1.4.2充要条件同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础判断、综合辨析、应用拓展三层设计，覆盖充要条件的概念理解与综合应用，强化逻辑推理与数学表达，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（7题）|充要条件概念判断|直接考查定义，如单选1-5判断充分/必要条件，填空9-11简单条件关系| |中档层（5题）|简单综合应用|结合方程根、集合等知识，如单选6方程负根充要条件，多选7-8命题真假判断| |提高层（3题）|参数与综合应用|含参数范围问题，如解答13-15结合集合求充要/必要不充分条件，培养推理能力|

1.4.2充要条件 同步练习 一、单选题 1．设为实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 5．点是第二象限的点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 7．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 8．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 三、填空题 9．是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 10．设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________． 11．“”可作为下列结论______的充要条件． ①；②；③或；④或． 12．给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 四、解答题 13．条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 14．下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)，：方程有实数根． 15．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.2充要条件 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D B C AC BD 1．C 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】“”不一定能推导出“”，“”是“”的不充分条件. “”一定能推导出“”， “”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 2．B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 3．B 【分析】根据充分条件和必要条件的判断求解. 【详解】因为推不出，而一定能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 5．B 【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断 【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点是第二象限的点的充要条件是． 故选：B 6．C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 7．AC 【分析】从“”与“”互相不能推出，得到A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误； 由一元二次方程根的判别式可知，C正确； D选项可举出反例. 【详解】 A √ 且． B × 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件． C √ 一元二次方程有实数根，则，反之亦然． D × 当集合时，应为充要条件． 故选：AC 8．BD 【分析】根据充分条件和必要条件定义结合题意分析即可得解. 【详解】， 故. 所以p是s和q的充分条件，r是q的充分条件，s是q的充要条件. 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 9．必要非充分 【分析】通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件. 【详解】若，则一定有，故“”能推出“”； 若，当时，不满足，故“”不能推出“”. 所以是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 10．（只需与等价即可）. 【分析】分析可知，即可得出结果. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 11．③ 【分析】根据率要条件的定义判断即可 【详解】由“”可推得或，反之也成立． 所以“”是③的充要条件． 故答案为：③ 12．③④ 【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误. 【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误； ②由，可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故②错误； ③由开口向上且对称轴为， 只需即可保证原方程有一个正根和一个负根， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确； ④当，时，不成立；当时，且， 故“”是“”的必要不充分条件，故④正确. 故答案为：③④. 13．(1) (2) 【分析】根据充分、必要条件的定义，将问题转化为集合间的基本关系，解不等式即可. 【详解】（1）设， 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，即，a的取值范围为； （2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，即，a的取值范围为. 14．(1)必要不充分条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可． （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可． （3）利用矩形的性质判断即可． （4）利用一元二次方程的判别式判断即可． 【详解】（1）∵，但，∴是的必要不充分条件 （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既不充分又不必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要不充分条件． （4），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分不必要条件． 15．(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $