1.5.1 全称量词与存在量词-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，从学校团体操表演的生活实例导入，通过对比“所有”“每一个”等词语引出全称量词与存在量词概念，系统讲解命题定义、符号表示及真假判断方法，构建从实例到概念再到应用的学习支架。 资料以情境化导入培养学生用数学眼光观察现实世界，通过例题解析（如判断“自然数平方大于等于零”的真假）发展数学思维的推理能力，用符号“∀”“∃”规范表达命题提升数学语言精确性。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾练习，弥补知识盲点。

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 课标要求　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　2.理解全称量词命题、存在量词命题的定义，并会用符号表示．　3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演，这1 000名学生符合下列条件： (1)所有学生都来自高二年级； (2)至少有30名学生来自高二(一)班； (3)每一个学生都有固定表演路线． 思考　左面“新课导入”条件中“所有”“每一个”的含义相同吗？ 提示：相同． 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 　(对接教材例1)判断下列命题是否为全称量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. 【解】　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，为真命题． (3)是全称量词命题，当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题． 【感悟提升】　(1)判断全称量词命题的方法：判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)全称量词命题的真假判断：判断真假时用直接法或间接法，直接法就是集合中的每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可． 　1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，都有x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 解析：选C．该命题的另一种表述是“任选一个x∈R，都有x2>3”． 2．(多选)下列全称量词命题中是真命题的有(　　) A．负数不能开根号 B．对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab C．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 D．∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0 解析：选BC．对于A，在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故A为假命题； 对于B，对任意的实数a，b，a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，故B为真命题； 对于C，因为Δ＝(－a)2－4×(－1)＝a2＋4>0，所以二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点，故C为真命题； 对于D，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，故D为假命题． 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在 量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量 词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 　(对接教材例2)判断下列命题是否为存在量词命题，并判断其真假． (1)有些梯形的对角线相等； (2)∃x∈R，使x2＋x＋3＝0; (3)有一个质数是偶数； (4)对于任意实数x，x3＋1≠0. 【解】　(1)含有存在量词“有些”，是存在量词命题，等腰梯形的对角线相等，所以该命题是真命题． (2)含有存在量词“∃”，是存在量词命题，由于Δ＝－11<0，所以方程x2＋x＋3＝0无解，即不存在x∈R，使x2＋x＋3＝0，所以该命题是假命题． (3)含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，2既是质数又是偶数，所以该命题是真命题． (4)含有全称量词“任意”，是全称量词命题，不是存在量词命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以该命题为假命题． 【感悟提升】　(1)判断存在量词命题的方法：①含有存在量词“存在一个”“至少有一个”等的命题是存在量词命题； ②虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在一个”“至少有一个”等特征的命题是存在量词命题． (2)存在量词命题的真假判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一个存在量词命题就是假命题． 　1.(多选)下列存在量词命题中，是真命题的有(　　) A．∃x∈R，|x|<0 B．存在一个实数，它的绝对值不是正数 C．有些自然数是偶数 D．∃x∈Z，2x＋－1＝0 解析：选BC．对于A，∀x∈R，|x|≥0，故A为假命题； 对于B，存在一个实数0，它的绝对值不是正数，故B为真命题； 对于C，有些自然数是偶数，如2，故C为真命题； 对于D，由2x＋－1＝0，可得2()2＋－1＝0， 因为≥0，解得＝，即x＝，∉Z，故D为假命题． 2．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________________________． 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题表述为∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0. 答案：∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0 应用点　利用含量词命题的真假求参数 　已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a >0.若p为真命题，求实数a的取值范围． 【解】　命题p为真命题，转化为a<x对任意x∈{x|1≤x≤4}恒成立，因此a<xmin，即a<1. 母题探究　本例中“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由题得命题p：∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a>0，命题p为真命题，转化为a<x在x∈{x|1≤x≤4}上有解，因此a<xmax，即a<4. 【感悟提升】　利用含量词命题的真假求参数取值范围的方法 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式解决． 　若命题“∃x∈R，使得mx2＋4x－1＝0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．－4<m<0　　　　 B．m>0 C．m≥－4 D．－4≤m≤0 解析：选C．当m＝0时，x＝，符合题意； 当m≠0时，只要Δ＝16＋4m≥0即可，解得m≥－4，即m≥－4且m≠0. 综上，实数m的取值范围为m≥－4. 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．任何实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：选D．存在量词命题指含有存在量词的命题，故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确；其他选项中的“任何”“任意一个”“每一个”都是全称量词，故A，B，C错误． 2．(2026·无锡期末)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 解析：选A．A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}， 对于A，∃x∈A，x∈B，这是存在量词命题，只需找到一个x∈A且x∈B的元素即可，例如x＝3，满足3≥1且3>2，故A正确； 对于B，∃x∈B，x∉A，这是存在量词命题，集合B中的元素都在集合A中，故不存在集合B中的元素不属于集合A，故B错误； 对于C，∀x∈A，x∉B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都不属于集合B，而3属于集合A，也属于集合B，故C错误； 对于D，∀x∈A，x∈B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都属于集合B，而1属于集合A，但不属于集合B，故D错误． 3．已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0. 答案：{m|m≥0} 4．(教材P28T1、T2改编)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)末位是零的整数，可以被5整除； (2)有的集合中不含有任何元素； (3)存在对角线不互相垂直的菱形． 解：(1)全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (2)存在量词命题，由于空集中不含有任何元素，因此 “有的集合中不含有任何元素”是真命题． (3)存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不互相垂直的菱形，因此“存在对角线不互相垂直的菱形”是假命题． 　 1．已学习：全称量词(命题)、存在量词(命题)的概念，含量词的命题的真假判断． 2．须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想． 3．应注意：有些命题省略了量词． 学科网（北京）股份有限公司 $