第1章 1.5 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，先梳理命题的否定定义、真假关系及常见词语否定，再通过表格对比两种量词命题的形式与否定形式，构建“基础概念—命题类型—否定应用”的学习支架。 资料以探险家保命故事情境引入激发兴趣，知识梳理用表格明晰逻辑，例题结合“所有正方形都是矩形”的否定等实例，培养数学抽象与逻辑推理素养。课中助力教师授课清晰，课后通过预习自测和变式训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1．5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 素养解读 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．” [问题]　请问探险家该如何保命？ 提示　探险家应该说“我将被五马分尸”． 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死； 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸． 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着． [知识梳理] [知识点一]　命题的否定　 1．定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．命题p的否定可用“綈p”来表示． 2．命题的否定与原命题的真假关系 命题的否定与原命题的真假性可以用下表(真值表)表示： 命题p 綈p 真 假 假 真 因此，p的否定的真假性可用一句话概括：p的否定与p“一真一假”． 3．常见词语的否定词语 原词 等于 (＝) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多有 一个 至多有 n个 至少有 一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n＋1)个 一个也 没有 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 或 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 [知识点二]　全称量词命题与存在量词命题的否定　 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题 1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 2．对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题． [预习自测] 1．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 2．命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．∃x0∈∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案：D 3．若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是(　　) A．∀x∈R,2x2＋1≤0 B．∃x0∈R,2x＋1>0 C．∃x0∈R,2x＋1<0 D．∃x0∈R,2x＋1≤0 答案：D 　全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R,1－2≤1； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． [思路点拨]　∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：∃x∈R， 1－2>1， 因为∀x∈R，2≥0， 所以－2≤0， 1－2≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0,12＝1,22＝4,32＝9,42＝16,52＝25；62＝36,72＝49,82＝64,92＝81，……，所以这是一个假命题． (4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个实例即可． [变式训练] 1．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数末位是0. 解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形． (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 　存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些分数不是有理数． (2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20. (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． (4)有些梯形的对角线相等． [思路点拨]　∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)． [解]　(1)该命题的否定：任意分数都是有理数，这是一个真命题． (2)该命题的否定：∀x，y∈Z,3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题． (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题． (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯形的对角线相等，因此这是一个假命题． 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [变式训练] 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． ①有些实数的绝对值是正数； ②某些平行四边形是菱形； ③∃x0，y0∈Z，使x0＋y0＝3. 解析：①命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． ③命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 　　　全称量词命题、存在量词命题的否定的应用 [例3] 若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为　________　. [思路点拨]　先写出命题的否定，然后判断． [解析]　方法一：由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2. 方法二：由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0是假命题．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1>0，解得a>2或a<－2，所求实数a的取值范围是{a|－2≤a≤2}． [答案]　{a|－2≤a≤2} 1．含有一个量词命题的否定的步骤与方法 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题． (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．注意无量词的全称量词命题要先补回量词再否定． (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． 2．知命题真假求参数的范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． [变式训练] 3．已知命题p：∀x∈{x|x≥1}，a－2x2≤0.命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，x＋a≥0. (1)分别写出命题p，q的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)因为p：∀x∈{x|x≥1}，a－2x2≤0， 所以綈p：∃x∈{x|x≥1}，a－2x2＞0. 因为q：∃x∈{x|1≤x≤3}，x＋a≥0， 所以綈q：∀x∈{x|1≤x≤3}，x＋a＜0. (2)因为p：∀x∈{x|x≥1}，a－2x2≤0， 所以a≤2x2， 又x≥1，所以2x2≥2，故a≤2. 因此命题p为真命题时，a≤2. 命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，x＋a≥0， 即∃x∈{x|1≤x≤3}，a≥－x， 又－3≤－x≤－1，故a≥－3， 因此命题q为真命题时，a≥－3. 综上，当两个命题都是真命题时，实数a的取值范围为{a|－3≤a≤2}. 1．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　) A．∀x∈N，x3≤x2　　　 B．∃x∈N，x3>x2 C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2 答案：D 2．以下三个命题中，真命题的个数是(　　) ①若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1； ②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 3．若命题p：∀x∈R，<0，则綈p：　________　. 答案：∃x0∈R，>0或x0－2＝0. 4．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？　________　(填“是”“否”中的一种) 答案：是 5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以解得2≤m≤4. 1．命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案：D 2．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋＞0，则綈p为(　　) A．∀x∈R，x2－x＋≤0 B．∃x0∈R，x－x0＋≤0 C．∃x0∈R，x－x0＋＞0 D．∀x0∈R，x2－x＋≥0 答案：B 3．已知命题p：∃a，b∈R，使得a2＜b2成立，则下列说法正确的是(　　) A．綈p：∀a，b∈R，a2＞b2，为假命题 B．綈p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题 C．綈p：∀a，b∈R，a2＞b2，为真命题 D．綈p：∀a，b∈R，a2≥b2，为真命题 答案：B 4．对下列命题的否定说法错误的是(　　) A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n＞100 答案：C 5．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x－x0＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0 D．至少有一个实数x0，使x＋1＝0 解析：AC　[命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.] 6．(多选)下列四个命题中，是真命题的有(　　) A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C．1＋1<2 D．至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数 解析：ABD　[A.该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题；B.显然为真命题；C.显然不成立，为假命题；D.取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．] 7．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是　________　. 解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a的取值范围是{a|a≤3}． 答案：{a|a≤3} 8．已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|2m＜x＜m＋1}，且∃x∈B，x∈A为假命题，则实数m的取值范围为　________　. 解析：因为∃x∈B，x∈A为假命题，所以∀x∈B，x∉A为真命题，所以A∩B＝∅且B≠∅. 所以或解得m≤－2.即实数m的取值范围为{m|m≤－2}． 答案：{m|m≤－2} 9．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是　______________　，若p(1)是真命题，p(2)是假命题，则实数m的取值范围是　________　. 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8，故实数m的取值范围是{m|3≤m＜8}；若p(1)是真命题，p(2)是假命题， 则 解得∴无解． 答案：{m|3≤m＜8}　∅ 10．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)∀x∈R，x2＞0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解：(1)命题的否定：∃x∈R，x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真命题． (2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1.因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假命题． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根．因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直．命题的否定为真命题． 11．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a、b是常数． (1)写出命题p的否定； (2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组 的解集不为空集，通过画数轴(图略)可看出，a、b应满足的条件是b＜a. 12．已知命题p：“∀1≤x＜2，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p，q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：由p为真命题，a≤x2对∀1≤x≤2恒成立， 得a≤1；① 由q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根， 得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≥1或a≤－2.② 对①②求交集，可得{a|a≤－2或a＝1}． 综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}． 13．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4. (2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)．若存在一个实数x0，使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x)min，又f(x)＝(x－1)2＋4，则f(x)min＝4，所以m＞4. 所以所求实数m的取值范围是{m|m＞4}. 学科网（北京）股份有限公司 $