第22章 相似形 单元测试卷-2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 第22章初中数学单元卷，覆盖相似三角形、比例线段、位似图形等核心知识，通过基础题与综合题结合，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例线段（1题）、相似三角形判定（5题）、位似（6题）|基础概念辨析，如第3题通过相似比考查几何直观| |填空题|4/20|比例中项（11题）、相似条件补充（12题）|开放探究，如12题需补充相似条件，发展推理意识| |解答题|9/100|相似证明（16题）、实际测量（18题）、动态几何（21题）|综合应用，如18题影子测量体现数学眼光，21题动点问题培养创新意识|

第22章 单元测试 (　班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．已知线段a＝4 cm，线段b＝7 cm，则a∶b的值是（） A．1∶4 B．1∶7 C．4∶7 D．7∶4 2．若＝，则下列等式中正确的是（） A．3a＝4b B．a∶4＝b∶3 C．a∶3＝b∶4 D．b＝a 3．已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（） A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶5 4．如图，两条直线被平行线l1，l2，l3所截，点A，B，C，D，E，F为截点，且AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（） A．2 B. C. D．4 5．下列各组图形中一定相似的是（） A．所有等腰三角形 B．所有等边三角形 C．所有菱形 D．所有矩形 6．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形．若PA1＝PA.则AB∶A1B1的值为（） A. B. C. D. 7．如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上，测得人和竹竿的水平距离为1.2 m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.5 m，竹竿的高度为3 m，则楼房的高度是（） A．25 m B．26.5 m C．50 m D．51.5 m 8．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（） A．(40－40)cm B．(80－40)cm C．(120－40)cm D．(80－160)cm 9．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G，若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，则S△CEG的值为（） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，点E是线段BC中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（） A．∠AEB＝∠CDE B．△ABE∽△ECD C.＝ D．∠BAE＝∠ADE 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．线段1 cm、4 cm的比例中项为__________cm. 12．如图，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是__________． 13．两个相似三角形的对应高线的比为2∶3，且这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为_______. 14．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B，C重合，连接AE，过点E作EN⊥AE交CD于点N. (1)若BE＝1，则CN的长为_________； (2)将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长为_______. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知＝＝，a＋b＋c＝27，求a的值． 16．如图，在▱ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A.求证：△DCF∽△CEB. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)． (1)①以点M(2，2)为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，相似比为2∶1； ②点D的坐标为_________； (2)△DEF的面积为______个平方单位． 18．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形． (1)已知CD2＝AC·AB，求证：△ACP∽△PDB； (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数． 20．如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝. (1)若BD＝20，求BG的长； (2)求 的值． 六、(本题满分12分) 21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P，Q分别在边AB，BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B 同时出发，点P沿线段AB沿A→B方向向终点B运动，点Q 沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，运动时间为t s，请解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ∥AC； (2)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 七、(本题满分12分) 22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE. (1)求证：AD2＝AE·AP； (2)求证：BE⊥AP. 八、(本题满分14分) 23．(综合与实践) 【问题情境】如图，正方形ABCD的边长为12，点E在BC边上运动． 【实践探究】 (1)如图①，当BE＝5时，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F，请求出线段BG和BF的长度； 【拓展应用】 (2)如图②，以BE为边作正方形BEFG，并把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接AG和DF，发现DF与AG之间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $第22章 单元测试 (　班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．已知线段a＝4 cm，线段b＝7 cm，则a∶b的值是（C） A．1∶4 B．1∶7 C．4∶7 D．7∶4 2．若＝，则下列等式中正确的是（C） A．3a＝4b B．a∶4＝b∶3 C．a∶3＝b∶4 D．b＝a 3．已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（C） A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶5 4．如图，两条直线被平行线l1，l2，l3所截，点A，B，C，D，E，F为截点，且AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（C） A．2 B. C. D．4 5．下列各组图形中一定相似的是（B） A．所有等腰三角形 B．所有等边三角形 C．所有菱形 D．所有矩形 6．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形．若PA1＝PA.则AB∶A1B1的值为（B） A. B. C. D. 7．如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上，测得人和竹竿的水平距离为1.2 m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.5 m，竹竿的高度为3 m，则楼房的高度是（B） A．25 m B．26.5 m C．50 m D．51.5 m 8．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（D） A．(40－40)cm B．(80－40)cm C．(120－40)cm D．(80－160)cm 9．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G，若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，则S△CEG的值为（B） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，点E是线段BC中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（D） A．∠AEB＝∠CDE B．△ABE∽△ECD C.＝ D．∠BAE＝∠ADE 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．线段1 cm、4 cm的比例中项为2cm. 12．如图，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是∠A＝∠D(答案不唯一)． 13．两个相似三角形的对应高线的比为2∶3，且这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为8. 14．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B，C重合，连接AE，过点E作EN⊥AE交CD于点N. (1)若BE＝1，则CN的长为； (2)将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长为2或 . 【解析】(2)过点E作EF⊥AD于点F，∴四边形ABEF是矩形， ∴AB＝EF＝2，AF＝BE.由折叠的性质得CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°.易得△EC′F∽△C′ND，∴＝＝＝.∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，设BE＝x，∴C′D＝AF＝x，C′F＝4－2x，C′E＝4－x，EF2＋C′F2＝C′E2，即22＋(4－2x)2＝(4－x)2，解得x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知＝＝，a＋b＋c＝27，求a的值． 解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k. ∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27.解得k＝3， ∴a＝2k＝6. 16．如图，在▱ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A.求证：△DCF∽△CEB. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∴∠A＋∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC. ∵∠DFC＋∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A， ∴∠DFC＝∠B，∴△DCF∽△CEB. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)． (1)①以点M(2，2)为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，相似比为2∶1； ②点D的坐标为(4，6)； (2)△DEF的面积为4个平方单位． 解：(1)①如图，△DEF即为所求． 18．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB. 解：过点C作CM⊥OD于点C，交AD于点M， ∵△EGF∽△MDC，∴＝， 即 ＝， ∴CM＝3，即AB＝CM＝3 m， 答：旗杆的高AB是3 m. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形． (1)已知CD2＝AC·AB，求证：△ACP∽△PDB； (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数． (1)证明：∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝CD＝PD，∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠PCA＝∠PDB＝120°， ∵CD2＝AC·DB，即＝，即＝，∴△ACP∽△PDB. (2)解：∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB， ∵∠PCD＝∠A＋∠APC＝60°，∴∠DPB＋∠APC＝60°， ∵∠CPD＝60°，∴∠APB＝120°. 20．如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝. (1)若BD＝20，求BG的长； (2)求 的值． 解：(1)∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝，∴BG＝BD＝8. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∴＝＝，∴＝，∴＝. 六、(本题满分12分) 21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P，Q分别在边AB，BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B 同时出发，点P沿线段AB沿A→B方向向终点B运动，点Q 沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，运动时间为t s，请解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ∥AC； (2)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 解：(1)由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝AB－AP＝10－t， ∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC， ∴＝，即 ＝，解得t＝， ∴当t＝ 时，PQ∥AC. (2)当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝； 当△BPQ∽△BCA时，＝.∴＝，解得t＝. 当t＝ 或t＝ 时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 七、(本题满分12分) 22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE. (1)求证：AD2＝AE·AP； (2)求证：BE⊥AP. 证明：(1)∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD， ∴△ADE∽△APD，∴＝，即AD2＝AE·AP. (2)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°， ∴AB2＝AE·AP.∴＝， ∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB， ∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP. 八、(本题满分14分) 23．(综合与实践) 【问题情境】如图，正方形ABCD的边长为12，点E在BC边上运动． 【实践探究】 (1)如图①，当BE＝5时，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F，请求出线段BG和BF的长度； 【拓展应用】 (2)如图②，以BE为边作正方形BEFG，并把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接AG和DF，发现DF与AG之间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明． 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠C＝90°， ∴AE＝＝＝13， ∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BG，∴BG＝， ∵BF⊥AE，∴∠BGE＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠CBF＋∠BFC＝90°＝∠CBF＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BFC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BF＝AE＝13. (2)DF＝AG， 证明：连接BF，BD， ∵四边形BEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴BD＝AB，BF＝GB，∠ABD＝∠GBF＝45°， ∴＝＝，∠DBF＝∠ABG， ∴△DBF∽△ABG， ∴＝＝，∴DF＝AG. 学科网（北京）股份有限公司 $