1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定核心知识点，从生活情境引入命题否定概念，通过简单命题否定及真假关系铺垫，分两类命题总结否定形式规律，结合例题、练习及参数应用构建学习支架。 资料以师生对话情境引发思考，培养数学眼光，通过实例归纳否定规律提升数学思维（推理意识），用符号语言精准表达命题，课中辅助教师教学，课后通过练习和总结帮助学生查漏补缺。

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课标要求　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．　2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 有的老师上完课后会问：“这节课所学的知识，同学们都懂了吗？”有的同学说：“都懂了．”事实如此吗？有的同学不敢说，但心里在说：“我还没懂啊．”这说明，这节课的知识，同学们不是都懂了．这是对上句话的否定，那么，命题中是否也有否定呢？ 思考1　如何对以下的命题进行否定？ (1)56是7的倍数； (2)∅是集合A＝{1，2，3}的真子集． 提示：(1)56不是7的倍数； (2)∅不是集合A＝{1，2，3}的真子集． 思考2　从命题真假的角度出发，命题与命题的否定之间有什么关系？ 提示：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 　(对接教材例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)∀x∈R，5x－12＝0. 【解】　(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0. 【感悟提升】　对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 　1.命题“∀x∈R，x2－x＋4＝0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋4≠0 B．∀x∈R，x2－x＋4>0 C．∃x∈R，x2－x＋4<0 D．∃x∈R，x2－x＋4≠0 解析：选D．命题“∀x∈R，x2－x＋4＝0”的否定是“∃x∈R，x2－x＋4≠0”． 2．(2026·菏泽期中)命题“所有能被4整除的正整数都能被2整除”的否定是_______________________________________________． 解析：全称量词改为存在量词，并否定结论，即“存在能被4整除的正整数不能被2整除”． 答案：存在能被4整除的正整数不能被2整除 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 　(对接教材例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (2)q：有的有理数没有倒数； (3)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0. 【解】　(1)¬p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以¬p是假命题． (2)¬q：所有的有理数都有倒数．因为0为有理数且没有倒数，所以¬q为假命题． (3)该命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3>0. 因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，所以命题的否定为真命题． 【感悟提升】　对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 　1.(2026·安阳联考)已知命题p：∃a，b∈R，使得a2<b2成立，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：∀a，b∈R，a2>b2，为假命题 B．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题 C．¬p：∀a，b∈R，a2>b2，为真命题 D．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为真命题 解析：选B．已知命题p是真命题，则¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题． 2．“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是_________________，其否定是________命题．(填“真”或“假”) 解析：“有一个平行四边形”中含有存在量词，因此这是一个存在量词命题，其否定应是全称量词命题，为“任意平行四边形的对角线相等”，原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题． 答案：任意平行四边形的对角线相等　假 应用点　根据命题的否定求参数 　已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 【解】　因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实根．所以a＝0或 解得a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围为{a|a≤1}． 母题探究　将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：因为命题“∀x∈R，2x≠－x2＋a”是假命题，所以此命题的否定“∃x∈R，2x＝－x2＋a”是真命题，即x2＋2x－a＝0有实根，所以Δ＝4＋4a≥0，则a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 【感悟提升】　(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式(组)求范围． 　已知命题“∃x≥2，使得2x－3<a”是假命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：由题意可知，“∀x≥2，2x－3≥a”为真命题，故a≤(2x－3)min＝2×2－3＝1. 答案：{a|a≤1} 1．命题“∃n∈N，n2>2n＋3”的否定是(　　) A．∀n∉N，n2<2n＋3 B．∀n∈N，n2<2n＋3 C．∀n∉N，n2≤2n＋3 D．∀n∈N，n2≤2n＋3 解析：选D．因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以原命题的否定为∀n∈N，n2≤2n＋3. 2．(教材P31练习T1改编)命题“小数都是无理数”的否定为(　　) A．所有小数都不是无理数 B．有些小数是无理数 C．有些小数不是无理数 D．所有小数都是无理数 答案：C 3．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为______________________________________________，此命题的否定 是________命题．(填“真”或“假”) 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　假 4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求实数a的取值范围． 解：由题意得，¬p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，则当x>0时，1－a≠x，故1－a≤0，解得a≥1.故实数a的取值范围为{a|a≥1}． 　 1．已学习：全称量词命题、存在量词命题的否定及真假的判断． 2．须贯通：利用p与¬p的真假性相反的规律，巧妙解决参数问题，体现转化思想． 3．应注意：(1)含量词命题否定时，除了否定结论，还应改变量词； (2)全称量词“都是”的否定是“不都是”． 学科网（北京）股份有限公司 $