第1章 1.3 第1课时 并集与交集-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合的并集与交集运算，从集合基本概念出发，通过自然语言、符号语言、图形语言三维度解析定义，梳理交换律、结合律及与子集关系等运算性质，搭建从概念到性质再到应用的学习支架。 以“班级学生读书”情境引入抽象数学问题，培养数学抽象素养，例题分类型（列举法、描述法、含参数）结合数轴等工具，提升数学运算与逻辑推理能力。课中助教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，助力学生查漏补缺。

1．3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 课程标准 素养解读 1.理解两个集合之间的并集和交集的含义 2．能求两个集合的交集与并集 能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的交集和并集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养 [情境引入] 某班有学生20人，他们的学号分别是1,2,3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b. [问题]　(1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？ 提示　(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同学． (2)同时读了a，b两本书的有学号为6,12,18的同学． [知识梳理] [知识点一]　并集　 1．并集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的　所有　元素组成的集合，称为A与B的并集． ②符号语言：A与B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　. ③图形语言：如图所示． ④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解． 2．并集运算的性质 ①A∪B＝　B∪A　；②A∪A＝　A　； ③A∪∅＝∅∪A＝　A　； ④A　⊆　(A∪B)．B　⊆　(A∪B)； ⑤如果A⊆B，则A∪B＝　B　，反之也成立． 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． [知识点二]　交集的概念　 1．交集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由　既属于　A又　属于B　的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集． ②符号语言：A与B的交集记作A∩B(读作“A交B”)，则A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　. ③图形语言：如图所示． ④我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解． 2．交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∩B＝　B∩A　； ②A∩A＝　A　； ③A∩∅＝∅∩A＝　∅　； ④(A∩B)　⊆　A，(A∩B)　⊆　B； ⑤如果A⊆B，则A∩B＝　A　，反之也成立． 2.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 提示：有，交集为空集． 3．若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)吗？反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)吗？ 提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立； 反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立． 4．若A∩B＝A，则A与B有何关系？若A∪B＝A，则A与B又有什么关系？ 提示：若A∩B＝A，则A⊆B； 若A∪B＝A，则B⊆A. [预习自测] 1．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2}　　　　 B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 答案：D 2．设集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{1,3,5,7}，则集合A∪B＝(　　) A．{1,3} B．{1,2,3,4,5,7} C．{5,7} D．{2,4,5,7} 答案：B 3．若集合A＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x≤1，或x≥5}，则A∪B＝　__________________　，A∩B＝　________________________　. 答案：R　{x|－1＜x≤1，或5≤x＜6} 　并集的运算 [例1] (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0}　　　　　　　　 B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} [思路点拨]　(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [解析]　(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}． (2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A. [答案]　(1)D　(2)A (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍． [变式训练] 1．(1)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} (2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　) A．{x|－1≤x<3} B．{x|—1≤x≤4} C．{x|x≤4) D．{x|x≥－1} 解析：(1)因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}， 所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}． (2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}， 如图，P∪Q＝{x|x≤4}． 答案：(1)D　(2)C 　交集的运算 [例2] (1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝(　　) A．{0} B．{－2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－2＜x＜3} [思路点拨]　(1)求出集合S，T的元素，再根据交集的定义求解． (2)借助数轴求解． [解析]　(1)集合S＝{－2,0}，T＝{0,2}，则S∩T＝{0}，故选A. (2)由图知M∩N＝{x|－1＜x＜1}，选B. [答案]　(1)A　(2)B (1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴求解可化抽象为直观． [变式训练] 2．已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 解析：C　由题意可知，集合N＝{x|x≤－2，或x≥3}， 所以M∩N＝{－2}．故选C. 3．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1，或x>3}，则A∩B＝　________　. 解析：由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}． 答案：{x|－2<x<－1} 集合并集、交集性质的应用 [例3] (1)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是　________　. (2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝A，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)由A∪B＝A，得B⊆A，可求出m的取值范围． (2)由于A∩B＝A，∴A⊆B.结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解． (1)[解析]　A∪B＝A，即B⊆A，所以m≥2. [答案]　m≥2 (2)[解]　∵A∩B＝A，∴A⊆B. ①若A＝∅，则2a＞a＋3，解得a＞3； ②若A≠∅，如图所示 则有或 解得a＜－4或＜a≤3. 综上所述，a的取值范围是. 1．并集的性质 (1)①A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ②A＝A∪A，A＝A∪∅； ③A∪B＝B∪A. (2)若A⊆B，则A∪B＝B；反之若A∪B＝B，则A⊆B.由于A＝A∪∅，因此，A∪B＝B中的A可以为空集，这一点是要特别注意的． 2．交集的性质 (1)①(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B； ②A＝A∩A，A∩∅＝∅； ③A∩B＝B∩A. (2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之若A∩B＝A，则A⊆B.由于A∩∅＝∅，因此，A∩B＝A中的A可以为空集．空集的这一特殊性要特别注意． 3．利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． [变式训练] 4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，因为A∩B＝{2}，所以2∈B，将2代入集合B中，得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0， 解得a＝－5或a＝1. 当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意； 当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a＝－5或a＝1. (2)若A∪B＝A，则B⊆A，因为A＝{1,2}，所以B＝∅或B＝{1}或{2}或{1,2}． ①若B＝∅，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5) ＝24－8a<0， 解得a>3； ②若B＝{1}，则 即不成立； ③若B＝{2}，则 即不成立； ④若B＝{1,2}，则 即此时不成立，综上a>3. 1.设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|－2<x<3}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x<3}　　　　　 B．{x|－3<x≤1} C．{x|x<2} D．{x|－2<x≤1} 答案：D 2．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝(　　) A．{1, 2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅ 答案：D 3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝　________　. 答案：{1,4,7} 4．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为　________　. 答案：{a|－3≤a<－1} 5．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R，若A∪B＝A，求a的值． 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅. 当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0. 当B≠∅时，此时a≠0，则B＝{－}， ∴－∈A，即－＝－2，得a＝. 综上，a＝0或a＝. 1．设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝(　　) A．{1,3,1,2,4,5}　　　 B．{1} C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5} 答案：C 2．设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝(　　) A．{1,8} B．{2,5} C．{2,3,5} D．{1,2,3,5,8} 答案：C 3．已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 4．已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2} B．{－1,1,3} C．{1,2} D．{1,3} 答案：B 5．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，则使A∪B＝A的实数m的取值范围可以是(　　) A．{m|m≥2} B．{m|－3<m<4} C．{m|2<m<4} D．{m|m≤4} 解析：BCD　[∵A∪B＝A，∴B⊆A. ①若B≠∅，则m＋1<2m－1，解得m>2. ∵A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}， ∴m＋1≥－2，且2m－1≤7，解得－3≤m≤4. 此时2<m≤4. ②若B＝∅，则m＋1≥2m－1，解得m≤2，符合题意． 综上，实数m满足m≤4即可，故选B、C、D.] 6．(多选)已知集合M＝{x|a＜x＜3＋a}，N＝{x|x＜2或x＞4}，则下列结论正确的是(　　) A．若a＜－1，则M⊆N B．若a＞4，则M⊆N C．若M∪N＝R，则1＜a＜2 D．若M∩N≠∅，则1＜a＜2 解析：ABC　[对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a＞4，显然对于任意x∈M，x＞4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝∅，则无解， 故M∩N≠∅，a∈R，故D错误．] 7．若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则A∩B＝　________　. 解析：∵A＝，B＝{x|－1＜x＜3}， 画数轴如图： ∴A∩B＝. 答案： 8．设集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，集合B ＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值组成的集合是　________　. 解析：由A∪B＝A，得B⊆A.A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，x＝－，则－＝2或－＝－3，所以m＝－或m＝，故所求集合为. 答案： 9．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝　______　，A∩B＝　________　. 解析：借助数轴可知： A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． 答案：R　{x|－1<x≤1或4≤x<5} 10．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}， B＝，求A∩B，A∪B. 解：∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩ ＝； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪＝R. 11．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}， B＝{x|3≤x≤22}． (1)当a＝10时，求A∩B，A∪B； (2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围． 解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}． 因为B＝{x|3≤x≤22}， 所以A∩B＝{x|21≤x≤22}， A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B， 因为A为非空集合， 所以解得6≤a≤9. 12．已知集合S＝{1,2,3，…，10}，S的子集A满足A∩{1,2,3}≠∅，A∪{4,5,6}≠S，这样的子集A的个数为　________　. 解析：先求使A∩{1,2,3}≠∅成立的S的子集A的个数N1.在{1,2,3}中取出至少一个元素的方式有7种，而集合{4,5，…，10}的子集有27个，因此N1＝7×27＝896.再扣除其中使A∪{4,5,6}＝S的集合A的个数N2，这些取法中1,2,3,7,8,9,10均被取出，而集合{4,5,6}的子集有23个，因此N2＝23＝8.从而满足条件的子集A的个数为N1－N2＝896－8＝888. 答案：888 13．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值； (2)若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求实数a的值； (3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值． 解：(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}， 因为A∩B＝A∪B，所以A ＝B，则A＝{2,3}， 所以，解得a＝5. (2)因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，B＝{2,3}， C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}， 所以－4∉A,2∉A,3∈A， 所以32－3a＋a2－19＝0， 即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2. 当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意； 当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去． 综上，可知a＝－2. (3)因为A∩B＝A∩C≠∅，B＝{2,3}，C＝{－4,2}，所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去；当a＝－3时，A＝{－5，2}，满足题意．综上，可知a＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $