1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中全集、补集的概念及性质，系统梳理交并补的综合运算，以及利用集合运算求参数的方法。从学校同学集合的具体情境导入，通过定义、符号语言及Venn图构建基础，结合数轴工具过渡到综合运算，最终实现参数求解的应用，形成完整学习支架。 该资料以情境化导入培养数学眼光，借助Venn图、数轴等直观工具帮助学生用数学语言表达集合关系，母题探究与分层练习提升数学思维中的推理能力。课中辅助教师直观教学，课后练习题和总结助力学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

第2课时　全集、补集及综合应用 课标要求　1.在具体情境中，了解全集与补集的含义．　2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　3.会用Venn图、数轴解决集合的综合运算问题． 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F. 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　这三个集合之间有什么联系？ 提示：S＝M∪F，M∩F＝∅. 思考2　如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 提示：x∈F. 知识点一　全集与补集 1．全集 定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 记法：通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数集问题的全集一定是R.(　　) (2)集合∁BC与∁AC相等．(　　) (3)“全集”是一个相对概念，并不是固定不变的.(　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知全集U＝{－5，－2，0，1}，∁UA＝{0，1}，则A＝(　　) A．{－5，0} B．{－5，－2} C．{－2，0} D．{－2，1} 解析：选B．因为U＝{－5，－2，0，1}， ∁UA＝{0，1}，所以A＝{－5，－2}． 3．若全集U＝{0，1，2，3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　) A．3个 B．5个 C．7个 D．8个 解析：选C．由题意得A＝{0，1，3}，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 4．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． (1)S＝R； (2)S＝{x|x≤2}． 解：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示， 由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． 【感悟提升】　求集合的补集的三种方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可以直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 知识点二　集合交、并、补的混合运算 　(1)设集合U＝{x∈N*|x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{3} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{2，3，4} (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∪B＝____________，A∩(∁UB)＝________． 【解析】　(1)由条件可得，U＝{1，2，3，4}，A∪B＝{1，2，4}， 所以∁U(A∪B)＝{3}． (2)根据题意，画出数轴， 由图1可得∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}． 由图2可得∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． 【答案】　(1)A　(2){x|x≤2或3≤x≤4}　{x|2<x<3} 【感悟提升】　集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； (3)注意对运算结果进行检验． 常用结论 (1)(∁AB)∩(∁AC)＝∁A(B∪C)，(2)∁A(B∩C)＝(∁AB)∪(∁AC). 　1.已知全集U＝{－2，2，4，6}，集合A＝{－2，2，4}，B＝{2，4，6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A．{2，4} B．{－2，6} C．{2} D．{6} 解析：选B．方法一：由题意得∁UA＝{6}，∁UB＝{－2}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝{－2，6}． 方法二：因为A∩B＝{2，4}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{－2，6}． 2．如图，设全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|－3＜x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为________． 解析：题图中阴影部分表示的集合为(∁UM)∩N＝{x|x≥－1}∩{x|－3＜x＜0}＝{x|－1≤x＜0}． 答案：{x|－1≤x＜0} 应用点　利用集合间的运算求参数 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【解】　已知A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 母题探究　若将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：因为A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA， 所以－m≥4，解得m≤－4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤－4}． 【感悟提升】　由集合的补集求参数的方法 (1)对于由补集求参数问题，当集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，当集合中元素个数无限时，一般利用数轴分析法求解． 　1.已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．－1或－2或2 解析：选A．由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2. 2．已知a∈R，集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|－1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为B＝{x|－1＜x＜2}， 所以∁RB＝{x|x≤－1或x≥2}． 又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x＞a}， 观察∁RB与A在数轴上表示的范围，如图所示， 所以当a≤－1时，A∪(∁RB)＝R. 答案：a≤－1 1．已知全集U＝{x|0＜x＜4}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁UA＝(　　) A．{x|2＜x＜4} B．{x|2＜x≤4} C．{x|2≤x＜4} D．{x|2≤x≤4} 解析：选C．由题意，易得∁UA＝{x|2≤x＜4}． 2．(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} 解析：选D．由A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，得A∪B＝{1，2，3，5}，全集U＝{1，2，3，4，5}，故∁U(A∪B)＝{4}． 3．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝(　　) A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4} 解析：选B．根据题意，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，由∁AB＝{1，3，5}，得B＝∁A(∁AB)＝{0，2，4}． 4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B). 解：把集合A，B在数轴上表示出来，如图． 由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 　 1．已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的运算求参数． 2．须贯通：(1)补集运算常利用另一种数学思想(正难则反)； (2)交、并、补集的综合运算仍利用Venn图及数轴． 3．应注意：(1)辨明补集和全集的概念； (2)解决含参数的集合运算时要注意空集及端点． 学科网（北京）股份有限公司 $