1.4.1 充分条件与必要条件课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦充分必要条件与集合关系，通过基础辨析、综合应用、创新情境三阶设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等式性质、集合子集、简单条件判断|单选形式，直接考查概念辨析（如第1题假命题判断），强化数学眼光中的抽象能力| |进阶层|多条件综合、参数范围求解|多选（第6题）与填空（第9题）结合，训练数学思维中的推理能力，衔接基础与综合| |拔高层|跨知识情境应用|引入符号函数（第15题）、命题关系链（第11题），提升数学语言表达与创新意识，适配能力拓展|

1．下列命题为假命题的是(　　) A．若a＝b，则a＋c＝b＋c B．若a＋c＝b＋c，则a＝b C．若a＝b，则ac＝bc D．若ac＝bc，则a＝b 解析：选D．对于A，若a＝b，则a＋c＝b＋c，故A为真命题； 对于B，若a＋c＝b＋c，则a＝b，故B为真命题； 对于C，若a＝b，则ac＝bc，故C为真命题； 对于D，当c＝0时，ac＝bc恒成立，不一定得到a＝b，故D为假命题． 2．已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分条件又是必要条件 解析：选A．若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件． 3．已知m，n是非零自然数，命题α：mn是奇数，命题β：m与n中至少有一个是奇数，则α是β的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．mn是奇数⇔m，n都是奇数， 所以α能推出β，但β推不出α， 所以α是β的充分条件，不是必要条件． 4．下列结论中正确的是(　　) A．“x2>0”是“x>0”的充分条件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件 C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件 D．“|x|>1”是“x2≥1”的必要条件 解析：选B．A中，由x2>0得x>0或x<0，x2>0 x>0，而x>0⇒x2>0，故“x2>0”是“x>0”的必要条件，不是充分条件；B中，由xy＝0得x＝0或y＝0，xy＝0 x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；C中，由|a|＝|b|得a＝b或a＝－b，|a|＝|b| a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件，不是充分条件；D中，|x|>1⇒x2≥1，而x2≥1 |x|>1，故“|x|>1”是“x2≥1”的充分条件，不是必要条件． 5．已知a，b∈R，则“ab＝0”的一个充分条件是(　　) A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．a2－b2＝0 D．a2＋b2＝0 解析：选D．对于A，a－b＝0，即a＝b，因为a，b∈R，所以ab＝0不一定成立，故A错误；对于B，a＋b＝0，即a＝－b，因为a，b∈R，所以ab＝0不一定成立，故B错误；对于C，a2－b2＝0，即|a|＝|b|，因为a，b∈R，所以ab＝0不一定成立，故C错误；对于D，a2＋b2＝0，即a＝0，b＝0，则ab＝0成立，故D正确． 6．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件 解析：选ABC．由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件，不是充分条件，D错误． 7．设a∈R，则命题“关于x的方程ax＝1的解集为{}”是____________命题．(填“真”或“假”) 解析：当a＝0时，方程ax＝1无解，当a≠0时，方程ax＝1的解为， 所以命题“关于x的方程ax＝1的解集为{}”是假命题． 答案：假 8．已知α：四边形ABCD是正方形，β：四边形ABCD的四个角都是直角，则α是β的________条件．(填“充分”或“必要”) 解析：因为四边形ABCD是正方形，由正方形的定义知，四边形ABCD的四个角都是直角，所以由α可以推出β，即α是β的充分条件，又四边形ABCD的四个角都是直角时，四边形ABCD为矩形，所以由β推不出α，即α不是β的必要条件，所以α是β的充分条件． 答案：充分 9．(2026·衡水期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|a＋1≤x≤2a＋13}．若x∈B是x∈A的必要条件，则实数a的取值范围是__________________． 解析：因为x∈B是x∈A的必要条件，所以A是B的子集， 所以解得－4≤a≤－3， 所以实数a的取值范围是－4≤a≤－3. 答案：－4≤a≤－3 10．(13分)指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． (1)已知集合A≠B，p：a∈A∩B，q：a∈A∪B；(4分) (2)p：x>1或x<－1，q：x<－1；(4分) (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．(5分) 解：(1)由a∈A∩B，可以推出a∈A∪B，即p⇒q，由a∈A∪B不能推出a∈A∩B，即q p，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由x>1或x<－1不能推出x<－1，即p q，由x<－1能推出x>1或x<－1，即q⇒p，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件． (3)由a能被6整除，能推出a能被3整除，即p⇒q，由a能被3整除不能推出a能被6整除，即q p，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 解析：选A．因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 12．(多选)已知实数集R，集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则下列说法正确的是(　　) A．“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件 B．“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但不是充分条件 C．“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的充分条件，但不是必要条件 D．“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，但不是充分条件 解析：选AD．由题意，AB，且∁RB∁RA，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，但不是充分条件． 13．(13分)设集合A＝{1，2}． (1)请写出一个集合B，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；(6分) (2)请写出一个非空集合B，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．(7分) 解：(1)由题意得，集合A是集合B的真子集，因为A＝{1，2}，所以集合B可以是{1，2，3}(答案不唯一). (2)由题意得，集合B是集合A的真子集且不是空集，所以集合B可以是{1}或{2}． 14．(15分)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；(7分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．(8分) 解：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B， 则解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}． (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，又因为B≠∅，所以解得≤a≤1.故实数a的取值范围是{a|≤a≤1}． 15．(2026·西安期中)已知符号函数sgn (x)＝若a，b∈R，则“ab≤0”是“sgn (a)＋sgn (b)＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．若ab≤0，取a＝0，b＝1，此时sgn (a)＋sgn (b)≠0，故充分性不成立；若sgn (a)＋sgn (b)＝0，则a＝b＝0或a与b异号，所以ab≤0，必要性成立．故“ab≤0”是“sgn (a)＋sgn (b)＝0”的必要条件，不是充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $