以， 则，当时，取等号， 故的最小值为7. 15．【详解】（1） （2）， ， （3）设，由已知可得 ，即所以点的坐标是 16．【详解】（1）证明：在中，， ， .即. （2）由正弦定理， 将已知条件中的边化为角，得， 由（1）知，代入上式得， 即， 整理得， .， 又.，. （3），且，解得. 由余弦定理，得，即. 将代入上式，得，， ，， ，. 联立，解得. 17．【详解】（1）． （2），． 所以 ．所以最小正周期． 由，，得，． 所以的单调递增区间为，． （3）由，得，即， 因为，所以，所以，解得． 解法一：在中，由正弦定理得，， 则，， 因为，所以，，其中． ． 因为，所以，所以， 所以，所以的取值范围为． 解法二：由余弦定理得，，所以， 即，． 因为，即，， 即，当且仅当时取等号．又在中，， 所以的取值范围为． 18．【详解】（1）已知．由正弦定理，得. 又由余弦定理，则，因为，，所以. 又 ，故 ，从而. （2）由（1）知，所以． 又，且 ，所以. 由正弦定理，，因此. 由已知条件， 故.因为，，均为正数，所以. （3）由（1）知，故．因为 为锐角三角形，所以 由边上的高为，有． 于是三角形面积 又， 所以.当 时，故 当时取到等号，而不能取到．因此 所以面积的取值范围为 19．【详解】（1）因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． （2）由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $