1.4.2 充要条件-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，衔接命题真假判断及充分、必要条件基础，系统梳理充要条件的定义、判断方法（定义法、集合法、等价法）、证明步骤及参数应用，构建从概念理解到实践应用的学习支架。 以“老张请客”生活情境导入，引导学生用数学眼光抽象等价命题，结合三角形、集合等实例，通过表格归纳条件关系培养数学思维的推理能力，证明环节强调逻辑表达。课中助力情境化教学，课后练习题与总结助学生巩固知识、查漏补缺。

1．4.2　充要条件 课标要求　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义．　2.会判断一些简单的充要条件问题．　3.能对充要条件进行证明． 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　张三为什么走了？“该来的没有来”的等价命题是什么？ 提示：张三认为自己是不该来的．“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”． 思考2　李四为什么走了？“不该走的又走了”的等价命题是什么？ 提示：李四觉得自己是应该走的．“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”． 知识点一　充要条件 命题真假 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 结论 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 　(对接教材例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，C>B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B． 【解】　(1)当|x|＝|y|时，x＝±y x3＝y3，但x3＝y3⇒x＝y⇒|x|＝|y|，故p不是q的充要条件． (2)在△ABC中，大边对大角， 故AB>AC⇔C>B，则p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则A∪B＝B，反之若A∪B＝B，则A⊆B，所以p是q的充要条件． 【感悟提升】　判断充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用等价法． 注意　(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件． 常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：a＋5是无理数；q：a是无理数； (3)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (4)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零． 解：(1)因为|x|＝|y| x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)由△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，由△ABC是等腰三角形推不出△ABC是直角三角形，故p是q的既不充分也不必要条件． (4)若ab>0，可得a，b中至少有一个不为零，即充分性成立，但a，b中至少有一个不为零不能得出ab>0，例如a＝1，b＝－1，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件． 知识点二　充要条件的证明 　(对接教材例4)求证：“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件． 【证明】　充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2. 则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2， 因为h1＝h2，所以AC＝AB， 故△ABC为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2， 则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2， 可得h1＝h2，必要性成立． 故“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件． 【感悟提升】　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 　求证：a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc是△ABC是等边三角形的充要条件．(这里a，b，c是△ABC的三边边长). 证明：充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得2(a2＋b2＋c2)＝2ab＋2ac＋2bc，整理得，(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b＝c，即△ABC是等边三角形；必要性：由△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.综上所述，a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc是△ABC是等边三角形的充要条件． 应用点　充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 母题探究　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).若p是q的充要条件，则方程组无解．故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 【感悟提升】　利用充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的包含关系； (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式(组)求解． 　二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝－1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：选B．因为函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，则－＝－1，即m＝2. 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 解析：选B．因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0. 3．下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 B．“x≥1”是“x2≥1”的充要条件 C．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 D．“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件 解析：选D．对于A，当c＝0时，满足ac＝bc，此时存在a≠b，故A错误；对于B，x2≥1等价于x≥1或x≤－1，故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件，故B错误；对于C，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，故C错误；对于D，“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件，故D正确． 4．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． 必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 　 1．已学习：逆命题、充要条件概念的理解、充要条件的证明及应用． 2．须贯通：利用充要条件求参数的关键是将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 3．应注意：搞清楚充分性与必要性的判断方向． 学科网（北京）股份有限公司 $