限时训练卷14 函数与导数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数核心知识，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖性质判断、导数应用等关键能力，适配高考一轮复习对基础巩固与综合能力提升的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|幂函数性质、函数周期性与奇偶性、比较大小、公切线方程|基础概念与基本运算结合，如第1题考查幂函数奇偶性，落实数学眼光中的抽象能力| |选择题（多选）|3/18|函数单调性、图像与值域、导函数性质|多选项设计区分思维层次，如第11题结合偶函数与导函数性质，体现数学思维的推理能力| |填空题|3/15|解不等式、函数求值、零点问题|简洁考查关键技能，如第14题零点问题需数形结合，培养数学语言的模型意识| |解答题|5/77|定义域与奇偶性、切线方程、单调性与恒成立、零点个数及证明|综合应用导向，如第19题证明切线斜率定值及零点之和，突出数学思维的逻辑推理与数学语言的表达能力，贴合高考命题趋势|

2027年高考一轮限时训练卷14　函数与导数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 2．（25-26高三·全国·专题训练）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·湖北十堰·期末）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若关于x的方程有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·河南南阳·期末）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则在上单调递减 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 10．（25-26高三·湖南衡阳·期末）已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广西河池·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 13．（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 14．（25-26高三·贵州六盘水·期末）已知函数，若有两个零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 16．（25-26高三·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 17．（25-26高三·河北沧州·阶段检测）已知函数，当时，有极大值3. (1)求实数的值 (2)求函数在点处的切线方程 (3)已知曲线，求过点且与曲线相切的直线方程 18．（25-26高三·广西钦州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； (3)若，设，且有两个零点，，其中，求的取值范围. 19．（2026·河北衡水·一模）已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷14　函数与导数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 2．（25-26高三·全国·专题训练）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 3．（25-26高三·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 4．（25-26高三·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解. 【详解】令公切线与的图象切于点，与的图象切于点， 因，，则，解得， 因此公切线斜率为1，与的图象切于点， 则切线方程为，即. 5．（25-26高三·湖北十堰·期末）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性、单调性将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】函数的定义域为，，故为上的奇函数. ，根据基本不等式，得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为，由单调性得， 即，解得. 所以不等式的解集为. 6．（25-26高三·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数与函数极值点的关系求出函数的极值点，结合题意列出不等式，即可求解. 【详解】的定义域为，求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故是的唯一极小值点， 由题意极值点，则，解得． 故的取值范围是． 7．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式形式，构造同构母函数，然后利用的单调性，将问题转化为对恒成立，求解最小值即可求得参数的取值范围. 【详解】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若关于x的方程有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解， 即与的图象有2个交点，如图所示， 当时，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与（）的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意； 当时，与有一个交点， 当直线与曲线（）相切时， 此时与的图象有2个交点， 设切点，则，又由过点， 所以，解得，所以； 当时，若，则，由，可得， 所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有2个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·河南南阳·期末）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则在上单调递减 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】ACD 【分析】通过对函数求导，分解因式后，根据选项中参数的范围，确定导函数的符号，判断函数的单调性即可. 【详解】由求导得. 对于A，若，，当时，，函数在上单调递减； 若，由，可得或，即函数在上单调递减， 综上，当时，在上单调递减，即A正确； 对于B，若，则，由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，故B错误； 对于C，若，，故在上单调递增，即C正确； 对于D，若，则，由可得或， 故函数在上单调递增，故D正确. 10．（25-26高三·湖南衡阳·期末）已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，即，故D正确. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由复合偶函数推出对称轴，利用原函数与导函数对称关系推导周期性，逐一验证四个选项 【详解】，均为偶函数， ，即，， ，，的图象关于直线对称，的图象关于直线2对称． 又， 函数的图象关于点对称，函数的图象关于点对称， 与都是周期为2的周期函数． ，故选项A错误； ，故选项B正确； ，，， ，故选项C正确； 又，即，无法判断与是否相等，故选项D错误． 【规律总结】若函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于点对称；若函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于点对称． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广西河池·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】函数的导数，因为，所以， 即函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，解得. 不等式的解集为. 13．（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 14．（25-26高三·贵州六盘水·期末）已知函数，若有两个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】求导，先根据函数不能是单调函数排除，再当时，求出函数的极小值，令极小值小于零即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得：， 当时，，则在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，当时，得，得；当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 且当趋近于或时，均趋近于， 则，整理得， 设，则， 故在上单调递增，又， 可得，所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 16．（25-26高三·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质有求参数值，注意验证是否满足题设； （2）问题化为在上恒成立，令，进一步化为在上恒成立，利用单调性求出右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 17．（25-26高三·河北沧州·阶段检测）已知函数，当时，有极大值3. (1)求实数的值 (2)求函数在点处的切线方程 (3)已知曲线，求过点且与曲线相切的直线方程 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】(1)根据极值点处导数为、极值点对应函数值为极值建立二元方程组，求解参数后通过导数单调性验证极大值条件，完成参数求解. (2)代入已求参数得到函数与导函数解析式，分别计算切点的函数值与导数值得到切点坐标和切线斜率，通过点斜式推导并整理切线方程. (3)设出曲线的切点坐标，利用导数几何意义得到切线斜率并写出点斜式方程，代入已知点坐标求解切点参数，最终化简得到切线方程. 【详解】（1），得. 由处函数取极大值，可得且， 代入得，解得，. ， 当时，单调递增； 当时，单调递减 因此为极大值点，符合题意. （2）由(1)得，， 代入得，， 即切点为，切线斜率为， 切线方程为 整理得. （3）设切点坐标为，其中，求导得 因此切线斜率， 切线方程为. 将点代入切线方程，得 即，解得，即 因此切线斜率，切点为， 切线方程为，整理得. 18．（25-26高三·广西钦州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； (3)若，设，且有两个零点，，其中，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可. （2）利用分离参数法得到，再结合基本不等式求解参数范围即可. （3）结合题意将转化为一元函数，再利用导数求解其取值范围即可. 【详解】（1）当时，，则， 可得，， 得到在点处的切线方程为，即； （2）由题意得的定义域为， ∵在上单调递增，∴在上恒成立， 即在上恒成立，又， 当且仅当时等号成立，∴，∴m的取值范围为. （3）由题意得， ∵有两个零点，，且有两个极值点，， ∴，为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又， 由对勾函数在上单调递减可知， ∴ ， 设，则， ∴在上单调递减，又，， ∴，即的取值范围为. 19．（2026·河北衡水·一模）已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 【答案】(1) ， 由，得，， 则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，有两个零点；当时，有三个零点；当时，有四个零点. (3) 由（2）知，当时，的零点个数最多， 且0为其中一个零点，不妨设， 且，，等式两边同时取对数并整理得 ，. 设函数，则， ，则在上单调递增. 因为在上单调递增，且，所以. 要证，只需证，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需证，即， 令函数，， 则， 所以在上单调递减，则， 即，故. 故当的零点个数最多时，的零点之和大于3. 【分析】（1）根据导数的几何意义，利用导函数解析式可求出的值 （2）根据零点概念计算得到或，构造函数，通过分类讨论，借助导数研究函数的单调性和最值，分析函数的零点情况即可； （3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，通过构造函数求最值证明结论. 【详解】（1）略 （2）当时，由，得或. 设函数，则， 令，得，则在上单调递减， 令，得或，则在上单调递增，在上单调递增. 当时，， 若，则，若，则. 当时，， 若，则，若，则. 当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点； 当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点； 当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点. （3）略 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $