精品解析：上海市闵行区部分学校2025届高三上学期1月调研数学试题

2024学年度第一学期高三1月调研 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设，不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式再进行求解； 【详解】， 即， 解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 2. 设，集合，，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，且， 所以. 故答案为：2. 3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 4. 若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 5. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 8. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 9. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米. 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 10. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可. 【详解】分四类讨论： ①当时，有6种情况； ②当时， 若，有5种选法； 若，有4种选法； 若，有3种选法； 若，有2种选法； 若，有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ③当时， 若，选择有5种选法； 若，选择有4种选法； 若，选择有3种选法； 若，选择有2种选法； 若，选择有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ④当时，有种， 综上，共有种. 故答案为：56. 11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件确定函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可. 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【解析】 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 14. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D 16. 若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题； C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在实数，使函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. 【小问2详解】 假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 18. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2）分布列见解析， （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】（1）焦点坐标为，渐近线方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【小问1详解】 双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； 【小问2详解】 设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． 【小问3详解】 设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 21. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若，，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】（1），固着点 （2） （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以 ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而 ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【小问1详解】 由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. 【小问2详解】 由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第一学期高三1月调研 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设，不等式的解集为______. 2. 设，集合，，若，则________． 3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________． 4. 若，则函数的最小正周期为____________． 5. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 8. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 9. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米. 10. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种. 11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 16. 若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题； C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 21. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若，，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $