1.3 第1课时 并集和交集-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦集合的并集与交集运算，承接集合的包含、相等关系，通过概念（文字、符号、图形语言）、运算性质及定义法、数形结合法构建学习支架，系统梳理知识脉络。 资料以Venn图、数轴为直观工具（体现数学眼光的几何直观），通过例题解析与变式练习培养推理能力（数学思维），符号语言精确表达集合关系（数学语言）。如用Venn图导入概念，数轴分析数集运算，课中辅助教师教学，课后助力学生复习查漏。

1．3　集合的基本运算 第1课时　并集和交集 课标要求　1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集. 　2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 通过前面的学习，我们知道两个集合存在包含、相等关系．观察如图所示两个图的阴影部分，你会发现什么？ 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　图1中阴影部分的元素与集合A，B中的元素的关系是什么？ 提示：题图1中阴影部分的元素是由所有属于A或属于B的元素组成． 思考2　图2中阴影部分的元素与集合A，B中的元素有什么关系？ 提示：题图2中阴影部分的所有元素既属于A，又属于B． 知识点一　并集 1．并集的概念 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”). (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)图形语言： 2．并集的运算性质 (1)A∪A＝A；(2)A∪∅＝A；(3)A∪B＝B∪A． 提醒　并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B． 　(1)(对接教材例1)已知集合A＝{x∈N|x≤2}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，4} B．{0，1，2，4} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4} (2)(对接教材例2)设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝(　　) A．{x|1<x≤2} B．{x|2≤x<4} C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x<4} 【解析】　(1)集合A＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝{0，1，2，4}． (2)在数轴上表示出集合A，B，如图，可得A∪B＝{x|0≤x＜4}． 【答案】　(1)B　(2)D 【感悟提升】　求集合并集的两种基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． 　1.已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：选C．依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{0，1，2}，{1，2}，共4个． 2．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝________． 解析：因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，如图， 所以A∪B＝{x|x≥－2}． 答案：{x|x≥－2} 知识点二　交集 1．交集的概念 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”). (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)图形语言： 2．交集的运算性质 (1)A∩A＝A；(2)A∩∅＝∅；(3)A∩B＝B∩A． 　(1)(对接教材例3)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝______________； (2)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝_______________________. 【解析】　(1)A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}． (2)因为M＝{x|0<x<4}，N＝{x|≤x≤5}，画出数轴如图所示．所以M∩N＝. 【答案】　(1){x|x是等腰直角三角形}　(2) 【感悟提升】　求集合交集的两种基本方法 (1)定义法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 　1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{3} B．{－3，2} C．{2} D．{－2，3} 解析：选C．根据题意，题图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B．因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}． 2．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B． 解：因为A＝{x|－1<x≤3}，B＝，把集合A与B都表示在数轴上，如图， 所以A∩B＝{x|－1<x≤0，或≤x≤3}，A∪B＝R. 应用点　并集、交集的运算性质及应用 　已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a，且a>0}． (1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求实数a的值． 【解】　(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴如图所示． 观察数轴可知 所以≤a≤2. 经检验，符合题意，故实数a的取值范围为. (2)画出数轴如图所示，A∩B＝{x|3<x<4}． 观察图形可知解得a＝3. 母题探究　在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3<x<4}”变为“A∩B＝∅”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由于A∩B＝∅，结合数轴(图略)得a≥4，或3a≤2. 又因为a>0， 所以a≥4，或0<a≤. 故实数a的取值范围是{a|a≥4，或0<a≤}． 【感悟提升】　利用集合交集、并集的性质求参数的策略 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解. (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 常用结论 (1)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即若A∪B＝B，则A⊆B． (2)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A∩B＝A，则A⊆B． (3)若A∩B＝A∪B，则A＝B． 　1.设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} 解析：选D．若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}． 2．已知集合A＝{x|x≥a，或x≤a－2}，B＝{x|0<x<2}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为________． 解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，于是有a≤0或2≤a－2，即a≤0或a≥4， 因此实数a的取值范围为{a|a≤0，或a≥4}． 答案：{a|a≤0，或a≥4} 1．(教材P12T1改编)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{－1，1，3}，则A∪B＝(　　) A．{1，3} B．{1，2，3} C．{－1，2，3} D．{－1，1，2，3} 解析：选D．由已知得A∪B＝{－1，1，2，3}． 2．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝______，A∩B＝_________________________________________. 解析：借助数轴可知，A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1，或4≤x<5}． 答案：R　{x|－1<x≤1，或4≤x<5} 3．(教材P14T2改编)已知集合A＝{x∈N*|x＜6}，B＝{1，2}，C＝{x|x2－5x＋6＝0}，则A∩(B∪C)＝________． 解析：由题意得，集合A＝{x∈N*|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，C＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 因为B＝{1，2}，可得B∪C＝{1，2，3}， 所以A∩(B∪C)＝{1，2，3}． 答案：{1，2，3} 4．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A∩B＝A，则实数m的取值范围为_____________________________． 解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以m≥3，则实数m的取值范围为{m|m≥3}． 答案：{m|m≥3} 　 1．已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围． 2．须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于Venn图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏． 3．应注意：(1)利用集合关系求参数时切莫遗忘空集； (2)无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $