1.4.1 充分条件与必要条件-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，先以命题的概念及结构（定义、分类、“若p则q”形式）为基础，再系统讲解充分条件与必要条件的定义、判断方法（定义法、集合法），最后结合实例应用于参数范围求解，构建完整知识支架。 该资料以电路图情境导入，引导学生从现实问题中抽象数学关系，培养数学眼光。通过定义法与集合法结合、母题探究等设计，发展逻辑推理的数学思维。课中助力教师情境教学，课后练习题与感悟提升帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 课标要求　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义．　2.理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．　3.能通过充分性、必要性解决简单的问题． 有如图所示的电路图． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？ 提示：图1. 思考2　对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？ 提示：不一定，也可能是r开关闭合． 知识点一　命题的概念及结构 1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题． 3．结构形式：“若p，则q”“如果p，那么q”等形式的命题中，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)“3＋1＝5”是命题．(　　) (2)“所有的素数都是奇数”为真命题．(　　) (3)“三条边都相等的三角形是等边三角形”为假命题．(　　) (4)“若两个角互为补角，则这两个角不相等”是真命题．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．0∈N* B．若a，b都是无理数，则a＋b是无理数 C．若集合A⊆B，则A∩B＝A D．5≥3 解析：选CD．对于A，0∉N*，故A是假命题；对于B，设a＝，b＝－，则a，b都是无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B是假命题；对于C，若A⊆B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C是真命题；易知D是真命题． 3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)当(a－1)2(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (3)奇数不能被2整除． 解：(1)若(a－1)2(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是假命题． (2)若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形，是真命题． (3)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． 【感悟提升】　要判断一个命题是否为真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是否为假命题，只需举出一个反例即可． 知识点二　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 角度1　充分条件的判断 　(对接教材例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； (2)若x>1，则x>2； (3)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB． 【解】　(1)，2为无理数，但×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件． (2)方法一：由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则BA，所以p不是q的充分条件． (3)由线段垂直平分线的性质知，p⇒q，p是q的充分条件． 【感悟提升】　充分条件的两种判断方法 (1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试由条件推出结论；③若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． (2)集合法：已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊆B，则甲是乙的充分条件． 角度2　必要条件的判断 　(对接教材例2)下列各题中，哪些q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：2a>1，q：a>1. 【解】　(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． (2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为2a>1，即a>，p q，所以q不是p的必要条件． 【感悟提升】　必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)集合法 已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 　1.使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 解析：选A．因为x>4⇒x>3，所以x>4是x>3成立的一个充分条件． 2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 解析：选BCD．对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a<2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意． 应用点　充分条件与必要条件的应用 　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解】　由p：3a＜x＜a，a<0，q：－2≤x≤3，可令集合A＝{x|3a＜x＜a，a<0}，集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以 解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是{a|－≤a＜0}． 母题探究　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由p：－a＜x＜3a，a>0，q：－2≤x≤3， 可令集合A＝{x|－a＜x＜3a，a>0}， 集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q⇒p，所以B⊆A， 所以 所以实数a的取值范围是{a|a＞2}． 【感悟提升】　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 　1.若“x>2”是“x>a”的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<2} B．{a|a≤2} C．{a|a>2} D．{a|a≥2} 解析：选D．由“x>2”是“x>a”的必要条件知，x>a⇒x>2，即{x|x>a}是{x|x>2}的子集，可得a≥2. 2．若“x＝2”是“m2x2－(m＋3)x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为____________． 解析：依题意，可得m2×22－(m＋3)×2＋4＝4m2－2m－2＝2(m－1)(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－. 答案：1或－ 1．下列语句不是命题的是(　　) A．5>2 B．3>4 C．x－2＝0 D．方程x2－3x＋4＝0有实根 解析：选C．对于A，5>2为命题且为真命题； 对于B，3>4为命题且为假命题； 对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题； 对于D，Δ＝9－4×4<0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D是命题且为假命题． 2．下列p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1<a<1，q：a<1 C．p：a<b，q：a<b＋1 D．p：a>b，q：a>b＋1 解析：选D．要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒p：a>b满足题意． 3．(教材P20T1改编)已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的________条件．(用“充分”或“必要”填空) 解析：由图可知，p是q的充分条件． 答案：充分 4．若“x＝2”是“x<a”的充分条件，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为“x＝2”是“x<a”的充分条件， 则a>2. 故实数a的取值范围为a>2. 答案：a>2 　 1．已学习：命题、充分条件、必要条件的概念及应用． 2．须贯通：充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法、等价转化法等． 3．应注意：(1)充分条件、必要条件不唯一； (2)忽略求参数范围时能否取到端点值． 学科网（北京）股份有限公司 $