1.1 第1课时 集合的含义-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦集合的含义，系统梳理元素与集合的概念、元素的确定性互异性无序性、集合相等的定义，以及元素与集合的属于关系和常用数集记法，构建从军训集合口令实例到抽象概念的学习支架。 以军训集合口令情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过判断“难题”等能否构成集合的练习培养数学思维，结合元素互异性例题规范数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

1．1　集合的概念 第1课时　集合的含义 课标要求　1.通过实例，了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系．　2.利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，并能识记常用数集的表示符号． 某中学2026级高一新生入学军训时，教官一声口令“高一(1)班集合”． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　这个口令通知的对象是谁？ 提示：对象是高一(1)班的全体学生． 思考2　任意一位学生听到该口令，能否确定自己是否要参加？ 提示：能够确定．如果他是该中学高一(1)班的学生，他就需要参加，否则就不用参加． 知识点一　元素与集合的概念 1．元素 (1)定义：把研究对象统称为元素． (2)记法：常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合 (1)定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). (2)记法：常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)元素的特征：确定性、互异性与无序性． 3．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，称这两个集合相等． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)集合中的元素可以是数、点、图形，也可以是人或物等．(　　) (2)英文单词book的所有字母组成的集合有4个元素．(　　) (3)10以内的质数组成的集合中元素有2，3，5，7.(　　) (4)某学校今年入学的全体高一学生可以组成一个集合．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列所给对象能构成集合的是(　　) A．平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B．高中数学必修第一册课本上的所有难题 C．参加2026年足球世界杯的48支球队 D．接近211的所有正整数 解析：选AC．A，C能构成集合，二者有确定的判断标准．A中元素是“到原点的距离等于1的点”，C中元素是“参加2026年足球世界杯的48支球队”，B，D项的对象不能构成集合，因为“难题”与“接近”标准不明确． 3．集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________． 解析：由题意得，m2－2m＝3，所以m＝－1或m＝3. 答案：－1或3 【感悟提升】　(1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性． (2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 知识点二　元素与集合之间的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 a不是集合 A中的元素 a∉A a不属于 集合A 提醒　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系． 2．常用的数集及其记法 常用 数集 非负整 数集(自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 　(1)已知集合A中的元素x满足x－1＞2，则下列选项正确的是(　　) A．5∈A，且－4∉A B．5∈A，且－4∈A C．5∉A，且－4∉A D．5∉A，且－4∈A (2)用符号“∈”或“∉”填空： ________N；5________Z；－2___________________Q； π________R. 【解析】　(1)由x－1＞2，解得x＞3，因为5＞3，－4＜3，故5∈A，且－4∉A． (2)因为N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集，所以∉N；5∈Z；－2∈Q；π∈R. 【答案】　(1)A　(2)∉　∈　∈　∈ 【感悟提升】　判断元素和集合之间关系的方法 (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 　1.(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是(　　) A．－5∈N B．0∈Z C．∈Q D．∈R 解析：选BD．因为N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集， 所以－5∉N，A错误；0∈Z，B正确；∉Q，C错误；∈R，D正确． 2．设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对(x，y)构成，则－1______D，(－1，1)______D．(填“∈”或“∉”) 解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对(x，y)，所以－1∉D，(－1，1)∈D． 答案：∉　∈ 应用点　集合中元素特征的应用 　已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1， 当a＝1时，a2＝1，不符合集合中元素的互异性，所以a≠1； 当a2＝1时，a＝±1，因为a≠1，所以a＝－1，此时集合A中含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性． 综上所述，a＝－1. 【答案】　－1 母题探究1　本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合集合中元素的互异性． 母题探究2　在本例条件中，若“1”和“a”互换位置，其他条件不变，求实数a的值． 解：由a∈A可知，a＝1或a＝a2. 当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)，当a＝0时，经检验，符合题意．综上可知，a＝0. 【感悟提升】　根据集合中元素的特征求值的步骤 　若一个集合含有两个元素x和x2－x，则实数x需满足______________． 解析：由集合中元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0且x≠2. 答案：x≠0且x≠2 1．(多选)(教材P5练习T1改编)下列每组对象中能组成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．倒数等于它本身的数 解析：选BCD．A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B，C，D中的元素标准明确，均可构成集合． 2．(多选)(教材P5练习T2改编)下列关系正确的是(　　) A．∈R B．|－3|∉N C．－∉Q D．N∈Q 解析：选AC．对于A，是实数， 即∈R，故A正确； 对于B，|－3|＝3∈N，故B错误； 对于C，－是无理数，所以－∉Q，故C正确； 对于D，N不是Q的元素，故D错误． 3．英文单词Chinese的所有字母组成的集合共有________个元素． 解析：英文单词Chinese中不同的字母有C，h，i，n，e，s，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素． 答案：6 4．已知集合A中含有三个元素1，0，x，若x2∈A，求实数x的值． 解：依题意，x≠0且x≠1，于是x2≠0且x2≠x，由x2∈A，得x2＝1，解得x＝－1或x＝1(舍去)，所以实数x的值为－1. 　 1．已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系、常用数集的记法． 2．须贯通：(1)判断元素与集合的关系的方法：定义法、推理法； (2)求集合中的参数时常用到分类讨论思想． 3．应注意：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素； (2)集合中易忽略元素的互异性． 学科网（北京）股份有限公司 $