1.1 第2课时 集合的表示-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦集合的表示方法这一核心知识点，前承集合概念，通过生活实例（国旗颜色、十二生肖、偶数集）导入，系统讲解列举法（元素有限可一一列举）和描述法（元素无限需特征描述）的定义、步骤及适用情况，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料亮点在于以生活实例引导学生用数学眼光观察集合元素特征，通过含参数方程集合问题的分类讨论培养数学思维，规范描述法表达强化数学语言。课中助力教师清晰授课，课后例题解析与练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　集合的表示 课标要求　1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 　2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合． 上节课我们学习了集合的概念，有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们可以用自然语言描述一个集合，同时也可以用数学符号表示这个集合，观察下列三个集合： (1)中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合M； (2)十二生肖组成的集合N. (3)偶数集P. 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　这三个集合的元素都能一一列举出来吗？ 提示：(1)(2)能一一列举出来，(3)不能． 思考2　试列出集合M与N中的元素． 提示：M：红色，黄色； N：鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪． 思考3　偶数x构成的集合P，元素x有何特征？ 提示：x＝2n，n∈Z. 知识点一　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 　(对接教材例1)用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)“Welcome”中的所有字母组成的集合B； (3)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合C． 【解】　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素， 所以B＝{W，e，l，c，o，m}． (3)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－1)， 所以C＝. 【感悟提升】　用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合中的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 注意　用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序． 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合M； (2)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合N； (3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合P. 解：(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以M＝{0，2，4，6，8，10}． (2)解方程2x2－x－3＝0，得x＝－1或x＝， 所以N＝. (3)解方程组得 所以P＝{(1，4)}． 知识点二　描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． 提醒　用描述法表示集合应注意：写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}；所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈R|x＝2m}，m∈N*”不符合要求． 　(对接教材例2)用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合． 【解】　(1)被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为{x∈N|x＝3n＋1，n∈N}． (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为{x∈R|1＜x＜10}． (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 【感悟提升】　用描述法表示集合的两个步骤 　试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B． 解：(1)描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}，列举法表示为A＝. (2)描述法表示为B＝{x∈N|x<8}，列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． 应用点　集合表示法的应用 　已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若1∈A，用列举法表示A； (2)当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B． 【解】　(1)若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，所以a＋2＋1＝0，解得a＝－3，所以方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝1或x＝－， 所以A＝. (2)当a＝0时，2x＋1＝0， 解得x＝－，此时A＝； 当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素， 则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， 所以解得a＝1，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，此时A＝{－1}． 综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，所以B＝{0，1}． 母题探究　在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．(用集合表示) 解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，所以a<1且a≠0，故实数a的取值范围是{a∈R|a<1且a≠0}． 【感悟提升】　根据集合中元素的性质求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)对于其中的参数问题，要注意分类讨论，不重复不遗漏． 　已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝________，b＝________． 解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得 因此a＝5，b＝6. 答案：5　6 1．(教材P5习题1.1T2改编)集合{x∈N*|x－2≤1}用列举法表示为(　　) A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 解析：选B．由题意可得集合{x∈N*|x－2≤1}＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}． 2．下列说法中正确的是(　　) A．方程x2＝1的实数解构成的集合为 B．方程(x－1)(x－a)＝0的实数解构成的集合为{a，1} C．将小于10的自然数分别按从小到大和按从大到小的顺序排列，得到的是同一个集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合只有3个元素 解析：选C．对于A，由x2＝1，解得x＝－1或x＝1，对应集合为{－1，1}，而不是，A错误；对于B，当a＝1时，解集为{1}，故方程(x－1)(x－a)＝0的实数解构成的集合不能写成集合{a，1}，B错误；对于C，集合中的元素满足无序性，C正确；对于D，集合中的元素具有互异性，故由1，0，5，1，2，5组成的集合为{0，1，2，5}，有4个元素，D错误． 3．已知集合A＝{4，x－4，x－7}，若7∈A，则x＝________． 解析：因为7∈A，A＝{4，x－4，x－7}， 所以当x－4＝7时，x＝11，x－7＝4，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当x－7＝7时，x＝14，x－4＝10，A＝{4，7，10}，符合题意． 综上，x＝14. 答案：14 4．(教材P6T4改编)用适当的方法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合C； (2)被5除余2的所有自然数组成的集合B； (3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合． 解：(1)用描述法表示集合C＝{(x，y)|x＜0，y＞0}或C＝. (2)用描述法表示集合B＝{x|x＝5k＋2，k∈N}． (3)由y＝，则x－1≠0，解得x≠1，故集合为{x|x≠1}． 　 1．已学习：(1)集合的表示方法：列举法、描述法；(2)集合与方程、不等式的关系． 2．须贯通：(1)元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般用描述法表示；(2)解决集合与方程问题常用分类讨论思想． 3．应注意：(1)数集和点集的区别； (2)当方程ax2＋bx＋c＝0的二次项的系数不确定时，易忽略二次项系数为0的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $