1.4.1 充分条件与必要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-关联辨析-综合应用”为分层逻辑，通过梯度化题型设计实现充分条件与必要条件的精准巩固，培养数学推理能力与抽象思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|单一充分/必要条件判断|单选题（1-5题）直接考查概念辨析，如第1题结合方程解集判断充分条件，夯实抽象能力| |关联理解层|多条件关系与命题转化|多选题（6-7题）、填空题（8-10题）考查条件间逻辑关联，如第6题辨析必要条件的命题形式，提升推理意识| |综合应用层|跨知识情境应用|解答题（11-15题）结合集合、方程等知识，如第14题利用集合关系分析必要条件，体现模型意识与应用能力|

1.4.1充分条件与必要条件 同步练习 一、单选题 1．若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（   ） A．0 B．2 C．4 D．16 2．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 3．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 4．的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 6．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 三、填空题 8．设，则“”的一个必要条件是_________．（写出一个满足条件的答案即可） 9．若“”是“”的充分条件，则实数的值为__________. 10．下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有______． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 四、解答题 11．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 12．说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理．如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件． （1）在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）矩形的对角线相等． 13．设p：，q：关于x的方程有实根，试分析p是q的什么条件？ 14．设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 15．已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.1充分条件与必要条件 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A A D BCD AC 1．B 【分析】首先解方程，再根据充分条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，， 又“”是“”的充分条件，所以或，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 2．D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 3．A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 4．A 【分析】通过一一判断即可. 【详解】由题意， ∵， ∴，A正确 对B项，，故B错误； 对C项，不能小于2，故C错误， 对D项，不能等于1，故D错误， 故选：A. 5．D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 6．BCD 【分析】利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件； 对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件. 故选：BCD. 7．AC 【分析】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可. 【详解】因为由可推出，所以p是q的充分条件，A对． 因为不能推出，所以p不是q的充分条件，B错． 若，则，则，∴p是q的充分条件，C对． 若，则，∴，∴p不是q的充分条件，D错． 故选：AC. 8．（答案不唯一） 【分析】根据必要条件的定义判断，只需是答案的一个子集即可． 【详解】因为等价于，所以能推出， 所以的一个必要条件为. 故答案为：.（答案不唯一） 9．或 【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 10．（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 11．(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由 ，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由 ，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数 是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 12．（1）可以看成一个判定定理．“在一个平面内，两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件；（2）可以看成一个性质定理．“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件. 【分析】根据判定定理为充分条件，性质定理为必要条件，即可得到答案； 【详解】（1）可以看成一个判定定理．“在一个平面内，两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件； （2）可以看成一个性质定理．“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件. 13．充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的概念可以得到答案. 【详解】若命题q成立，则， 解得， 由可以推出， 即由p可以推出q， 因此p是q的充分条件. 14．(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和交集概念进行求解； （2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，故或， 又，故 （2）“”是“”的必要条件，故， 当时，，∴，符合题意； 当时，需满足，解得 综上所述，m的取值范围为或. 15．(1) (2) . 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，根据子集的概念即可得结果. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 因为， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $