第二十二章相似形单元练习2026—2027学年沪科版九年级上册数学

**基本信息** 沪科版九年级上册相似形单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合国旗五角星文化情境与水杯倾斜等生活实例，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段（第1题）、相似图形判定（第3题）|基础概念辨析，结合数轴作图（第4题）考查几何直观| |填空题|5/15|比例性质（第11题）、位似面积（第13题）|核心公式应用，数轴刻度问题（第14题）体现空间观念| |解答题|5/75|作图（第16题）、相似证明（第18题）、黄金分割应用（第20题）|国旗五角星情境（第20题）融合文化传承，综合考查推理能力与创新意识|

第二十二章相似形同步练习 2026—2027学年沪科版九年级上册数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A. 1,2,3,4 B. 2,3,4,5 C. 2,4,6,8 D. 1,3,5,7 2．已知，则  的值为（　　） A.  B.  C.  D.  3．下列命题中，正确的是（　　） A. 所有的矩形都相似 B. 所有的菱形都相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的等腰三角形都相似 4．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 7．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（    ）    A． B． C． D． 8．和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，如图 下面等式： ； ； ； ，能成立的等式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若 3a=4b（a、b 均不为0），则 =______. 12．若 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 2∶3，且 △ABC 的周长为 18，则 △A′B′C′ 的周长为________. 13．把一个△ABC 放大为原来的 3 倍得到 △A′B′C′（即位似变换，位似中心在形外），若 △ABC 的面积为 5，则 △A′B′C′ 的面积为________. 14．如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 15．如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 17． 已知四条线段 a、b、c、d 满足 。 （1）写出比例的基本性质：ad 与 bc 的关系； （2）若 a=2，b=3，c=4，求 d 的值。 18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. （1）求证：BC = CE； （2）求证： 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； (2)请写出点A的对应点的坐标__________； (3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 20．综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B D A D A C 11． 12．27 13．45 14．9 15． 16．(1)如图所示，即为所求； (2)点到直线CE的距离是1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【详解】（1）略 （2）解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 17．解：（1）由 ，根据比例的基本性质得ad=bc。 （2）代入 a=2，b=3，c=4：2d=3×4=12，解得 d=6。 18．（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD. ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB. 故△BCE是等腰三角形，BC=CE. （2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=， 又∵BC=CE， ∴=. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠CBE=∠CEB，根据等角对等边得出BC=CE； （2）根据平行线分线段成比例定理可得=， 结合BC=CE，即可得证. 19．(1) 画图如下， 则即为所求． ， (2) (3)或或 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为． （2）解：根据(1)得， 故答案为：． （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 20．（1）72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； （3） 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）略 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 答案第2页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $