第1章 1.4.2 充要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，承接前序充分条件与必要条件内容，通过逆命题真假分析引出充要条件，系统梳理定义、判定方法、证明步骤及应用，构建完整的条件关系学习支架。 该资料以问题链引导学生从初中几何定理等现实情境发现数学关系，培养数学眼光，通过逻辑推理和集合法提升数学思维，结合三角形全等、方程根等实例用数学语言精确描述，课中助力教师分层引导，课后帮助学生巩固练习、查漏补缺。

1.4.2　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点)3.能对充要条件进行证明.(难点) 导语 同学们，上节课我们学习了充分条件与必要条件，通过学习，我们知道使结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论.另外，我们在初中学过两直线平行的性质定理如“两直线平行，同位角相等”，还学过两直线平行的判定定理如“同位角相等，两直线平行”，从中我们能得到“两直线平行”是“同位角相等”的什么条件呢？这节课，我们将进一步的探究充要条件. 一、充要条件 问题1　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识梳理 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 例1　(课本例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 解　(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件. (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立(为什么)，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件. (4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件. 例1　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：x=1，q：x-1=； (2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0； (3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解　(1)方法一　当x=1时，x-1=成立； 当x-1=时，x=1或x=2. ∴p是q的充分不必要条件. 方法二　A={x|x=1}={1}， B={x|x-1=}={1，2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件. (2)若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，故p⇒q；若a≠0，则方程ax+b=0的根为x=-只有一解，故q⇒p，综上，p是q的充要条件. (3)由q：(x+2)2≠y2， 得x+2≠y且x+2≠-y，又p：x+2≠y， 故p是q的必要不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件. 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解　(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件. 二、充要条件的证明 例2　(课本例4)已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 证明　设p：d=r，q：直线l与☉O相切. (1)充分性(p⇒q)：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在☉O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共点P.所以直线l与☉O相切. (2)必要性(q⇒p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 例2　求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0， ∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 反思感悟　充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 跟踪训练2　求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明　(1)充分性：如果b=0，那么y=kx， 当x=0时，y=0，函数图象过原点. (2)必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点， 所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0. 综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 三、充要条件的应用 例3　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}， 故有 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究1　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 因为p是q的充分不必要条件， 所以AB， 所以解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 延伸探究2　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)， 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 若p是q的充要条件，则集合A=B， 即无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：条件和结论辨别不清. 1.“x>0”是“x≠0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件. 2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由x2-4x-5=0得x=5或x=-1， 则当x=5时，x2-4x-5=0成立， 但当x2-4x-5=0时，x=5不一定成立. 因此“x2-4x-5=0”是“x=5”的必要不充分条件. 3.(多选)已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(　　) A.m>0 B.m>1 C.m>3 D.m>4 答案　CD 解析　A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4. 4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　. 答案　m=-2 解析　函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；反之，若m=-2， 则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.已知x∈R，则“x2=x+6”是“x=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由于“x2=x+6”，则“x=±”， 故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件. 2.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若啾啾是一只鸟，则“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种， 则“啾啾是巴布亚企鹅”可以推出“啾啾会游泳”， 但“啾啾会游泳”并不能推出“啾啾是巴布亚企鹅”. 所以“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的充分不必要条件. 3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇏p，因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且r⇏q，因为s是r的充要条件，所以s⇒r且r⇒s，如图，所以p⇒s且s⇏p，故s是p的必要不充分条件. 4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 答案　C 解析　因为p是q的充分不必要条件， 所以 解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 答案　C 解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2 答案　BC 解析　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集，只有B，C满足题意. 7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为BA的充分不必要条件的是(　　) A.m∈{0，1} B.m∈ C.m∈ D.m∈{1} 答案　ABD 解析　A={x|x2+x-6=0}={2，-3}， 当BA时，①若B=∅，则m=0；②若B≠∅，则B={2}或B={-3}，对应的m=1或m=- 故当BA时，实数m的取值集合为. 所以满足可作为BA的充分不必要条件的实数m的取值集合为的非空真子集. 8.(5分)设a，b∈R，则“a2+b2=0”的充要条件为　　　　　. 答案　a=b=0(与此等价的形式亦可) 解析　因为a，b∈R，若a2+b2=0， 则a2=b2=0，即a=b=0； 若a=b=0，则a2+b2=0， 所以“a2+b2=0”的充要条件是“a=b=0”. 9.(5分)已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　. 答案　{k|k<-2} 解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3， 设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以2k-1<-5，解得k<-2. 所以实数k的取值范围是{k|k<-2}. 10.(10分)求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明　充分性：因为a+b+c=0， 所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0， 得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1， 所以x=1满足方程ax2+bx+c=0， 所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 11.下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 答案　D 解析　由x>5⇒x>3，由x>3⇏x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A⊆B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A⊆B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确. 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2， 若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4， 所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件. 13.(多选)设全集为S，集合A，B⊆S，下列四个命题，是命题A⊆B的充要条件的是(　　) A.A∪B=B B.∁SB⊆∁SA C.∩A=∅ D.∩B=∅ 答案　ABC 解析　当A∪B=B时，A⊆B；当A⊆B时，A∪B=B，A满足题意； 当∁SB⊆∁SA时，A⊆B；当A⊆B时，∁SB⊆∁SA，B满足题意； 当(∁SB)∩A=∅时，A⊆B；当A⊆B时，(∁SB)∩A=∅，C满足题意； 当(∁S A)∩B=∅时，B⊆A，D不满足题意. 14.(10分)已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 解　(1)非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，集合B={x|-1<x<4}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}. (2)假设存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件，那么A=B，则必有无解. 故不存在实数a，使得A=B， 即不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件. 15.设m，n∈R，定义一种新运算：当mn≥0时，m⊗n=m+n；当mn<0时，m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，由当mn≥0时，m⊗n=m+n知，a⊗b=-1+0=-1；当a⊗b=-1时，根据定义可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，比如a=b=-时，a⊗b=-1，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的充分不必要条件. 16.(12分)已知a，b是正实数，求证：+2=的充要条件是a+b=1. 证明　必要性：若+2= 则 即a2+a+b2+b+2ab=2， 即(a+b)2+(a+b)-2=0， 即(a+b-1)(a+b+2)=0， 因为a，b是正实数， 所以a+b+2>0，所以a+b-1=0， 即a+b=1. 充分性：若a+b=1， 则+2= = =. 故+2=的充要条件是a+b=1. 学科网（北京）股份有限公司 $